第十八章 等腰三角形 线段的垂直平分线（第二课时）教学设计2025-2026学年沪教版（五四制）数学 七年级下册

义务教育教科书（五·四学制）数学 七年级下册 第十八章《等腰三角形》 18.4 线段的垂直平分线（2） 教学设计说明 一、教学内容解析 （一）课时内容解析 本节课是七年级下册，第18章，等腰三角形，第4节，线段的垂直平分线，第2课时，属于图形与几何领域，是一节基于尺规作图的“几何能力发展”课. 《义务教育课程标准（2022年版）》指出：图形与几何领域包含三个主题，学生将从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面开展研究.本单元主要涉及“图形的性质”，强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形.通过这样的学习，有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力. （二）单元教学分析 在完成“线段与角”、“图形的运动”、“相交线与平行线”、“三角形”等几何单元的系统学习后，本单元重点研究等腰三角形.等边三角形是它的一个特例，等腰三角形的三线合一，与线段垂直平分线的性质密切相关. 在本章中，继续遵循“猜想—验证—证明 ”的学习过程， 采用“定义—表示—性质与判定—应用 ”的研究思路，为后续几何学习提供经验． 本单元教学将以等腰三角形的轴对称特性为切入点，系统探究等腰三角形、等边三角形及线段垂直平分线的性质与判定定理，教学过程中，着重强化演绎推理的思维训练，规范数学证明的书写范式，通过阶梯式的探究活动与论证实践，持续深化学生的几何直观感知，提升空间想象能力与逻辑推理素养，助力学生突破几何学习瓶颈，进一步增强几何直观、空间观念和推理能力． （三）本课时与单元关系 本课时是“线段的垂直平分线”的第2课时，第一课时重点围绕定理探索，为进一步理解和应用定理，第二课时聚焦于尺规作图，教材中的尺规作图，都是基于已学的定理，作图后需要证明，侧重几何证明在其中的作用. 【教学重点】尺规作图思路形成的方法. 二、教学目标设置 1.应用线段的垂直平分线性质定理及其逆定理，提出并解决一些简单的几何说理问题. 2.能用尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知底边和底边上的高作等腰三角形.经历审题、构思、作图、证明及反思的过程，形成尺规作图的一般思路，积累活动经验，体会几何说理在其中的作用，发展几何直观与推理能力. 3.通过猜想、证明、归纳等数学活动，了解三角形外心的定义，进一步体会数学的严谨性，发展逻辑推理能力，形成学生用数学的思维思考现实世界的能力. 三、学生学情分析 本课的授课对象是七年级学生，从学习经验来看，学生已有全等三角形、等腰三角形等几何知识，初步建立起了推理意识；掌握基本的尺规作图，具有一定的动手操作能力；从学法特点来看，本班学生对信息技术、实验操作等较感兴趣，倾向于合作交流、生生互动的学习方式，勇于发表观点，提出问题.但潜在困难是，学生在面对较为复杂的尺规作图问题时，知识调动和迁移能力需要加强培养；主动发现并提出问题能力较弱. 【教学难点】复杂情境中，主动建构尺规作图的思路. 四、教学策略分析 教学策略1：问题驱动，启发思考 从课时核心问题“如何借助几何推理形成尺规作图的思路？”逐步分解为4个课堂关键问题：“过一点如何作已知直线的垂线？”、“活动中，尺规作图的依据有哪些？”、“已知底边和底边上的高，可以确定一个等腰三角形吗？”、“通过所作的图观察到什么结论？如何进行下一步研究？”，层层递进，贯穿本节课，启发深度思考. 教学策略2：互评互学，分享创意 学生通过自主尝试并结合小组合作开展活动，课堂中组内充分讨论、对比、分享，帮助学生获得问题的解决方案；而组间的互评帮助学生进行思辨与方案完善，在合作交流中不断用数学的语言进行表达，并学习倾听与互助. 教学策略3：技术融合，动态感知 本节课是一节尺规作图活动操作课，学生需要在实际动手中获得经验，体会几何推理的作用.课堂中为充分展示学生方案设计、尺规作图的过程，借助手机投屏动态展示，既保留学生真实的活动过程，又高效展示其思维痕迹，同时丰富课堂趣味性，激发学习兴趣. 五、教学过程 （一）复习回顾，初步感知 回顾《线段的垂直平分线》第1课时的课堂活动与研究过程． 【设计意图】通过上节课的课堂活动与研究过程，开门见山提出本节课的研究内容：推理证明在尺规作图中的应用． 活动1 作已知直线的垂线． 已知直线 l ，求作一条直线l的垂线． 问题1：如何作已知直线的垂线? 追问1：过程中，将作已知直线的垂线，转化为了什么问题？ 追问2：符合要求的直线是否唯一？为什么？ 追问3：过一点作已知直线的垂线，有几条？ 【设计意图】由作“线段的垂直平分线”可作“线段的中点”，自然引发思考，借助作“线段的垂直平分线”实现作“垂直”．活动1将教材中的例题弱化条件作为铺垫，学生经历操作活动，在简单的构思中初步体会转化思想.同时，通过对符合条件的直线的讨论，激发学生在大脑中想象图形，再由“为什么”，引导学生联系已学的公理，体会从几何直观到推理论证，自然引出活动2. （二）启发思路，知识构建 活动2 过一点作已知直线的垂线． 已知直线l，任取一点P，过点P求作直线l的垂线． （1）问题2：过一点如何作已知直线的垂线? 追问1：点P的位置有哪些可能？ 追问2：我们学习过哪些与90°角或垂直有关的几何知识？ 追问3：构思及证明过程中，运用到哪些几何知识？ （2）问题3：你还有其他作法吗？ 追问1：你是如何构思的？怎么证明？ 追问2：比较多种作法，分别有什么优点？ 【设计意图】活动2在活动1的基础上加强条件，是本课时的重难点.活动中只给定直线l，隐去点P，学生通过审题和画草图的步骤，主动发现点P位置的多种可能性，体会分类思想.在构思作法前，引导学生调动已有知识，回顾与90°或垂直有关的几何知识，为构思图形，实现知识迁移做铺垫. 课堂中对教材作法，即转化为作线段的垂直平分线优先详细展示，将点在直线外与直线上两种不同的位置对比展示，引导学生关注其作法设计的一致性，学生在活动中体会推理证明在尺规作图中的作用，以作图设计导应用意识.经历审题、草图、构思后，通过学生互动、教师演示等共同完成了作图，最后证明作法，以尺规原理带定理理解，发展推理能力.通过一系列具体的活动，形成尺规作图的一般思路，学生能在复杂问题中，主动联系已学定理，实现知识迁移，突破难点. 运用手机投屏动态展示多种，激发学习兴趣，发展创造性思维，最后通过比较不同作法，进一步加深对尺规作图的认识，培养择优意识. （三）迁移应用，问题解决 活动3 已知底边和底边上的高作等腰三角形． 如图，已知线段a、h ．求作△ABC，使 AB=AC ，BC= a，高AD=h． 问题4：已知底边和底边上的高，如何确定一个等腰三角形？ 追问1：点A的位置如何确定？ 追问2：线段BC的垂直平分线上有无数个点，哪一个是顶点A呢？ 【设计意图】活动3对应教材例题3，学生已经积累了一定的尺规作图活动经验，本活动从作垂线进阶到作三角形，学生又一次经历审题-草图-构思-作图-证明，深入体会尺规作图的一般步骤，积累尺规作图的活动经验． （四）以图启思，知行合一 活动4 探究并证明三角形三边上的垂直平分线交于一点． 如图，已知：在△ABC中，OM、ON分别是边AB、BC的垂直平分线，OM与ON相交于点O．求证：点O在边AC的垂直平分线上． 问题5：等腰三角形ABC中底边BC边上的高所在的直线，与BC边上的垂直平分线互相重合，作AB边上的垂直平分线，将这两条垂直平分线的交点记作点O，如果再做AC边上的垂直平分线，你有怎样的猜想？对于一般三角形呢？ 追问1：作图验证后，如何证明？ 追问2：已知两边上的垂直平分线相交于一点，要证明三角形三边上的垂直平分线交于一点，就是要证明什么？ 追问3：证明过程中，运用到了哪些几何知识？ 问题6：在以往学习的过程中，还有三条直线相交于一点的结论吗？请在课后类比三角形三边上的垂直平分线的研究过程，继续探究. 【设计意图】本活动对应教材几何证明例题，本节课设计为几何探究活动，以活动3所作的等腰三角形为基础，通过作图观察猜想三角形三边上的垂直平分线相交于一点，再由演绎证明，归纳定义等活动，学生完整经历几何定理的发现过程，提升几何综合能力与推理能力．进一步深化对线段垂直平分线性质定理及其逆定理的理解，体会演绎推理的思维方法． （五）课堂小结，认知升华 1.课堂小结 （1）运用线段的垂直平分线，可以解决哪些问题？ （2）你对尺规作图有什么新的认识？ 2.拓展探究 （1）已知△ABC，以三边分别向外作等腰三角形，连接AD、BE、CF，发现这三条直线相交于一点，请课后尺规作图验证，并尝试证明. （3）请查阅资料，了解三角形中还有哪些三条直线相交于一点的结论． 【设计意图】学生回顾课堂的四个活动，通过实践、交流、反思，以尺规作图为载体，通过感悟几何证明在其中的作用，发展推理能力.拓展探究由本节课外心的定义引发思考，三条直线相交于一点是几何知识中特殊的一类结论，经历本节课对外心的探究过程，学生有了一定的探究能力，课后延续探究方法，既能激发学习热情，也为教材中阅读材料《到三个定点距离之和最小的点》埋下伏笔，将学习延伸到了课后. 六、课堂教学目标检测 （一）巩固性作业：练习册18.4（2） （二）探究性作业： 某数学学习小组成员继续对课本18.4例题3“已知底边和底边上的高作等腰三角形”开展了深入探究． 小海同学提出问题：“已知等腰三角形任意一边及任意一条重要线段（三角形高、中线或角平分线），都能作出等腰三角形吗？”小组成员分别提出了自己的分析思路： （1）小北同学：由“等腰三角形三线合一”可以说明，“已知底边和底边上的_________”或“已知底边和顶角的_________”都能作出等腰三角形． （2）小北由此启发，提出：不妨先探究“已知腰和底边上的高，作等腰三角形”．请你协助小北，完成探究： ①仿照课本例题，将作图要求及已知线段补充完整：如图，已知线段a、h．求作△ABC，使AB=_____=a，高AH=h． 图 ②完成作图： ③根据你所给出的线段a、h，______（填“能”或“不能”）作出唯一的△ABC． ④对于任意长度的线段a、h，是否都能作出等腰三角形？请说明理由． _________________________________________________________ （3）小海同学：还有涉及“腰上的高”、“腰上的中线”、“底角的平分线”的情况没有探究．请你再写出其中一种情况，在未来的学习过程中尝试尺规作图完成探究． （三）拓展性作业： （1）已知△ABC，以三边分别向外作等腰三角形，连接AD、BE、CF，发现这三条直线相交于一点，请课后尺规作图验证，并尝试证明. （2）请查阅资料，了解三角形中还有哪些三条直线相交于一点的结论． 【设计意图】巩固性作业为教材配套练习册，重点对应目标1、目标2.探究性作业改编自改编自课时活动3，本节课是几何板块收尾课，经历了三个单元的几何学习，学生需要对相交线与平行线、全等三角形、等腰三角形等知识进行综合运用，因此设计本道探究作业，在一系列任务中串联本学期的知识，提升几何综合能力，既是对本节课的教学目标检测，亦是对三个几何单元的综合检测. 拓展性作业由本节课外心的定义引发思考，三条直线相交于一点是几何知识中特殊的一类结论，在三角形单元中已经埋下伏笔，此类问题的探究过程，既能激发学习热情，也为教材中阅读材料《到三个定点距离之和最小的点》做出铺垫，将学习延伸到了课后. 学科网（北京）股份有限公司 $