专题05 数列综合问题6类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题05 数列综合问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、奇偶数列问题 类型二、数列插项问题 类型三、数列恒成立求参数问题 类型四、数列不等式的证明 类型五、取整数列 类型六、数列新定义问题 压轴专练 类型一、奇偶数列问题 【知识归纳】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 例1.已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 【变式1-1】已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求. 【变式1-2】已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 【变式1-3】已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)若数列的前项和，求及的最小值； (3)设，求数列的前项和． 类型二、数列插项问题 【知识归纳】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 例2.已知数列的前项和为，且 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 【变式2-1】已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为. （i）求数列的前项和； （ii）若对所有的成立，求实数的取值范围. 【变式2-2】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【变式2-3】已知数列满足，，数列满足， (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，即，，，，，，， ，设的前项和为，求（请用数字作答，附：，）. 类型三、数列恒成立求参数问题 例3.已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式3-1】已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【变式3-2】已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-3】已知数列满足，，数列． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式． (2)设的前项和为． （i）求； （ii）若，，求的取值范围． 类型四、数列不等式的证明 例4.已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 【变式4-1】已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【变式4-2】（1）求证：； （2）已知，求证：． 类型五、取整数列 【知识归纳】 取整函数的定义及性质 设，用表示不超过的最大整数， 则称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引人，故得名) 因为任意实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,故， 这里为的整数部分，而为x的小数部分，通常记作. 由和的定义, 我们可以分别画出、的图象(此处略),结合它们的图象，容易证明取整函数具有下列基本性质： 性质1：的定义域是，值域是;的定义域是，值域是. 性质2：是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；是以1为周期的周期函数，且的充要条件是，的充要条件是. 性质3：. 性质4：若，则. 性质5： 性质6：若，则有. 性质7：，若，则，. 性质8：设，为整数，，若,则，. 性质9：设，为正整数，则在不超过的正整数中, 的倍数共有个 性质10：若，则 例5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字命名的函数—高斯函数，其表达式为，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，若为数列的前项和，则（   ） A．1014 B．1012 C．1011 D．1013 【变式5-1】已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知数列满足，且，其中表示不超过的最大整数，如，若，则 . 类型六、数列新定义问题 【知识归纳】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 例6.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-1】若数列满足，则称数列为下凸数列 (1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； (2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列； (3)已知为正项下凸数列前项和，，证明：． 【变式6-2】已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【变式6-3】如果无穷正实数数列满足： ①对于任意的正整数，都有； ②对于任意的，存在正整数，使得． 则称数列为数列． (1)判断下列数列是否为数列？ ①；②； (2)已知数列是数列，，其中表示中较大的数．证明：数列是数列； (3)已知数列是数列，，其中表示中较小的数．证明：数列是数列． 一、单选题 1．已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 2．已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和（    ） A．1460 B．1464 C．1468 D．1486 3．在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 4．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 6．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．若对任意恒成立，则 7．若数列满足对任意正整数，及常数，总存在且，使得，则称数列为倍可积数列，则（   ） A．当时，是2倍可积数列 B．当为等比数列时，存在k，使得是k倍可积数列 C．当是公差的等差数列时，不是1倍可积数列 D．当是倍可积数列，且，时，数列的前30项和为10 8．在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（    ） A． B． C．存在常数，使得数列为等比数列 D．数列的前项和 三、填空题 9．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 10．已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为 ． 11．数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为 . 12．将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为 . 四、解答题 13．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)求数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 14．已知数列的首项为1，前n项和为，且. (1)写出，的值，并证明：； (2)求数列的前n项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 15．在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． (1)当时，求的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 16．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若已知数列，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列综合问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、奇偶数列问题 类型二、数列插项问题 类型三、数列恒成立求参数问题 类型四、数列不等式的证明 类型五、取整数列 类型六、数列新定义问题 压轴专练 类型一、奇偶数列问题 【知识归纳】 1.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为. 思路一：分类讨论 (1) (2)若为偶数，则 (3)若为奇数，则 思路二：并项求和 (1)记 (2) (3)若为偶数，则 (4)若为奇数，则 2.常见奇偶数列模型 (1)若，则，相减得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等差数列. (2)若，则，相除得. 当为奇数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. 当为偶数时，数列为以为首项，为公差得等比数列. (3)若，则直接按奇偶分开讨论. 例1.已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． (1)求和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得， 所以数列的通项公式是 . （2）由（1）知， ， . 【变式1-1】已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以，又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，即， 所以， 所以 ， 所以. 【变式1-2】已知满足，且 (1)求和； (2)求的前项的和； (3)若，求. 【答案】(1), (2) (3) 【详解】（1）当 n 为奇数时，；当 n 为偶数时，， 于是：，，故， 即， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以. . （2） 奇数项的和：， 偶数项的和：， 所以. （3）， ，，则. ，， 两式相减可得， . 所以. 【变式1-3】已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，． (1)求与的通项公式； (2)若数列的前项和，求及的最小值； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)，最小值为 (3) 【详解】（1）由，则， 故，即， 当时，，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； ，则数列的公差为，故； （2）， 则， 当为偶数时，，随的增大而增大， 当为奇数时，，随的增大而减小， 故当时，有最小值； （3）由， 则 ， 则， 则， 故 ， 则. 类型二、数列插项问题 【知识归纳】 1.数列插项问题 （1）插项的核心：插入的项数与插入的数据类型. （2）常见插项问题 ①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列， 记这个等差数列的公差为，则，整理的. ②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列， 记这个等比数列的公比为，则，整理的. ③在和之间插入个，组成新数列 求这个数列的前项和，需分清和各有多少项，分组求和. 例2.已知数列的前项和为，且 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 得，则， 所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，由及可知，对任意成立， 故. （2）由（1）中推导可知，若，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，， 可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，… 故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即， 当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12， ， . 【变式2-1】已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间插入2个数，使它们和原数列一起构成新的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)从数列中去掉数列中的所有项，剩余的项保持相对顺序不变构成的新数列记为. （i）求数列的前项和； （ii）若对所有的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）依题意，数列的首项为1，公差为， 所以数列的通项公式为. （2）（i）依题意，，，即， 当为偶数时， ； 当为奇数时，； 所以. （ii）， 当为奇数时，， 此时数列为递增数列，因此，则，即； 当为偶数时，， 此时为递减数列，因此，则，即， 所以实数的取值范围是. 【变式2-2】已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，设． （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）已知，， 当时，， 当时，，则，故， 又， 是首项为2，公比为2的等比数列，即． （2）（i）与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， ， ，故， ； （ii），，， ， ， ． 【变式2-3】已知数列满足，，数列满足， (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，即，，，，，，， ，设的前项和为，求（请用数字作答，附：，）. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对于数列，由可得，     又，所以，     所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 故，得.     对于数列，设， 则当时，，得，     时，     故； （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 故的前90项中有9项，有81项， ， 故. 类型三、数列恒成立求参数问题 例3.已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 【变式3-1】已知数列的前项和为，且，数列为递增的等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设，，求使得对任意，均有成立的最大整数. 【答案】(1)， (2) (3)5 【详解】（1）当时， 当时， 上式中当时，，所以数列的通项公式为 设的公比为，，所以， 数列为递增的等比数列，所以 （2） ① ② ①-②，得 ， 所以 （3）由（1）可得 则 显然随的增大而增大，故 于是若要恒成立，只需，解得， 所以存在最大的整数满足题意. 【变式3-2】已知数列满足，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由，又， 两边同除以得，即， 又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 则， 前项和，. 当时,. （3）由（1）知， 因此， 数列的前项和为： 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得： 令，分析其单调性： 故在上单调递减，因此. 要使对一切恒成立，只需，即. 所以，实数的取值范围为. 【变式3-3】已知数列满足，，数列． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式． (2)设的前项和为． （i）求； （ii）若，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，则，即， 且，则， 可知数列是以首项，公差为1的等差数列， 则，即，所以. （2）（i）因为， 所以； （ii）因为，可得对恒成立， 设， 令，即，解得， 且，可得， 可知数列的最大项为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 类型四、数列不等式的证明 例4.已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 所以； （3）因为 ， 又 ， 欲证， 只要证， 即证，即证， 由于， 所以，所以命题得证. 【变式4-1】已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)3 (3)证明见详解 【详解】（1）因为函数，则，即， 可知数列是以首项，公差为2的等差数列， 所以； 又因为， 当时，则，解得； 当时，则，两式相减得，即， 可知数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 因为，则， 若对一切正整数n，恒成立，则， 且，所以m的最小值为3. （3）由（1）可知：，则， 当时，； 当时，则， 可得； 综上所述：. 【变式4-2】（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）解法1： ， ． 解法2： ， ． （2） ． 类型五、取整数列 【知识归纳】 取整函数的定义及性质 设，用表示不超过的最大整数， 则称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引人，故得名) 因为任意实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,故， 这里为的整数部分，而为x的小数部分，通常记作. 由和的定义, 我们可以分别画出、的图象(此处略),结合它们的图象，容易证明取整函数具有下列基本性质： 性质1：的定义域是，值域是;的定义域是，值域是. 性质2：是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；是以1为周期的周期函数，且的充要条件是，的充要条件是. 性质3：. 性质4：若，则. 性质5： 性质6：若，则有. 性质7：，若，则，. 性质8：设，为整数，，若,则，. 性质9：设，为正整数，则在不超过的正整数中, 的倍数共有个 性质10：若，则 例5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字命名的函数—高斯函数，其表达式为，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，若为数列的前项和，则（   ） A．1014 B．1012 C．1011 D．1013 【答案】B 【详解】由，得，又， 所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则， 所以，将上述个式子相加得： ，即. 因为，所以，即， 所以，故， 所以 . 所以. 故选：B. 【变式5-1】已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由数列中，，且，， 得 ， 所以，， 又因为， 所以 又因为， 所以， 所以，， 即，所以. 故选：B 【变式5-2】已知数列满足，且，其中表示不超过的最大整数，如，若，则 . 【答案】11 【详解】当 n 为偶数时，设， 则； ， 当 n 为奇数时，设， 则 ， 所以无论 n 是奇数还是偶数，都有 ， 所以，即， 累加得到， 所以， 因为，所以，解得或（舍去） 所以. 故答案为：. 类型六、数列新定义问题 【知识归纳】 1.新定义问题的方法和技巧： （1）解决新定义问题的基本方法 ①仔细阅读定义：逐字逐句理解题目给出的新定义，确保不遗漏任何细节 ②寻找熟悉元素：将新定义与已有知识建立联系，寻找相似结构 ③具体化理解：通过举例或特例来验证对新定义的理解是否正确 ④分步验证：按照定义的步骤逐步操作，确保每一步都符合要求 （2）实用技巧 ①符号标记法：用不同符号或颜色标记定义中的关键条件 ②类比思维：思考类似概念在传统知识中是如何处理的 ③逆向验证：从结论反推，检查是否符合新定义的要求 ④边界测试：考虑极端情况或边界条件是否满足定义 例6.若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， 【变式6-1】若数列满足，则称数列为下凸数列 (1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； (2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列； (3)已知为正项下凸数列前项和，，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【详解】（1）设正项等比数列的公比为q， 则， 即，所以任意一个正项等比数列为下凸数列． （2）设的公比分别为，则， 显然， ， 所以正项数列为下凸数列， 下面证明：正项数列不是等比数列，若是等比数列， 则有， 所以， 因为分别为两个正项等比数列，所以， 所以，所以， 因为，所以，也即， 所以，与矛盾，所以不是等比数列． （3）假设存在一个常数，使得， 但，因为，所以， 将中的换成，得， 进一步得，又，由不等式的可加性，得， 同理得，所以， 所以数列从到单调递减，从开始单调递增， 所以，因为该规律是固定的，且， 所以当足够大时，必有， 与题设矛盾，所以不可能从某一项开始单调递增，所以， 令，由，得， 所以 ， 所以，即，进一步得， 所以， ， 累加得，所以． 【变式6-2】已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. (1)求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； (2)将数列1，2，3，…，，，，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； (3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【答案】(1)；；；； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）该数列的所有完美子列如下：；；；. （2）数列的完美子列 按首项分类，有如下情况： 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；；；，共4个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；，共2个完美子列. 因此，. （3）设等比数列的公比为，易知， ①当时，若，则为非零常数列，即，取出3项后， 由于，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列； 若，则为，易知其亦不存在完美子列； ②当时 ，假设存在完美子列. （i）若，当时，设的一个完美子列为， 则，且， 但事实上，所以上述等式不可能成立，此时不存在完美子列； 当时，此时中项的绝对值随的增大逐渐增大，同理不存在完美子列. （ii）若，由①知不需要讨论的子列中的项全为正数或全为负数的子列， 当的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为， 其中，（点拨：当时，无论的首项是正是负， 数列中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系） 此时应有，则，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）. 若，则， 若，则， 所以等式不可能成立； 同理两负一正的情况也不成立。所以不存在完美子列. 综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【变式6-3】如果无穷正实数数列满足： ①对于任意的正整数，都有； ②对于任意的，存在正整数，使得． 则称数列为数列． (1)判断下列数列是否为数列？ ①；②； (2)已知数列是数列，，其中表示中较大的数．证明：数列是数列； (3)已知数列是数列，，其中表示中较小的数．证明：数列是数列． 【答案】(1)①不是，②是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），符合， ， 当时，存在正整数，使得， 所以不是数列； ， 满足， 对于任意的，存在正整数， 使得， 所以是数列； （2）对任意的正整数，都有， 所以．因为数列是数列， 所以对于任意，存在正整数，使得， . 综上，数列是数列． （3）证明：当时，则， 当时，则， 所以，. 下面证明：对任意的正整数，都存在正整数，使得； 考虑集合， 若是有限集，则存在正整数，对任意的正整数，都有， 对任意的正整数，令， 数列为数列，所以存在正整数， 使得；从而． ．所以为数列． 若是无限集，则存在无穷正整数数列满足：， ， 对任意的正整数，令， 则， 所以为数列． 一、单选题 1．已知数列满足，，则的前20项和为（    ） A．299 B．300 C．301 D．302 【答案】B 【详解】由题意知数列满足，，， 所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由，知， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列的前20项和为： . 故选：B. 2．已知数列的前项和为，，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和（    ） A．1460 B．1464 C．1468 D．1486 【答案】A 【详解】因为，则， 由于，，， 将上述多个式子相乘得：， 由于，则， 当时，， 当时，， 由于适用于上式，则； 由于，则， 由于在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列， 又因为 则数列的前37项和， ， . 故选：A. 3．在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 4．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 故数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ，，显然满足上式，则， 故，故， 当时，，故， 所以数列的前2026项和为，故A正确. 故选：A 二、多选题 5．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 6．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．若对任意恒成立，则 【答案】ACD 【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍， 边长为前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的， AB选项，是以为首项，公比为4的等比数列， 所以，，，A正确，B错误； C选项，是以为首项，公比为的等比数列， 所以，故， 所以， 所以为等差数列，C正确； D选项，对任意恒成立， 故，设， 当时，， 当时，， 显然，， 当时，，即，，， 当时，，即，，， 当时，，，，， 所以取得最大值，最大值为，则，D正确. 故选：ACD 7．若数列满足对任意正整数，及常数，总存在且，使得，则称数列为倍可积数列，则（   ） A．当时，是2倍可积数列 B．当为等比数列时，存在k，使得是k倍可积数列 C．当是公差的等差数列时，不是1倍可积数列 D．当是倍可积数列，且，时，数列的前30项和为10 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，，，则，所以A错误； 对于B，当是等比数列时，设其公比为q，则时，， 取，因为，所以是k倍可积数列，所以B正确； 对于C，设是公差的等差数列，则， 假设数列是1倍可积数列，所以总存在且，使得， 则存在或，两式相减得或，所以或， 当时，由，可得，此时，这与矛盾； 当，由，解得，， 则， 可得， 此时不存在且，使得， 所以数列不是1倍可积数列，所以C正确； 对于D，因为是倍可积数列，所以存在且，使得， 令，可得， 又因为，可得，所以，可得， 因为数列满足，所以数列是周期为3的数列， 即数列的前6项依次为，可得， 所以数列的前30项的和，所以D正确. 故选：BCD． 8．在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（    ） A． B． C．存在常数，使得数列为等比数列 D．数列的前项和 【答案】ACD 【详解】设第n次“积生长”后共插入项，即，共有个间隔，且， 则第次“积生长”后再插入项，则， 可得，且， 故数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，故，A正确； 对B：由题意可知： ， 故，B错误； 由B，，且， 所以，且， 所以，即， 又对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为， ， 根据题意可得第次构造后得到的数列为， 所以 即与满足的关系式为. 所以，又，则， 所以，即，， 所以， 由等比数列通项公式可知，当时，是等比数列，故C正确， 对于D，由C可知：， 所以， 所以的前项和为， 则， ， 两式相减可得：， 所以， 又数列前项和为， 所以数列的前项和，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 9．已知数列通项公式，则数列的前9项和为 . 【答案】 【详解】， 数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列． 则，． 则数列的前9项和 ． 故答案为：． 10．已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为 ． 【答案】29 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 11．数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为 . 【答案】8 【详解】由得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由得，. 因为，所以，则， 可得，则正整数的最大值为8. 故答案为：8. 12．将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为 . 【答案】2026 【详解】题目中一次变换是：删除两项，添加， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：， 这正好是新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的的乘积在变换前后是不变的。 原数列是共 2026 项， 初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少，初始有 项，经过次变换后， 数列只剩项，设为，根据不变量，有：， 解得， 故答案为：2026 四、解答题 13．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)求数列满足,求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：由数列满足， 当时，， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：； 故答案为：. （2）由题意，，则前项中： 奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则： 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（）， 则： 因此前项和为： . 故. （3）由（1）知，，因为， 所以，整理得： 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾. 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 14．已知数列的首项为1，前n项和为，且. (1)写出，的值，并证明：； (2)求数列的前n项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3). 【详解】（1）因为，， 所以，， 由可得，，① 所以，② 两式相减得，， 因为数列的各项均不为， 所以. （2）由可知，是首项为，公差为的等差数列， 所以， 于是， ， ， 所以 ， 因此，. （3）由（1）（2）可知，，， 因为，所以， 由，可得，， 令，则， 当时，，即， 当时，，即， 所以数列的最大项为， 因此，的取值范围是. 15．在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”．现对数列分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列．进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为．记． (1)当时，求的值； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设第次“积生长”后共插入项，即， 共有个间隔，且，则第次“积生长”后再插入项， 则，可得，且， 故数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，故， 所以当时，； （2）设第次“和生长”后得到的数列各项之和为， 则第次“和生长”后，新插入的各项之和为， 故， . 而，是以为首项，为公比的等比数列； （3）设第次“积生长”后得到的数列各项之积为， 则. 第次“积生长”后，新插入的各项之积为 ， 故， 因此， ， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， 由（2）可得， ， 记， 则， ， ， 则数列的前项和． 16．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. (1)若已知数列，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【详解】（1）第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. （3）因为， ， 依次类推，， 故 ， 若使为等差数列，则， 所以存在不全为0的数列，使得数列为等差数列. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $