专题01 等差数列及其性质9类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题01 等差数列及其性质9类题型归类 目录 典例详解 类型一、等差数列通项公式与前n项和的计算 类型二、等差中项 类型三、等差数列通项公式的函数性质 类型四、等差数列前n项和的函数性质 类型五、等差数列片段和的性质 类型六、两个等差数列的前n项和之比问题 类型七、含绝对值的等差数列前n项和 类型八、等差数列奇数项或偶数项的和 类型九、等差数列的应用 压轴专练 类型一、等差数列通项公式与前n项和的计算 【知识归纳】 1. 等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.该常数称为公差，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2. 等差数列的通项：. 3. 等差数列前项和. 例1.等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 【变式1-1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【变式1-2】在等差数列中，，则 . 【变式1-3】记为等差数列的前项和，若，则 . 类型二、等差中项 例2.已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【变式2-1】在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【变式2-2】若成等差数列，则正数的值为 . 【变式2-3】已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 类型三、等差数列通项公式的函数性质 例3.设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【变式3-3】在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 类型四、等差数列前n项和的函数性质 例4.已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为 . 【变式4-1】设等差数列的前项和为，若，则使取得最小值的n的值为 . 【变式4-2】在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【变式4-3】已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 类型五、等差数列片段和的性质 例5.已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 【变式5-2】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【变式5-3】已知等差数列的前项和，，，则 ． 类型六、两个等差数列的前n项和之比问题 例6.设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【变式6-3】已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 类型七、含绝对值的等差数列前n项和 例7.记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式7-1】已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【变式7-2】已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【变式7-3】在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 类型八、等差数列奇数项或偶数项的和 例8.等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-1】已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【变式8-2】等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【变式8-3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 类型九、等差数列的应用 例9.在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是 人. 【变式9-1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块. 【变式9-2】中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【变式9-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 . 一、单选题 1．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2．已知等差数列的公差，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 二、多选题 4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 5．已知数列的前n项和公式为，则（    ） A． B．是递增数列 C． D．是等差数列 6．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．为中的最大项 C． D． 三、填空题 7．已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 8．已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为 . 9．已知等差数列的前项和为，若，，则 ，设数列的前项和为，则 . 四、解答题 10．已知数列是等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值. 11．已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 12．已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列及其性质9类题型归类 目录 典例详解 类型一、等差数列通项公式与前n项和的计算 1 类型二、等差中项 3 类型三、等差数列通项公式的函数性质 4 类型四、等差数列前n项和的函数性质 6 类型五、等差数列片段和的性质 8 类型六、两个等差数列的前n项和之比问题 9 类型七、含绝对值的等差数列前n项和 11 类型八、等差数列奇数项或偶数项的和 15 类型九、等差数列的应用 16 压轴专练 类型一、等差数列通项公式与前n项和的计算 【知识归纳】 1. 等差数列的定义 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列.该常数称为公差，记为. 即对任意正整数，. 也可表示为对任意正整数，. 2. 等差数列的通项：. 3. 等差数列前项和. 例1.等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 【答案】B 【详解】设单调递减等差数列的公差为， 由，得， 即，解得， . 故选：B 【变式1-1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 故选：C. 【变式1-2】在等差数列中，，则 . 【答案】5 【详解】因为是等差数列，设等差数列公差为， 由，得， 则. 故答案为：5. 【变式1-3】记为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则由题可知，， 解得，故，， 故， 故答案为：. 类型二、等差中项 例2.已知等差数列中， ，则（   ） A．9 B．6 C．3 D．15 【答案】A 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 【变式2-1】在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 【变式2-2】若成等差数列，则正数的值为 . 【答案】 【详解】由题意可知，且， 则，则，得. 故答案为： 【变式2-3】已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】7 【详解】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 类型三、等差数列通项公式的函数性质 例3.设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 【变式3-1】设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式3-2】已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【答案】 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 【变式3-3】在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意可得，则 又等差数列各项为正，则，所以． 故答案为： 类型四、等差数列前n项和的函数性质 例4.已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是中的唯一最大项， 所以且， 即且，又， 解得， 即的取值范围为， 故答案为： 【变式4-1】设等差数列的前项和为，若，则使取得最小值的n的值为 . 【答案】4或5 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以， 令，得，解得， 由，可知数列是递增数列， 所以当或时，取得最小值. 故答案为：4或5. 【变式4-2】在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【详解】（1）数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 【变式4-3】已知等差数列的前项和为，若． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为9. 【详解】（1）由题设，，所以， 令的公差为，则， 所以； （2）由（1），若，且，则， 而时，故时取得最大值， 所以. 类型五、等差数列片段和的性质 例5.已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 【变式5-1】已知是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．60 B．50 C．90 D．70 【答案】C 【详解】成等差数列， 又， 所以，所以， 故选：C 【变式5-2】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 【变式5-3】已知等差数列的前项和，，，则 ． 【答案】24 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：24. 类型六、两个等差数列的前n项和之比问题 例6.设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因数列均为等差数列， 则. 故选：A 【变式6-1】两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个等差数列和的前项和分别为、， ， . 故选：A. 【变式6-2】记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列且， 所以. 故答案为： 【变式6-3】已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】/ 【详解】因为是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 类型七、含绝对值的等差数列前n项和 例7.记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 【变式7-1】已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. （2）由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 【变式7-2】已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和． (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. （2）由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. （3）由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 【变式7-3】在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 类型八、等差数列奇数项或偶数项的和 例8.等差数列共有项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设公差为，由题意可知奇数项和偶数项都有项， 且， 所以， 又， 所以有， 解得， 故选：B. 【变式8-1】已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 【变式8-2】等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 【变式8-3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 类型九、等差数列的应用 例9.在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是 人. 【答案】 【详解】设游戏人数为， 若，则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，小明在报数之前没有报“过” ， 综上，， 故答案为： 【变式9-1】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块. 【答案】2997 【详解】设第k环扇形石板块数为，上层共有n环，为数列的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇形石板（块）. 故答案为：2997 【变式9-2】中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【答案】 63 405 【详解】由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数列，且首项，公差， 则第7圈的石板数为，前9圈的石板总数为． 故答案为：63；405． 【变式9-3】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 . 【答案】61岁5个月 【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为，， 则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月. 依此规律，1970年5月出生的男职工，因为， 所以他的退休年龄应该是的第17项， 即他的退休年龄为岁17个月=61岁5个月. 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁2个月 1966.5 60岁5个月 1967.5 60岁8个月 1968.5 60岁11个月 1969.5 61岁2个月 1970.5 61岁5个月 故答案为：61岁5个月. 一、单选题 1．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【详解】由得公差: 首项，故。 由得， 因此：当时，；当时，， ,，， ，，， 可见在时取到最大正值， 当时，，随着增大单调递增，无最小项. 故选：A 2．已知等差数列的公差，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由，所以，即，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故时，的最小值为. 故选：B 3．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 二、多选题 4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 【答案】BCD 【详解】由，可得，即， 又由，，即， 得，且，则， 所以，所以的最大值为，无最小值. 且数列中最小， 故B，C，D均正确，A错误. 故选：BCD. 5．已知数列的前n项和公式为，则（    ） A． B．是递增数列 C． D．是等差数列 【答案】AD 【详解】由， 当时，； 当时，， 显然满足上式，则，故A正确； 由，则， 所以是递减数列，故B错误； 由于，，则，故C错误； 由于， 则， 所以是等差数列，故D正确. 故选：AD 6．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．为中的最大项 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：当时，；当时，， 经检验，当时，，故，A正确； 对于B：当时；；时，， 故和为中的最大项，B错误； 对于C：，C正确； 对于D： ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 7．已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【答案】1 【详解】由，， 所以. 故答案为：. 8．已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为 . 【答案】 【详解】因为等差数列的公差为，前项和为，满足，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故答案为： 9．已知等差数列的前项和为，若，，则 ，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，，前项和, 所以，故，解得公差， 所以， 由，得，​ 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 10．已知数列是等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设数列的公差为，则，得，则. （2）得； 得， 故当时有最小值，为. 11．已知等差数列，公差，． (1)求的值； (2)记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)100 【详解】（1）由等差数列的性质可知； （2）设等差数列的首项为，所以， 得， 所以. 12．已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $