专题02 等比数列及其性质7类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题02 等比数列及其性质7类题型归类（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、等比数列通项公式与前n项和的计算 类型二、等比中项 类型三、等比数列通项公式的函数性质 类型四、等比数列前n项和的性质 类型五、等比数列片段和的性质 类型六、等比数列奇数项或偶数项的和 类型七、等比数列的应用 压轴专练 类型一、等比数列通项公式与前n项和的计算 【知识归纳】 1. 等比数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列称为等比数列.该常数称为公比，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2.等比数列的通项公式：. 3.等比数列的前项和公式：. 例1.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D 【变式1-1】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，当时，，所以. 由题意可得，解得或， 当，时，， 当，时，. 故选：B 【变式1-2】设等比数列的公比，且，，则 . 【答案】 【详解】，， 则， 因为，解得：. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】若一个等比数列的前项和为，前项和为，则该数列的公比为 ． 【答案】 【详解】设等比数列公比为，首项为，前项和为， 当时，由，则， 此时，所以， 当时，，① ，② ②除以①得：， 即， 解得：， 故答案为：. 类型二、等比中项 例2. “”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2-1】已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 所以是等比数列，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 【变式2-2】已知方程的四个根组成以为首项的等比数列，则的值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得方程或，且， 且两方程没有公共根，利用韦达定理可知两方程的两根之积都为2， 设等比数列的前4项分别为,易知； 由等比数列性质可知，因此可得，解得； 因此该等比数列的公比满足, 则方程的四个根分别为，又, 可得, 所以, 故答案为： 【变式2-3】若成等比数列，则实数 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 类型三、等比数列通项公式的函数性质 例3.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【变式3-1】已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 【变式3-2】已知无穷等比数列满足下列条件：当时，；当时，．那么，该数列的首项的最小值是 ． 【答案】 【详解】∵下面分情况讨论： 当时，， ∴， ∴， 但是，不可能组成等比数列，矛盾； 当时，， 当时，， 因为是等比数列， 此时，这与矛盾； 当时，， ∴， ∴， 时，，，…，，满足题意． 故答案为：. 【变式3-3】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【答案】2 【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为， 则由题意可得，且． ，． 又由等比数列的性质可得，． 故答案为：2． 类型四、等比数列前n项和的性质 例4.记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，等比数列前项的和， 因为，所以随着的增大而增大，且时，， 那么对于任意，一定存在正整数，当时，； 当时，等比数列前项的和， 若，则随着的增大而增大，且时，， 那么也会随着的增大而增大，且时，， 所以对于任意，存在正整数，当时，； 若，则随着的增大而减小，且时，， 那么随着的增大而增大，且时，， 此时，若，则不存在正整数，使得当时，； 综上所述，当公比时，若，存在，使得不存在正整数，当时，，所以“公比”不能推出“对任意，存在正整数，当时，”，故充分性不成立； 若对任意，存在正整数，当时，，则必须单调递增且无界，此时必有，而能推出，故必要性成立. 所以“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的必要不充分条件. 故选：B 【变式4-1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 【变式4-2】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 【变式4-3】已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ． 【答案】11 【详解】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，． 故答案为：11 类型五、等比数列片段和的性质 例5.等比数列中，为其前项和，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】∵数列是等比数列， ∴，，，也构成等比数列， 又，， ∴该数列的公比，则， ∴. 故选：B． 【变式5-1】设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列片段和的性质知，， 所以且，则， 所以，则. 故选：A 【变式5-2】已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则 ． 【答案】 【详解】当等比数列的公比为1时，，不合题意； 所以公比，可得， 可得，即； 所以. 故答案为： 【变式5-3】记等比数列的前项和为，若则的值为 . 【答案】 【详解】由等比数列前项和的性质，仍成等比数列， 即成等比数列， ，解得． 故答案为：． 类型六、等比数列奇数项或偶数项的和 例6.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式6-1】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 【变式6-2】若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【答案】 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 【变式6-3】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 类型七、等比数列的应用 例7.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设需提供的能量为a，由题意知：的能量为，的能量为，的能量为， 即，解得：， 所以要能使获得的能量，则需提供的能量为. 故选：C. 【变式7-1】朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【答案】C 【详解】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为， 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音，两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：C. 【变式7-2】龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为 . 【答案】13 【详解】从最下层开始，往上每一层“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以. 故答案为：13 【变式7-3】如图，在一个大圆中放入两个半径之比为的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为的大圆，则次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 【答案】 【详解】设第次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 设第次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 设第次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 次操作后，图中最小的圆的半径为； 设第次操作后，图中最小的圆的半径为，所有圆的面积总和为， ，， ，是以为首项，为公比的等比数列，， 设所有圆的面积总和， ，又 当且时， ， 当时，满足，， 即次操作后图中所有圆的面积总和为. 故答案为：；. 一、单选题 1．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 【答案】B 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 2．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【详解】对于A，因为数列是递增的等比数列，且， 所以，即， 联立得 ，解得或（舍去）， 则，，故A错误； 对于B，则，故错误； 对于C，易知，则， ， 两式相减得， ，则，故正确； 对于D，易知，则， 所以是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以， 易知是单调递增，且当时，，故错误； 故选：C 3．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，，设等比数列的公比为，则， 因为，则，所以，即， 因为，所以，即，故数列单调递增，所以， 故当且时，；当且，. 所以当时，最小. 故选：C. 二、多选题 4．在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 【答案】ABD 【详解】选项A：由可得，， 又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，A正确. 选项B：由可得，， 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，B正确. 选项C：由可得，，所以， 所以，，， 因为，所以数列不是等比数列，C错误. 选项D：由A知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，则 所以，又， 所以数列是首项为-2，公比为2的等比数列，D正确. 故选：ABD. 5．已知等比数列：，，，，…，前项和为，前项积为则（   ） A．公比 B． C．若取到最大值，则 D．若取到最大值，则 【答案】BD 【详解】对于A ：依题意，，所以公比，故A错误； 对于B：因为， 所以， 则，故B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因为在定义域上单调递减， 所以单调递减，则； 当为偶数时，则单调递增， 当时，所以，又，所以， 综上可得当时取到最大值，故C错误； 对于D：因为， 所以，，，，，，当且时， 又为前项积，所以当时， 又，且，， 所以当时取到最大值，故D正确. 故选：BD 6．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是公差为1的等差数列 D． 【答案】BC 【详解】因为， 所以，解得，故A选项错误； 所以，解得， 所以，，故B选项正确； 因为，， 所以，即数列是公差为1的等差数列，故C选项正确； 所以，故D选项错误. 故选：BC 三、填空题 7．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则m的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公比为，由题意知， 由，解得， 所以，因为， 当且仅当，即时等号成立， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以，解得，所以m的最小值为， 故答案为： 8．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为 ；设，若为数列的前项和，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 因为且， 所以， 解得 ，所以 ， 由，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为：；. 9．若一个等比数列的各项均为正数，且前6项和为4，前12项和为260，则该等比数列的公比为 . 【答案】2 【详解】设等比数列为，公比为q，前n项和为，则，. 则，又 从而，又数列的各项均为正数，则. 故答案为：2 四、解答题 10．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . （2）依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 11．已知等比数列中，，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 则，解得， 所以， 又，所以； （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 12．为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若公比，则，显然无解，故； 所以， 两式相除可得，则，解得，所以， 所以； （2）设原数列有项时，插入的的个数如下： 在与间有个，在与间有个，…，在与间有个， 令，解得（负值已舍去）， 所以的前项包含的前项及个， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列及其性质7类题型归类（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、等比数列通项公式与前n项和的计算 类型二、等比中项 类型三、等比数列通项公式的函数性质 类型四、等比数列前n项和的性质 类型五、等比数列片段和的性质 类型六、等比数列奇数项或偶数项的和 类型七、等比数列的应用 压轴专练 类型一、等比数列通项公式与前n项和的计算 【知识归纳】 1. 等比数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列称为等比数列.该常数称为公比，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2.等比数列的通项公式：. 3.等比数列的前项和公式：. 例1.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（    ） A．4 B． C．1 D．2 【变式1-1】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-2】设等比数列的公比，且，，则 . 【变式1-3】若一个等比数列的前项和为，前项和为，则该数列的公比为 ． 类型二、等比中项 例2. “”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知是等比数列，且是方程的两个不同实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知方程的四个根组成以为首项的等比数列，则的值为 . 【变式2-3】若成等比数列，则实数 . 类型三、等比数列通项公式的函数性质 例3.若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知无穷等比数列满足下列条件：当时，；当时，．那么，该数列的首项的最小值是 ． 【变式3-3】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 类型四、等比数列前n项和的性质 例4.记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【变式4-2】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【变式4-3】已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ． 类型五、等比数列片段和的性质 例5.等比数列中，为其前项和，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式5-1】设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 【变式5-2】已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则 ． 【变式5-3】记等比数列的前项和为，若则的值为 . 类型六、等比数列奇数项或偶数项的和 例6.已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式6-1】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【变式6-2】若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 . 【变式6-3】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 类型七、等比数列的应用 例7.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中，若能使获得10kJ的能量，则需提供的能量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ） A．494Hz B．349Hz C．311Hz D．277Hz 【变式7-2】龙门石窟､莫高窟､云冈石窟､麦积山石窟并称中国四大石窟.若某一石窟的某处浮雕像共7层，自上而下，每一层的浮雕像个数是其下一层的2倍，共有1016个浮雕像，这些浮雕像构成一幅优美的图案，若从最下层开始，往上每一层的浮雕像的个数构成数列，则的值为 . 【变式7-3】如图，在一个大圆中放入两个半径之比为的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为的大圆，则次操作后图中最小的圆的半径为 ，次操作后图中所有圆的面积总和为 . 一、单选题 1．等比数列中，为方程的两根，则等于（   ） A．6 B．12 C．6或12 D．-6 2．已知是递增的等比数列，其前项和为．若，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 3．已知等比数列中各项均为正数，且，记的前项积为，且，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．在数列中，，，且（），则下列选项正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列为等比数列 C．数列为等比数列 D．数列为等比数列 5．已知等比数列：，，，，…，前项和为，前项积为则（   ） A．公比 B． C．若取到最大值，则 D．若取到最大值，则 6．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是公差为1的等差数列 D． 三、填空题 7．已知等比数列的前项和为，若对于任意，不等式恒成立，则m的最小值为 ． 8．已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为 ；设，若为数列的前项和，则 . 9．若一个等比数列的各项均为正数，且前6项和为4，前12项和为260，则该等比数列的公比为 . 四、解答题 10．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．已知等比数列中，，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．为等比数列的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入个1，使它们与数列中的项组成一个新的数列，记的前项和为，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $