第13讲 等边三角形 精讲提升培优讲义2025- 2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦等边三角形的性质（每个内角60°）与判定（三个内角相等或有一个角60°的等腰三角形），通过与等腰三角形对比构建知识支架，梳理性质、判定及易错点，形成从一般到特殊的认知脉络。 资料以“知识梳理-真题精讲-练习巩固”为主线，真题涵盖性质应用、判定证明及创新压轴题，如证明题培养推理能力，勒洛三角形问题发展创新意识，助力教师高效授课，学生课后可针对性练习查漏补缺。

第13讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.3 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握等边三角形的性质和判定； 2.理解等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点一 等边三角形的性质与判定 1.性质：等边三角形的每个内角都等于60°。 2.判定：①三个内角相等；②有一个角是60°的等腰三角形。 学习方法：利用等腰三角形性质和三角形内角和推导。 易错点：判定②中若60°角是底角，则顶角也是60°（因为等腰），故仍可判定；但需注意已知是等腰且有一角60°，不指明是顶角还是底角都可推出等边。 知识点二 等腰三角形与等边三角形对比 一．等边三角形的性质（共13小题） 1．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°． 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（　　） A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC 【分析】根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°， ∴∠DAB＝∠DAC＝30°， ∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°， ∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确 ∴BE＝BD，故③正确， 无法得出AC＝AE，故④错误； 故选：D． 【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题． 3．已知两个等边三角形的边长比为2：3，则这两个三角形的面积比为 　　 ． 【分析】根据△ABC和△DEF都是等边三角形得∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，AB：DE＝2：3，由此得△ABC和△DEF相似，则，据此即可得出答案． 【解答】解：如图所示： △ABC和△DEF都是等边三角形，且AB：DE＝2：3， ∴∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°， ∴△ABC∽△DEF， ∴， ∴这两个三角形的面积比为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　2　 ． 【分析】先设BD＝x，则CD＝4﹣x，根据△ABC是等边三角形，得出∠B＝∠C＝60°，再利用三角函数求出BE和CF的长，即可得出BE+CF的值． 【解答】解：设BD＝x，则CD＝4﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°． ∴BE＝cos60°•BD， 同理可得，CF， ∴BE+CF2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 5．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　85　 °． 【分析】根据等边三角形性质得∠BAC＝60°，再根据∠1＝25°得∠EAC＝85°，然后根据光线AE∥CF即可得出∠2的度数． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°． 故答案为：85°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 6．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①②④　 （填番号） 【分析】由已知条件，得到线段相等，角相等，可得到三角形全等，利用三角形全等求对应边，对应角相等求得其它结论． 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确 由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴正确答案①②④ 【点评】本题考查了等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质．能够用全等求解边相等，角相等． 7．如图，已知∠AOB＝120°，在平面内取一点C，满足∠AOC＝α°（120＜α＜180），以OC为边作等边△COD（OD在OC的逆时针60°方向上），作OM平分∠BOC，∠DOM的度数是 　或　 °．（用含α的代数式表示） 【分析】分两种情况讨论：当OD在∠AOB的内部时，当OD在∠AOB的外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：①当OD在∠AOB的内部时，如图， ∵△COD为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOC＝α°（120＜α＜180），∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α°﹣120°， ∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣（α°﹣120°）＝180°﹣α°， ∵OM平分∠BOC， ∴， ∴∠DOM＝∠BOD+∠BOM＝180°﹣α°α°﹣60°＝120°α°； ②当OD在∠AOB的外部时，如图， ∵△COD为等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOC＝α°（120＜α＜180），∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB＝360°﹣α°﹣120°＝240°﹣α°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝240°﹣α°﹣60°＝180°﹣α°， ∵OM平分∠BOC， ∴， ∴∠， 综上，∠DOM的度数是， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了角平分线定义，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝90°，则∠1＝ 　75°　 ． 【分析】由等边三角形的性质推出∠ABC＝∠CAB＝∠ACB＝60°，AB＝BC，得到AB＝BD，推出∠ADB＝∠DAB（180°﹣150°）＝15°，求出∠CAD＝45°，由三角形内角和定理即可求出∠1的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CAB＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BC＝BD， ∴AB＝BD， ∴∠ADB＝∠DAB， ∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝60°+90°＝150°， ∴∠DAB（180°﹣150°）＝15°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝45°， ∴∠1＝ 180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是等边三角形的性质得到BA＝BD． 9．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q． （1）求证：△BAN≌△ACM； （2）求∠BQM的大小． 【分析】（1）根据等边三角形的性质求得∠BAC＝∠BCA＝60°，再根据等边三角形的边长相等求得CM＝AN，最后由SAS证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠CAM＝∠ABN；然后由∠BQM＝∠ABN+∠BAQ来找∠BAC与其的关系． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°， ∵BM＝CN， ∴CM＝AN， 又∵∠BAN＝∠ACM， ∴△BAN≌△ACM； （2）∴∠CAM＝∠ABN， ∴∠BQM＝∠ABN+∠BAQ＝∠CAM+∠BAQ＝∠BAC＝60°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便． 10．阅读并填空： 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到点E，使得CE＝CD，那么DB＝DE，为什么？ 解：因为AB＝AC＝BC（已知）， 所以∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 又因为BD是边AC上的高（已知）， 所以 （ 　等腰三角形三线合一　 ）， 由CD＝CE， 得∠E＝　∠CDE ， 因为∠ACB＝∠E+　∠CDE ， 所以2∠E＝60°， 得∠E＝30°， 得∠DBC＝∠E， 所以DB＝DE （ 　等角对等边　 ）． 【分析】由△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，利用等腰三角形三线合一，可以知道，由等边对等角，可以推出∠E＝∠CDE，结合外角的性质，可以证明∠DBC＝∠E，根据等角对等边，得证． 【解答】解：因为AB＝AC＝BC（已知）， 所以∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 又因为BD是边AC上的高（已知）， 所以（等腰三角形三线合一）， 由CD＝CE， 得∠E＝∠CDE， 因为∠ACB＝∠E+∠CDE， 所以2∠E＝60°， 得∠E＝30°， 得∠DBC＝∠E， 所以DB＝DE（等角对等边）． 故答案为：等腰三角形三线合一；∠CDE；∠CDE，等角对等边． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE． 【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知）， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键． 12．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE＝CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 【分析】（1）由题意可推出∠ACB＝60°，∠E＝∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB＝∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数； （2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC＝30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴， （2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴∠ABC＝60°， ∴， ∵∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴△DBE是等腰三角形． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键在于认真阅读题目给出的已知条件，结合相关的性质定理，推出∠E的度数． 13．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC． （1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由； （2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE＝30°，BE＝AE，等腰三角形的判定和性质； （2）如图1，E在线段AB上时，由（1）知，BD＝AE＝1，则CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，过E作AC的平行线与BC交于点H，构造等边△BEH，通过证得△EBD≌△EHC，得到BD＝HC＝AE＝1，从而求得CD． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点， ∴∠BCE＝30°，BE＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠BCE＝30°， ∵∠ABD＝120°， ∴∠DEB＝30°， ∴DB＝EB， ∴AE＝DB； （2）如图1，E在线段AB上时， ∵AB＝2，AE＝1， ∴点E是AB的中点， 由（1）知，BD＝AE＝1， ∴CD＝BC+BD＝3； 如图2，E在线段AB的反向延长线上时， ∵AE＝1，AB＝2， ∴BE＝3， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2， 过E作EH∥AC交BC的延长线于H， ∴∠BEH＝∠BHE＝60°， ∴△BEH是等边三角形， ∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC， ∴∠BED＝∠HEC， 在△BDE和△HCE中， ， ∴△BDE≌△HCE（SAS）， ∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1， ∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1． 综上所述，CD的长为1或3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二．等边三角形的判定（共9小题） 14．下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【解答】解：A、∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， 不能说明△ABC为等边三角形， 故A不符合题意； B、∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， 故B符合题意； C、∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、AB＝AC， △ABC不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 15．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 【分析】对于选项A，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可对选项A进行判断； 对于选项B，根据AB＝AC得∠B＝∠C，进而得∠A＝∠B＝∠C，由此即可对选项B进行判断； 对于选项C，根据两个角都等于60°的三角形是等边三角形即可对选项C进行判断； 对于选项D，根据∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C得∠C＝60°，但是根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，综上所述即可得出结论． 【解答】解：对于选项A， ∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形， 故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项C， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 故选项C能判定△ABC是等边三角形，不合题意； 对于选项D， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C， ∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝60°， 根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形， 故选项D符合题意． 故选D． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 16．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个内角是60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形 【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形． 【解答】解：A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意； B、三个外角相等说明该三角形中三个内角相等，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意； C、等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理． 17．已知△ABC是等腰三角形，再补充一个条件 　∠B＝60°（答案不唯一）　 ，则可判断它是等边三角形． 【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是等腰三角形， ∴不妨假设AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴当∠B＝60°时，则∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 当∠A＝60°时，∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 故答案为：∠B＝60°（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键． 18．在△ABC中，AB＝AC，若要使△ABC是等边三角形，那么需添加一个条件：AB＝BC 或　∠A＝60°　 （从不同角度填空）． 【分析】根据三边都相等的三角形是等边三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答． 【解答】解：要使△ABC是等边三角形，从边考虑：可以添加的条件为AC＝BC， 从角考虑：可以添加的条件为∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°． 所以可以添加的条件是AB＝AC或∠A＝60°． 故答案为：AB＝AC或∠A＝60°（答案不唯一）． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，注意从边的角度与角的角度两个方面考虑求解，熟记等边三角形的判定方法是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°．点D是边BA延长线上一点，DE∥AC，且∠D＝∠B．求证：△ABC是等边三角形． 【分析】首先由DE∥AC得到∠D＝∠BAC，然后等量代换得到∠BAC＝∠B，推出AC＝BC，然后结合∠ACB＝60°即可证明△ABC是等边三角形． 【解答】证明：由条件可知∠D＝∠BAC， ∵∠D＝∠B， ∴∠BAC＝∠B， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E，进而利用等边三角形的判定解答即可． 【解答】证明：∵AD∥CB， ∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°， ∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°． ∴△ECD为等边三角形． 【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E解答． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交边BC于点D，且DA＝DC，延长DA使EA＝DA，连接BE． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：△EBD是等边三角形． 【分析】（1）由题意易得∠ABD＝∠DAC＝∠C，∠BAD＝90°，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得∠ADB＝60°，BD＝BE，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠C（等边对等角）． ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD（等边对等角）． ∴∠ABD＝∠DAC＝∠C（等量代换）． ∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°． ∴3∠ABC＝180°﹣90°＝90°． ∴∠ABC＝30°． （2）证明：∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵EA＝AD，AB⊥DE， ∴BD＝BE． ∴△BDE是等边三角形． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定是解题的关键． 22．如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论． 【分析】（1）根据CD＝CF得∠F＝∠CDF＝∠ADE，根据DE⊥AB得∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠F＝90°，由此得∠A＝∠B，继而可得出结论； （2）根据∠F＝30°得∠B＝90°﹣∠F＝60°，再根据△ABC是等腰三角形得△ABC是等边三角形，由此可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CD＝CF， ∴∠F＝∠CDF， ∵∠CDF＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠F， ∵DE⊥AB于E， ∴∠DEA＝∠FEB＝90°， 在Rt△ADE和Rt中，∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠F＝90°， ∴∠A＝∠B， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形，证明如下： ∵∠F＝30° ∴∠B＝90°﹣∠F＝60°， 由（1）可知：△ABC是等腰三角形， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定是解决问题的关键． 三．等边三角形的性质与判断（共10小题） 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAD＝∠ACE， ∴EA＝EC， ∵CE＝9， ∴AE＝9， ∴ED＝12﹣9＝3， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°， ∴△EFD是等边三角形， ∴EF＝ED＝3， ∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键． 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD，可判断①正确； 利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，利用8字形可得∠AGB＝∠ACB＝60°，可判断②正确； 证明△BCF≌△ACH，得BF＝AH，可判断③正确； 由CF＝CH和∠ACH＝60°，根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形，可判断④正确． 【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确； ∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF＝∠CAH． ∵∠BFC＝∠AFG， ∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确； 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确； ∵CF＝CH，∠ACH＝60°， ∴△CFH是等边三角形；故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 25．如图所示，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD，2CE＝AC，那么DE的长是　1　 ． 【分析】在Rt△AEC中，由于，可以得到∠1＝∠2＝30°，又由AD＝BD＝4，得到∠B＝∠2＝30°，从而求出∠ACD＝90°，然后由直角三角形的性质求出CD，进而求得DE． 【解答】解：在Rt△AEC中，∵， ∴∠1＝∠2＝30°， ∵AD＝BD＝4， ∴∠B＝∠2＝30°， ∴∠ACD＝180°﹣30°×3＝90°， ∴CDAD＝2，∠CDE＝60°， ∵CE⊥AD， ∴∠ECD＝30°， ∴DECD＝1． 故答案为1． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF长为　4　 ． 【分析】首先根据AB＝AD＝12，∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝4，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝4． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°（等边三角形的性质）， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴AE＝CE， ∴DEAD＝4， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4（等边三角形的性质）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 27．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝15cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是　15　 cm． 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答． 【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵OA＝OB＝15cm， ∴AB＝OA＝OB＝15cm． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定和性质，关键是相关性质和判定定理的熟练掌握． 28．如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 　①③④　 ． 【分析】利用等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABE＝∠DBC，即可证明△ABE≌△DBC，即可判断①；证明△AGB≌△DFB（ASA），则AG＝DF＞DH，即可判断②；过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N．根据全等三角形的性质和三角形面积得到AE•BMCD•BN，即可判断③；根据GB＝FB，∠DBF＝60°，即可证明④． 【解答】解：∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BD， ∴∠DBF＝180°﹣∠ABD﹣∠EBC＝60°，∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确， ∴∠BAE＝∠BDC， 在△AGB和△DFB中， ， ∴△AGB≌△DFB（ASA）， ∴AG＝DF＞DH， 故②错误； 过点B作BN⊥CD于N．BM⊥AE于M， ∵△ABE≌△DBC， ∴AE＝CD， ∵BN⊥CD，BM⊥AE， ∴AE•BMCD•BN， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴GB＝FB， 又∵∠DBF＝60°， ∴△GBF是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 29．如图，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，根据平角的定义得到∠ADF＝∠BED＝∠CFE，由三角形的内角和得到∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，于是得到结论． 【解答】解：△ABC是等边三角形， 理由：∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°， ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE， ∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形的内角和，平角的定义．熟练掌握等边三角形 的判定和性质是解题的关键． 30．已知：点D是等边△ABC边上任意一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE． （1）说明△ABD≌△ACE的理由； （2）△ADE是什么三角形？为什么？ 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△ACE； （2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等判定AD＝AE，则△ADE是等腰三角形． 【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：△ADE是等腰三角形．理由如下： ∵由（1）知△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 31．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，若△BCE的周长为18cm，求DC的长． 解：因为DF平分∠CDA，（已知） 所以∠FDC∠ADC ．（　角平分线意义　 ） 因为∠CDA＝120°，（已知）所以∠FDC＝　60　 °． 因为DF∥BE，（已知）所以∠FDC＝∠BEC ＝60°．（　两直线平行，同位角相等　 ） 又因为EC＝EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形　 ） 因为△BCE的周长为18cm，（已知） 所以BE＝EC＝BC＝6cm． 因为点E是DC的中点，（已知） 所以DC＝2EC＝12cm． 【分析】利用角平分线的性质得出∠FDC的度数，再利用平行线的性质得出∠FDC的度数，进而得出△BCE为等边三角形． 【解答】解：因为DF平分∠CDA，（已知） 所以∠FDC∠ADC．（角平分线意义） 因为∠CDA＝120°，（已知）所以∠FDC＝60°． 因为DF∥BE，（已知）所以∠FDC＝∠BEC＝60°．（两直线平行，同位角相等） 又因为EC＝EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 因为△BCE的周长为18cm，（已知） 所以BE＝EC＝BC＝6cm． 因为点E是DC的中点，（已知） 所以DC＝2EC＝12cm． 故答案为：ADC；角平分线意义；60；BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出∠FDC＝∠BEC是解题关键． 32．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD，CD，AD＝CD．过点D作DE∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）判断△AEF的形状，并说明理由； （2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度数． 【分析】（1）结论：△AEF是等边三角形．证明∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°即可； （2）求出∠EDC＝100°可得结论． 【解答】解：（1）结论：△AEF是等边三角形． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵DE∥CB， ∴∠AFE＝∠ACB＝60°， ∴∠EAF＝∠AFE＝∠AEF＝60°， ∴△AEF是等边三角形； （2）∵DA＝DC，∠ADC＝140°， ∴∠DAC＝∠DCA＝20°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠DCB＝∠DCA+∠ACB＝80°， ∵DE∥CB， ∴∠EDC＝180°﹣∠DCB＝100°， ∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC140°﹣100°＝40°． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 四．创新及压轴题（共7小题） 33．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　不变　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 【分析】设AE＝a，则BD＝2AE＝2a，在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，根据等边三角形性质得AB＝AC，∠A＝60°，则AD＝NE＝AB﹣2a，根据△DEF是等边三角形得DE＝EF，∠DEF＝60°，进而得∠ADE＝∠NEF，由此可依据“SAS”判定△ADE和△NEF全等得∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a，则CN＝NF＝a，继而根据三角形外角性质得∠ECF＝30°，据此即可得出答案． 【解答】解：∠ECF大小不发生变化，始终等于30°，理由如下： 设AE＝a，则BD＝2AE＝2a， 在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°， ∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣2a，NE＝AC﹣（CN+AE）＝AB﹣2a， ∴AD＝NE， 在△ADE中，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠AED+∠NEF＝180°﹣∠DEF＝120°， ∴∠ADE＝∠NEF， 在△ADE和△NEF中， ， ∴△ADE≌△NEF（SAS）， ∴∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a， ∴CN＝NF＝a， ∴∠NFC＝∠ECF， ∵∠ENF是△NFC的外角， ∴∠ENF＝∠NFC+∠ECF， ∴2∠ECF＝60°， ∴∠ECF＝30°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 34．生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． （1）若图1中给定的等边三角形ABC的边长为6cm，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） （2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝a），联结每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧 AD就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是 aπ　 （结果保留π，用含a的式子表示）． 【分析】（1）依题意得弧AB＝弧BC＝弧AC，由弧长公式得弧BC的长为2πcm，由此可得出勒洛三角形的周长； （1）设AE与Cd交于点P，BC与AE相交于点Q，设∠A＝β°，∠B＝b°，∠C＝c°，∠D＝d°，∠E＝e°，先根据三角形外角性质及三角形内角和定理证明∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，则β+b+c+d+e＝180，由弧长公式得长为，长为，长为，长为，长为，进而得勒洛五边形的周长是aπ，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，且边长为6cm， ∴AB＝BC＝AC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴弧AB＝弧BC＝弧AC， 由弧长公式得：弧BC的长为：2π（cm）， ∴勒洛三角形的周长为：3×2π＝6π（cm）； （1）设AE与Cd交于点P，BC与AE相交于点Q，如图所示： 设∠A＝β°，∠B＝b°，∠C＝c°，∠D＝d°，∠E＝e°， ∵∠CPE是△PDE的外角， ∴∠CPE＝∠D+∠E， ∵∠PQB是△PQC的外角， ∴∠PQB＝∠CPE+∠C＝∠D+∠E+∠C， 在△ABQ中，∠A+∠B+∠PQB＝180°， ∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°， ∴β+b+c+d+e＝180， 由弧长公式得：长为：，长为：，长为：，长为：，长为：， ∴勒洛五边形的周长是：是， ∵β+b+c+d+e＝180， ∴勒洛五边形的周长是：aπ． 故答案为：aπ． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的内角和定理和外角性质，弧长的计算公式解决问题的关键． 35．如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：（1）判断：AP⊥BC， 理由如下：如图1， ∵t＝3， ∴BP＝CP＝3， ∵AB＝AC， ∴AP⊥BC； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，点P为AB中点或点P为AC中点，则CB+CP＝9或CB+BA+CP＝15， ∴t＝9或t＝15， ∴当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为9或15； （3）当点P在边BC上，且点Q在边AC上时，CP＝t，CQ＝1.5t 则t+1.5t＝9， ∴t＝3.6， 当点P在边AB上，且点Q在边BC上时，BP＝t﹣6，BQ＝1.5t﹣12， 则t﹣6+1.5t﹣12＝9， ∴t＝10.8， 所以当t为3.6或10.8秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 36．将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题： （1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； （2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； （3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质或等边三角形的定义可得结论：∠BCD＝∠ACE； （2）根据角的和与差可得结论：∠BCE﹣∠ACD＝120°； （3）在旋转角0°＜a＜360°时，正确画图可得结论． 【解答】解：（1）如图2，∠BCD＝∠ACE，理由如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE； （2）如图3，∠BCE﹣∠ACD＝120°，理由如下： 由旋转得：∠BCD＝∠ACE， ∴∠BCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠ACD+∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠DCE＝120°； （3）如图4，当DE∥BC时，α＝60°； 如图5，当DE∥BC时，α＝180°+60°＝240°； 综上，当DE∥BC时旋转角的度数为60°或240°． 【点评】本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 37．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理； （2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解． 【解答】解：（1）运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下： 由题意可得，BD＝BC＝AD＝CD＝6，∠BDA＝∠C＝∠CBD＝60°，DE＝DF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴∠DBE＝∠CBF， ∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE＝∠CBD＝60°； （2）当∠EBF＝60°时，∠EBF＝∠CBD＝60°， ∴∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE， ∴∠DBE＝∠CBF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（ASA）， ∴DE＝CF， 设点E的运动时间为t秒，则DE＝t，DF＝2t，CF＝6﹣2t， 当0≤t≤3时，t＝6﹣2t，解得t＝2， 当3＜t≤6时，t＝2t﹣6，解得t＝6， 综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF＝60°． 【点评】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键． 38．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，易证结论：①BM＝AN． （1）请写出除①外的两个结论：　∠MBC＝∠ANC 　∠BMC＝∠NAC ； （2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数　120°　 ； （3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）； （4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化　不变　 （填变化或不变）； （5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN＝BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）可根据全等三角形的对应角相等和对应边相等来得出结论； （2）本题求的是∠APB的度数，∠APB是三角形BNP的外角，因此利用三角形外角的特点得出结论； （4）要通过证△BMC≌△ACN来实现，根据已知条件来证明这两个三角形两三角形全等，然后根据（2）的步骤即可得出最大角仍是120°； （5）通过证三角形ANC和BCM全等来得出AN＝BM，方法同（4）． 【解答】解：（1）∠MBC＝∠ANC、∠BMC＝∠NAC． （2）∵∠CNP＝∠CBP， ∵∠APB＝∠BNC+∠CNP+∠NBP＝∠BNC+∠NBP+∠ABP＝∠NBC+∠BNC＝120°； （3） （4）不变； （5）成立． 证明：∵三角形NBC和AMC都是等边三角形， ∴BC＝CN，MC＝AC，∠MCB＝∠NCA＝60°； ∴△CAN≌△MCB； ∴AN＝BM． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定，根据全等三角形来得出相等的边和角是解题的关键． 39．问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°． 求证：． 证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E，连接CE． 【分析】先求出∠B＝60°，再根据BE＝BC判定△BCE是等边三角形，进而得∠BCE＝60°，BC＝EC＝BE，再求出∠ECA＝30°得∠ECA＝∠A＝30°，由此得EC＝EA＝BE＝BC，据此即可得出结论． 【解答】证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E，连接CE，如图所示： ∴BE＝BC， 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， 在△BCE中，BE＝BC，∠B＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE＝60°，BC＝EC＝BE， ∴∠ECA＝∠ACB﹣∠BCE＝30°， ∴∠ECA＝∠A＝30°， ∴EC＝EA， ∴EA＝BE＝BC， ∴AB＝AE+BE＝2BC， ∴BCAB． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 1．如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E，则∠CDE的度数为　15°　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质得，∠ADC＝90°，再根据AD＝AE，即可求解． 【解答】解：∵三角形ABC为等边三角形，D为边BC的中点， ∴，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E， ∴AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠CDE的度数为15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC．垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD＝20°，则∠ABE＝ 　40　 °． 【分析】由等边三角形的性质推出AD垂直平分BC，得到EB＝EC，推出∠EBD＝∠ECD＝20°，即可求出∠ABE的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ABC＝60°， ∴AD垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBD＝∠ECD＝20°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出AD垂直平分BC，得到EB＝EC． 3．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为 　96　 ． 【分析】利用等边三角形的性质和几何关系，证得A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△A6A7B6周长． 【解答】解：∵∠MON＝30°，∠A1A2B1＝60°， ∴∠OB1A2＝90°， ∴A2B1＝A1A2OA2（OA1+A1A2）， ∴A1A2＝OA1＝1． ∴A1为OA2的中点． 同理可证，A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯ ∴A2A3＝2，A3A4＝4，A4A5＝8，⋯ ∴A6A7＝32， ∴△A6A7B6的周长为3A6A7＝3×32＝96． 故答案为：96． 【点评】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质． 4．如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，将点A沿着DF翻折恰好于点E重合，若△DBE与△ECF的周长和为7，则等边三角形的边长为 　　 ． 【分析】设AD＝x，AF＝y，等边三角形的边长为a，则BD＝a﹣x，CF＝a﹣y，再根据折叠的性质得到DE＝AD＝x，EF＝AF＝y，所以BD+DE+BE+CE+EF+CF＝7，即a﹣x+x+BC+y+a﹣y＝7，则a+a+a＝7，从而求出a即可． 【解答】解：设AD＝x，AF＝y，等边三角形的边长为a，则BD＝a﹣x，CF＝a﹣y， ∵点A沿着DF翻折恰好于点E重合， ∴DE＝AD＝x，EF＝AF＝y， ∵△DBE与△ECF的周长和为7， ∴BD+DE+BE+CE+EF+CF＝7， 即a﹣x+x+BC+y+a﹣y＝7， ∴a+a+a＝7， 解得a， 即等边三角形的边长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等．也考查了折叠的性质． 5．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 【分析】根据等边三角形的性质得出∠CAD＝30°，再利用等式的性质进行解答即可． 【解答】解：∵在等边三角形ABC中， ∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知）， ∴∠CAD∠BAC（等腰三角形三线合一）， ∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠CAD＝30°（等量代换）， ∵AD＝AC（已知）， ∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角）， ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠ACD＝75°（等式的性质）， ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠E＝45°（等式的性质）． 【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三边相等和三线合一的性质分析． 1．下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由等边三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①有一个外角为120°的等腰三角形的一个内角是60°，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意； ②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意； ③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意； ④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，因此a＝b或b＝c或c＝a，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意， ∴说法正确的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法． 2．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【解答】解：A．∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠C＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 故A选项不符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°， ∴△ABC不一定是等边三角形， 故B选项符合题意； C．∵∠B＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故C选项不符合题意； D．∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形． 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键． 3．如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解． 【解答】解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ， ∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ． 又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP， ∴∠BAP＝∠CAQ＝30°． ∴∠BAC＝120°． 故选：A． 【点评】此题主要运用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质． 4．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（　　） ①点P在∠A的平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅②③正确 D．仅①和③正确 【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出△BRP≌△QSP，故④正确． 【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S ∴∠ARP＝∠ASP＝90° ∵PR＝PS，AP＝AP ∴Rt△ARP≌Rt△ASP ∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP ∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确 ∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点 ∵AQ＝PQ ∴点Q是AC的中点 ∴PQ是边AB对的中位线 ∴PQ∥AB，故③正确 ∵∠B＝∠C＝60°，∠BRP＝∠CSP＝90°，BP＝CP ∴△BRP≌△QSP，故④正确 ∴①②③④全部正确． 故选：A． 【点评】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质求解． 5．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　120°　 ． 【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形， ∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°． 故答案为：120°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B＝∠C的度数是解题关键． 6．在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝60°，则BC＝ 　6　 cm． 【分析】判定△ABC是等边三角形，继而可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝6cm． 故答案为：6． 【点评】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于掌握等边三角形的性质． 7．已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 　　 ． 【分析】在等边△ABC和△DEF中，AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，这AM⊥BC，DN⊥EF，设BM＝CM＝a，EN＝FN＝b，则AB＝BC＝2a，DE＝EF＝2b，AM，DN，进而得，再根据这两个等边三角形的面积比为3：2得，据此即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC和△DEF均是等边三角形，AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，如图所示： ∴AM⊥BC，DN⊥EF，设BM＝CM＝a，EN＝FN＝b， ∴AB＝BC＝2a，DE＝EF＝2b， 由勾股定理得：AM，DN， ∴， ∵S△ABCBC•AM，S△DEFEF•DN， 又∵这两个等边三角形的面积比为3：2， ∴， ∴， ∴， 即这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 8．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　30°　 ． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DBC＝30°，再利用等腰三角形的性质可得∠DBE＝∠E＝30°，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是等边△ABC的边AC上的中线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， ∵∠ACB＝∠DEC+∠CDE， ∴∠CDE＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 9．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 【分析】先求出∠CBD＝60°，进而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再证明△ABG和△CBH全等得BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，进而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，则△BGH为等边三角形，S△CBECE•BHa•GH，然后根据AB＝3BE得S△ABC＝3S△CBE，即，由此即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a， ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△CBH中， ， ∴△ABG≌△CBH（AAS）， ∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC＝∠CBD＝60°， ∴∠CBG＝∠DBH， ∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH＝BH＝BG， ∴S△CBECE•BHa•GH， ∵AB＝3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC＝3S△CBE， 即， ∴GH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点． 10．如图，已知等边三角形ABC的边长为12cm，有一点P从点A出发沿A→B→C→A的方向以4cm/s的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿B→C→A→B的方向以6cm/s的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 　30　 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 【分析】先设点P、Q同时出发，经过xs后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点走的路程比P点所走路程多2个等边三角形的边长，列出方程求出x，再设点P、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过ys后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点移动的路程﹣点P移动的路程＝3个等边三角形的边长，列出方程求出y，从而求出答案即可． 【解答】解：设点P、Q同时出发，经过xs后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得： 6x﹣4x＝12×2， 2x＝24， x＝12， 设点P、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过ys后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点，由题意得： 6y﹣4y＝12×3， 2y＝36， y＝18， ∴x+y＝12+18＝30（s）， ∴点P、Q同时出发，经过30s后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了等边三角形，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论； （2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°， ∵AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD ∵∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠EDF， ∴∠ADB﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE， ∴∠BDE＝∠ADF， 在△BDE与△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝AF． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 12．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形． 【解答】解：△APQ为等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC． 在△ABP与△ACQ中， ∵， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）． ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ． ∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形． 【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法． 13．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形． 解：因为DF平分∠CDA（已知） 所以∠FDC∠ADC ．　角平分线意义　 因为∠CDA＝120°（已知） 所以∠FDC＝　60　 °． 因为DF∥BE（已知） 所以∠FDC＝∠BEC ．（　两直线平行，同位角相等　 ） 所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知） 所以△BCE为等边三角形．（　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形　 ） 【分析】利用角平分线的性质得出∠FDC的度数，再利用平行线的性质得出∠FDC的度数，进而得出△BEC为等边三角形． 【解答】解：因为DF平分∠CDA，（已知） 所以∠FDC∠ADC．（角平分线意义） 因为∠CDA＝120°，（已知）， 所以∠FDC＝60°． 因为DF∥BE，（已知）， 所以∠FDC＝∠BEC．（两直线平行，同位角相等）， 所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知）， 所以△BCE为等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） 故答案为：ADC；角平分线意义；60；BEC；两直线平行，同位角相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出∠FDC＝∠BEC是解题关键． 14．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，连接BD，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）说明DB与DE相等的理由． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，由CE＝CD可知∠E＝∠EDC，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据等边三角形三线合一的性质得出∠ABD＝∠DBC＝30°，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 （已知）， ∴∠ACB＝60°（等边三角形性质）． ∵CE＝CD（已知）， ∴∠E＝∠EDC（等边对等角）． ∵∠ACB＝∠E+∠EDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠E＝30°． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°（等边三角形性质）， ∵D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）． ∵∠E＝30°（已证）， ∴∠E＝∠DBC （等量代换）， ∴DB＝DE（等角对等边）． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质及三角形外角的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 15．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由； （2）试说明AE∥BC的理由； （3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 【分析】（1）要证两个三角形全等，已知的条件有AC＝BC，CE＝CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了（SAS）； （2）要证AE∥BC，关键是证∠EAC＝∠ACB，由于∠ACB＝∠ACB，那么关键是证∠EAC＝∠ACB，根据（1）的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件． （3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通过先证明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论． 【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等 证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60° ∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE 在△DBC和△EAC中， ∵， ∴△DBC≌△EAC（SAS）， （2）∵△DBC≌△EAC ∴∠EAC＝∠B＝60° 又∠ACB＝60° ∴∠EAC＝∠ACB ∴AE∥BC （3）结论：AE∥BC 理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形 ∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60° ∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE 在△DBC和△EAC中， ∵， ∴△DBC≌△EAC（SAS）， ∴∠EAC＝∠B＝60° 又∵∠ACB＝60° ∴∠EAC＝∠ACB ∴AE∥BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；本题中（1）（2）问实际是告诉解（3）题的步骤，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键． 16．如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点． （1）试判断△CPQ的形状并说明理由． （2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由． 【分析】（1）由“有一内角为60°的等腰三角形为等边三角形”进行判断与证明； （2）通过△ACD≌△BCE、△ACP≌△BCQ的对应边相等、对应角相等的性质推知△CPQ的两边PC＝QC、内角∠PCQ＝60°，从而确定△CPQ是等边三角形． 【解答】解：（1）如图1，△CPQ是等边三角形．理由如下： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠C＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴AC﹣DC＝BC﹣EC，即AD＝BE． ∵P、Q分别为AD、BE的中点， ∴PD＝EQ， ∴CD+DP＝CE+EQ，即CP＝CQ， ∴△CPQ是等边三角形； （2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状不会改变．理由如下： 如图2，∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE （SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，即∠CAP＝∠CBQ． ∵P是AD的中点，Q是BE的中点， ∴APAD，BQBE， ∴AP＝BQ， ∴在△ACP与△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴PC＝QC，∠BCQ＝∠ACP， ∵∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP+∠ACQ＝60°， ∴∠PCQ＝60°， ∴△CPQ是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.3 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握等边三角形的性质和判定； 2.理解等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点一 等边三角形的性质与判定 1.性质：等边三角形的每个内角都等于60°。 2.判定：①三个内角相等；②有一个角是60°的等腰三角形。 学习方法：利用等腰三角形性质和三角形内角和推导。 易错点：判定②中若60°角是底角，则顶角也是60°（因为等腰），故仍可判定；但需注意已知是等腰且有一角60°，不指明是顶角还是底角都可推出等边。 知识点二 等腰三角形与等边三角形对比 一．等边三角形的性质（共13小题） 1．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（　　） A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC 3．已知两个等边三角形的边长比为2：3，则这两个三角形的面积比为 　 　 ． 4．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝4，则BE+CF＝　 　 ． 5．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　 　 °． 6．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 7．如图，已知∠AOB＝120°，在平面内取一点C，满足∠AOC＝α°（120＜α＜180），以OC为边作等边△COD（OD在OC的逆时针60°方向上），作OM平分∠BOC，∠DOM的度数是 　 　 °．（用含α的代数式表示） 8．如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝90°，则∠1＝ 　 　 ． 9．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q． （1）求证：△BAN≌△ACM； （2）求∠BQM的大小． 10．阅读并填空： 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到点E，使得CE＝CD，那么DB＝DE，为什么？ 解：因为AB＝AC＝BC（已知）， 所以∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°， 又因为BD是边AC上的高（已知）， 所以 （ 　 　 ）， 由CD＝CE， 得∠E＝　 　 ， 因为∠ACB＝∠E+　 　 ， 所以2∠E＝60°， 得∠E＝30°， 得∠DBC＝∠E， 所以DB＝DE （ 　 　 ）． 11．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 12．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE＝CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 13．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC． （1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由； （2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长． 二．等边三角形的判定（共9小题） 14．下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC 15．下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．AB＝AC，∠B＝60° B．AB＝AC，∠A＝∠B C．∠A＝∠B＝60° D．∠A+∠B＝2∠C 16．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个内角是60°的三角形 B．三个外角都相等的三角形 C．有两个角相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形 17．已知△ABC是等腰三角形，再补充一个条件 　 　 ，则可判断它是等边三角形． 18．在△ABC中，AB＝AC，若要使△ABC是等边三角形，那么需添加一个条件：　 　 或　 　 （从不同角度填空）． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°．点D是边BA延长线上一点，DE∥AC，且∠D＝∠B．求证：△ABC是等边三角形． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交边BC于点D，且DA＝DC，延长DA使EA＝DA，连接BE． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：△EBD是等边三角形． 22．如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD＝CF． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当∠F＝30°时，△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论． 三．等边三角形的性质与判断（共10小题） 23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 24．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 25．如图所示，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD，2CE＝AC，那么DE的长是　 　 ． 26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF长为　 　 ． 27．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝15cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是　 　 cm． 28．如图，在直线ABC的同一侧分别作两个等边△ABD和△BCE，连接AE，CD，BH，GF，有以下结论：①△ABE≌△DBC；②AG＝DH；③BH平分∠AHC；④△GBF是等边三角形；以上结论正确有 　 　 ． 29．如图，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等边三角形吗？试说明理由． 30．已知：点D是等边△ABC边上任意一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE． （1）说明△ABD≌△ACE的理由； （2）△ADE是什么三角形？为什么？ 31．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，若△BCE的周长为18cm，求DC的长． 解：因为DF平分∠CDA，（已知） 所以∠FDC∠　 　 ．（　 　 ） 因为∠CDA＝120°，（已知）所以∠FDC＝　 　 °． 因为DF∥BE，（已知）所以∠FDC＝∠　 　 ＝60°．（　 　 ） 又因为EC＝EB，（已知）所以△BCE为等边三角形．（　 　 ） 因为△BCE的周长为18cm，（已知） 所以BE＝EC＝BC＝6cm． 因为点E是DC的中点，（已知） 所以DC＝2EC＝12cm． 32．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD，CD，AD＝CD．过点D作DE∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）判断△AEF的形状，并说明理由； （2）若∠ADC＝140°，求∠ADE的度数． 四．创新及压轴题（共7小题） 33．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　 　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 34．生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． （1）若图1中给定的等边三角形ABC的边长为6cm，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） （2）乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝a），联结每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧 AD就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是 　 　 （结果保留π，用含a的式子表示）． 35．如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 36．将两个等边三角形（每个内角都等于60°）如图1叠放在一起，现将△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题： （1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由； （2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由； （3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数． 37．如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． （1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由． （2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？ 38．已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，易证结论：①BM＝AN． （1）请写出除①外的两个结论：　 　 　 　 ； （2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数　 　 ； （3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）； （4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化　 　 （填变化或不变）； （5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN＝BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 39．问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°． 求证：． 证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E，连接CE． 1．如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交点为E，则∠CDE的度数为　 　 ． 2．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC．垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD＝20°，则∠ABE＝ 　 　 °． 3．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为 　 　 ． 4．如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，将点A沿着DF翻折恰好于点E重合，若△DBE与△ECF的周长和为7，则等边三角形的边长为 　 　 ． 5．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 1．下列说法中，正确的有（　　）个． ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120° C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC 3．如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 4．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（　　） ①点P在∠A的平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP． A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅②③正确 D．仅①和③正确 5．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　 　 ． 6．在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝60°，则BC＝ 　 　 cm． 7．已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 　 　 ． 8．如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧交BC的延长线于点E，则∠CDE＝ 　 　 ． 9．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　 　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 10．如图，已知等边三角形ABC的边长为12cm，有一点P从点A出发沿A→B→C→A的方向以4cm/s的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿B→C→A→B的方向以6cm/s的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 　 　 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． 12．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 13．说理填空：如图，点E是DC的中点，EC＝EB，∠CDA＝120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA，求证：△BEC为等边三角形． 解：因为DF平分∠CDA（已知） 所以∠FDC∠　 　 ．　 　 因为∠CDA＝120°（已知） 所以∠FDC＝　 　 °． 因为DF∥BE（已知） 所以∠FDC＝∠　 　 ．（　 　 ） 所以∠BEC＝60°，又因为EC＝EB，（已知） 所以△BCE为等边三角形．（　 　 ） 14．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，连接BD，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）说明DB与DE相等的理由． 15．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由； （2）试说明AE∥BC的理由； （3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想． 16．如图，已知等边△ABC和等边△CDE，P、Q分别为AD、BE的中点． （1）试判断△CPQ的形状并说明理由． （2）如果将等边△CDE绕点C旋转，在旋转过程中△CPQ的形状会改变吗？请你将图2中的图形补画完整并说明理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $