专题03 数列通项公式求解方法10类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题03 数列通项公式求解方法10类题型归类 目录 典例详解 类型一、利用Sn与an的关系求数列通项公式 类型二、累加法求数列通项公式 类型三、累乘法求数列通项公式 类型四、构造法求数列通项公式：已知构目标型 类型五、构造法求数列通项公式：型 类型六、构造法求数列通项公式：型 类型七、构造法求数列通项公式：型 类型八、构造法求数列通项公式：型 类型九、构造法求数列通项公式：分式型 类型十、构造法求数列通项公式：型 压轴专练 类型一、利用Sn与an的关系求数列通项公式 例1.已知各项均为正数的数列前项和为，且满足：. (1)求的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）令，可得，整理得，解得. 由，可得， 将两式作差，得， 即， 即， 即，由数列各项均为正数， 易知，则， 即数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 故. （2）， 则， 易知，故， 因此，得证. 【变式1-1】已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以． （2）由上可知， ， 则， 所以 ， 由可得，则，证毕． 【变式1-2】已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 【变式1-3】记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 类型二、累加法求数列通项公式 例2.在数列中，，且． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和，并证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【详解】（1）令，则，令，则，又， 所以，则，故； （2）由题设，则， 所以，则时，， 所以 ，且， 所以，显然也满足，故； （3）令， 所以， 当为奇数且，则， 此时在为奇数且上单调递增，则，当且仅当时取等号， 当为偶数且，则， 此时在为偶数且上单调递减，则，当且仅当时取等号， 综上，，得证. 【变式2-1】在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，，，，， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． （2）因为， 所以 ． 【变式2-2】已知数列满足． (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． 【变式2-3】已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； （2）因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 类型三、累乘法求数列通项公式 例3.已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. 【变式3-1】在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 又， ， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知， 设的前项和为，其中， 故， 当时，，当时，， ∴当时，； 当时， ， 综上，数列的前项和. 【变式3-2】已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又因为，即对也成立，所以． （2）①， ②， ①-②得： ， 所以． 【变式3-3】已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减得，即， 所以，所以， 累乘得， 即，又，所以， 又也满足上式，所以. （2）记， 所以 . 类型四、构造法求数列通项公式：已知构目标型 例4.已知等差数列的通项公式，数列满足．证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析，. 【详解】因为数列满足，即 所以， 又，，故，， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. 【变式4-1】在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项积为，求和. 【答案】(1)证明见解析，； (2)，. 【详解】（1）在数列中，由，得，而， 是以9为首项，3为公比的等比数列； 因此，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得， 所以， . 【变式4-2】已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【答案】(1); (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3) 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 类型五、构造法求数列通项公式：型 例5.已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) 【详解】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 【变式5-1】已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. 【变式5-2】已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 【变式5-3】记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； （2）因为． 所以 ． 类型六、构造法求数列通项公式：型 例6.已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 【变式6-1】已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 【答案】. 【详解】 由，得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即. 【变式6-2】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【详解】，，又， 是以为公比和首项的等比数列， ， . 【变式6-3】已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 类型七、构造法求数列通项公式：型 例7.数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 【变式7-1】已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】， ， 即，又，， 所以数列是首项为13，公比为3的等比数列， ， . 【变式7-2】已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】解法一：因为， 设， 所以， 则，解得， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：因为，两边同时除以得， 所以，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，所以. 【变式7-3】数列的前项和为，已知. (1)时，写出与之间的递推关系； (2)求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， 得：，即， 在①中：令得，也符合上式， 所以. （2）因为，则，且 所以数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 类型八、构造法求数列通项公式：型 例8.已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 【变式8-1】已知数列，，且满足，，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，，则，依次类推得， 所以数列为常数列，所以． 即所求数列的通项公式为． 【变式8-2】已知数列的首项，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为. （i）求数列的通项公式； （ii）证明. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）依题意，又， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ， . （2）（i）由（1）知.设的前项和为，则. 显然数列分组后第组有项，前面组共有项， 当时，， 当时，，满足上式， 数列的通项公式为. （ii）， 当时，. 当时，. 当时， ， 故. 类型九、构造法求数列通项公式：分式型 例9.已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【详解】由，，得，， 所以，又 故数列是首项、公比均为的等比数列， 则，故． 【变式9-1】已知数列满足：求通项. 【答案】 【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2， ， ∴. 【变式9-2】已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】． 【详解】令，整理得，故或， 由可得，令并将代入，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故，整理得. 【变式9-3】已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 类型十、构造法求数列通项公式：型 例10.已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 【变式10-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【答案】 【详解】因为，所以， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以当时， ， 又当时，，符合上式， 所以对于任意正整数n都有． 【变式10-2】已知数列满足，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. （2）解：令，则， 则. 令①， 所以②， ①②得， 所以，所以. 一、单选题 1．数列中，，，前项和为，则下面正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 2．在正项数列中，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，，又， 所以， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即. 由，得， 当为奇数时，为递增数列， 所以，即. 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以. 所以. 故选：C. 3．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 二、多选题 4．记为数列的前项和，且，，则（   ） A． B．为等比数列 C．数列单调递减 D． 【答案】ABD 【详解】令，则，即， 因为，所以，故A正确，C错误； 因为，所以， 两式作差得， 当时，符合上式，故，则， 因为，由以上递推关系可知，所以， 则是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 得，则， 则，故D正确. 故选：ABD 5．已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 6．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 【答案】ACD 【详解】已知数列的前项和为，且满足 时，，， 时，， 由得， 化简得， 两边同除以，得， 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 代入得 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：数列中，所以， 令，得，则前项和需分和讨论： 当时，，则前5项和为； 当时，，则前项和为： ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 8．在数列中，，则的最小值为 . 【答案】5 【详解】因为，所以， ，，， ……，， 这个式子相加可得： ， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：. 9．已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 四、解答题 10．已知各项均不为零的数列，且满足. (1)若是公比为的等比数列，求数列的前项和； (2)若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； （2）证明：因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 11．已知数列前项和为，满足，. (1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；. (2) 【详解】（1），当时，， ， ， 因为，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）由（1）得， ， ， ， ， . 12．已知数列的首项为1，前项和为，且满足. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，所以数列是首项为的常数列. 所以，即. 所以当时，. 当时，，也符合上式. 所以 （2）由（1）得，. 所以. 13．已知数列的前项和为，且满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，得，作差可得， ，化简得，即， 所以数列从第二项开始为常数列，且，即 又，所以，不符合上式， 所以； （2）由（1）知，； ， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03数列通项公式求解方法10类题型归类 目录 典例详解 类型一、利用Sn与an的关系求数列通项公式 类型二、累加法求数列通项公式 类型三、累乘法求数列通项公式 类型四、构造法求数列通项公式：已知构目标型 类型五、构造法求数列通项公式：{4，+型 类型六、构造法求数列通项公式：{an++b型 类型七、构造法求数列通项公式：{a,+元p型 类型八、构造法求数列通项公式： an 型 类型九、构造法求数列通项公式：分式型 类型十、构造法求数列通项公式：{an+入an}型 压轴专练 典例详解 类型一、利用Sn与an的关系求数列通项公式 例1.已知各项均为正数的数列an}前n项和为Sn,且满足：4Sn=(an+1. (1)求{an}的通项公式： (2)令bn= +n2:数列a的前0项和为工，求证：工<分 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(a.-1. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)设b.=10g,a2-log24a 数列b,的前n项和为工，求证：了，<2· 【变式1-2】已知数列{a,}满足9+2+++%=n 246 2n (1)求数列{an}的通项公式； (2)若b,=a。·2-,数列{b}的前n项和为n,求使Tn>2025的最小的正整数n的值. 【变式1-3】记数列an}的前n项和为Sn,已知a,=1,{2a,-Sn}为常数列. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)在a,与an1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列 dn 的前n项和T· 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、累加法求数列通项公式 例2.在数列an}中，a3=10,且(n+1)an1=(n+2)an+6. (1)求a·a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； 3)求数列 （-1”×8n a,an 的前n项和S,并证明：号S≤号 【变式2-1】在数列an}中，a=4,an+1-an=2n+4. (1)求an: 2)设b,=n (n+1) -,求数列{bn}的前n项和Sn. 【变式2-2】已知数列an}满足a1=1,a2=4,a+2-4am+1+3an=0. (1)设b,=an1-an,求证：数列{bn}为等比数列； (2)求{an}的通项公式. 【变式2-3】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)若首项为3的数列bn}满足bn1-bn=an+1,求数列 的前n项和T, b 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、累乘法求数列通项公式 例3.已知数列(a,中，32n-1a-(2n+1a,=0,a=3 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn: 【变式3-1】在数列{an}中，a=1,(n-1)an=nan-（n≥2). (1)求数列{an}的通项公式： (2)设b,=a,-9,求数列(bn}的前n项和Tn· 【变式3-2】已知数列a,满足4=2，且“1-22m+) an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn· 【变式3-3】已知数列an}的前n项和为S,41=1,3Sn=(n+2)an· (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{(-1)”an}的前2n项和Tn 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、构造法求数列通项公式：已知构目标型 例4.已知等差数列an}的通项公式a。=2n-1,数列bn}满足b=4,bn+1=3bn-an·证明：数列b,-n是等 比数列，并求{b}的通项公式； 【变式4-1】在数列{an}中，a=3,a2=18,且对任意的n∈N,都有an+2=6an+1-9a· (1)证明：{an1-3an}是等比数列，并求出{an}的通项公式； 02,m=2k-1 (2)若b.= ,k∈N,且数列{bn}的前n项积为Tn,求Ts和T4 l10g,2 °n30+1,n=2k 【变式4-2】己知数列an}满足an+1=2an+2,且a1=2. (1)求a的值： (2)求证：数列 是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差： 2 (3)求数列{an}的前n项和Sn 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、构造法求数列通项公式：{an+型 例5.已知首项为2的数列{an}满足a1=2an+2. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)记bn= g,a,+2-18,a2数列的前n项和为，求证：<号 6 【变式5-1】已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a=0,求数列{an}的通项公式. 【变式5-2】已知数列a,满足a,=3,a1=2a,+1,数列b,}满足6++++，么，=n. 35 2n-1 (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2将{b,}中的项按从小到大的顺序插入{a}中，且在任意的a,a1之间插入(2k-1)项，从而构成一个新 数列{Cn}:4,b,2,b2,b,b4,a,…,设{cn}的前n项和为n,求To(请用数字作答)· 【变式5-3】记Sn为数列(an}的前n项和，已知3Sn=4an-3n. (1)求an: (2)设bn=8,+1 ，求数列{bn}的前n项和工. anan 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型六、构造法求数列通项公式：{an+k1+b}型 7 例6.已知数列a}满足4=3,01=30，-4n+2,求出数列a,的通项公式. 【变式6-1】已知数列an}的首项a,=2,且满足an1=3an+2n-1(n∈N),数列(an}的通项公式. 【变式6-2】已知数列{an}的前n项和为Sn,S=1,且a1=2an+n-1,，求通项公式an 【变式63】已知：4=1,22时，4，=0+2n-1,求a的遥项公式. 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型七、构造法求数列通项公式：{a。+元·p}型 例7.数列an}中，a1=3,满足a+1-4an=3×4. (1)求{an}的通项公式： (2)记数列{an}的前n项和为Sn,求Sn 【变式7-1】已知数列{an}满足a+1=3an+5×2”+4,a1=1,求数列{an}的通项公式. 【变式7-2】已知数列{an}满足a1=2an+4×3"-,a,=1,求数列{an}的通项公式. 【变式7-3】数列{an}的前n项和为Sn,已知a,=2,3Sn=an+1-22+2n∈N). (1)neN时，写出a1与a,之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型八、构造法求数列通项公式： a, 型 例8.已知数列an}满足a,=2,a1=2an+3·2+ (1)求数列{an}的通项公式： 2设，-+0，记数列b,的前m项和为S. 3n-2 ①求Sn; ②若neN，Sn<m·3成立，求m的取值范围. 【变式8-1】已知数列{a}，a=2,且满足a1+2a,=2+2,n∈N,求数列{a}的通项公式： 【俊式82】已知数列a的首项a-分满足a=+日(ueN) (1)求数列{a}的通项公式： (2)设b,=2”an,将数列{bn}分组：(b,),（b2,b),(b,b,b6),(b,b,bg,bo,，记第n组的和为Cn· (i)求数列{cn}的通项公式； (m)证明上+2+3+…+”< 9C29cn41 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型九、构造法求数列通项公式：分式型 2 例9.已知数列{an}的首项a1= 1 a. 【变式9-1】已知数列a满足：4=2。≥2小，求通项a 【变式9-2】已知数列a,}满足a=2,0,=+2 (n≥2)，求数列{an}的通项公式. 2am-1+1 【支式9-3】已知数列a中，4-兮=2产。，求数列o的适攻公式 10/14