第9讲 全等三角形的概念与性质 精讲提升培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦全等三角形的概念与性质核心知识点，从全等形定义切入，通过平移、翻折、旋转变换明确全等本质，系统梳理对应顶点、边、角的辨认方法，落实对应边、角相等及延伸性质，构建从概念到应用的知识支架。 该资料以历年真题精讲为特色，覆盖选择、填空、解答及创新压轴题，通过公共边、对顶角等方法培养几何直观，动点问题发展推理能力与创新意识。课中辅助教师系统教学，课后分层练习助力学生巩固知识、查漏补缺。

第9讲 全等三角形的概念与性质 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.3 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 知识点一 全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 知识点二 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点三 对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 要点：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（　　） A．45° B．65° C．70° D．115° 2．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 3．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．如图，△ABC≌△DBE，点A、点C分别对应点D、点E，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 5．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 7．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 8．如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 9．如图，若Rt△ABC≌Rt△DBE，则与∠E相等的角是（　　） A．∠ACB B．∠ABC C．∠DBE D．∠CAB 10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 二．填空题（共12小题） 11．如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为 　 　 ． 12．如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ 　 　 ． 13．如图，已知△ABC≌△ADE，点D在BC边上，∠CAE＝40°，则∠ABC的度数是 　 　 ． 14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　 　 ． 15．如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　 　 ． 16．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 　 　 ． 17．如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　 　 ． 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 19．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　 　 ． 20．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝　 　 ． 21．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 　 　 ． 22．如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ 　 　 °． 三．解答题（共5小题） 23．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 24．如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F． （1）若DE＝10，BC＝4，求线段AE的长； （2）若∠D＝20°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 25．如图，已知△ABE≌△ACD． （1）若BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）若∠DAE＝20°，求∠AEC的度数． 26．如图，已知△ABC≌△DEB，点E是AB的中点，AC与BD交于点F，若AB＝16，∠DEB＝112°，∠C＝58°． （1）求BC的长度； （2）直接写出∠DFC的度数． 27．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 四．创新型题型及压轴题（共5小题） 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 29．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P，Q两点同时到达A点，则x的值为　 　 ； （2）若△ACP与△BPQ全等，则x的值为　 　 ． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　 　 cm；②CP＝ 　 　 cm；③CQ＝ 　 　 cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 31．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 32．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 　 　 （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 1．如图，已知△ABC与△DEF全等，那么∠D＝ 　 　 °． 2．如图，△ABC≌△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，B、E、C、F四点在同一直线上，BC＝7，BF＝10，那么EC的长为 　 　 ． 3．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝　 　 ． 4．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 　 　 °． 1．如图，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B＝∠E．在下列结论①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝∠CAF中，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 3．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5 4．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（　　） A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm 5．如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠ADE＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝　 　 °． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，△ABC≌△A′B′C，若A′B′恰好经过点B，A′C交AB于D，则∠BDA′的度数为 　 　 ° 7．如图，已知△ABC≌△EFD，且点A、B、C分别与点E、F、D对应，BF＝10，DC＝2，则DF＝　 　 ． 8．如图，AB＝9cm，BC＝16cm，∠B＝∠C，点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是　 　 ． 9．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝50°，则∠DEC的度数为 　 　 ． 10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝　 　 秒时，△DEB与△ABC全等． 11．如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 12．如图，△ABC≌△EFD且AB＝EF，CE＝2.5，CD＝2，∠A＝45°． （1）求AC的长度． （2）求∠E的度数． 13．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）求证：△AFE为直角三角形； （2）若S△BCF＝8，S△AEF＝2，求S四边形CFED的面积． 14．如图，已知△ABE≌△ACD． （1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． 15．如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求 （1）DE的长； （2）∠BAC的度数． 16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）若BC＝11，AD＝8，求CD的长度； （2）求证：∠AFE＝∠ADB； （3）若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，则S△AEF＝　 　 ． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 全等三角形的概念与性质 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.3 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 知识点一 全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 知识点二 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点三 对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. 要点：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知△ABC≌△DEF，那么∠D的度数是（　　） A．45° B．65° C．70° D．115° 【分析】根据全等三角形的性质可得∠D＝∠A＝70°，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可． 【解答】解：∵CD平分∠BCA， ∴∠ACD＝∠BCD∠BCA， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， ∵∠CGF＝∠D+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°， ∴∠BCA＝116°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝34°， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【分析】由三角形内角和定理和全等三角形性质可得∠DAE＝70°，再由∠DAC＝30°可得∠EAC＝40°． 【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝70°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣30°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． 4．如图，△ABC≌△DBE，点A、点C分别对应点D、点E，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C等于（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】由全等三角形的对应角相等得到∠A＝∠D＝65°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠A＝∠D＝65°， ∵∠ABC＝80°， ∴∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 5．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝CD，BC＝DE＝3，再由线段和差即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝3， ∵BD＝10， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣3＝7， ∴AB＝CD＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　 ． 【分析】根据三角形全等得到∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC，则∠ACB+∠HGI+∠FED＝180°，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出∠1+∠2+∠3的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI， ∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等）， ∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°， 根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG， ∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED）， 又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°， 所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°， 故答案为：180°． 【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键． 7．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果． 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握． 8．如图，如果△ABC≌△AED，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BDE＝∠EAB C．∠ADC＝∠C D．∠BAD＝∠DAC 【分析】对于选项A，根据△ABC≌△AED得∠E＝∠B，由此可对选项A进行判断； 对于选项B，根据△ABC≌△AED得∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD，进而得∠ADC＝∠C＝∠ADE，则∠BDE＝180°﹣2∠C，再根据三角形内角和定理得∠DAC＝180°﹣2∠C，则∠BDE＝∠DAC，再根据∠BAC＝∠EAD得∠DAC＝∠EAB，进而得∠BDE＝∠EAB，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，由AD＝AC得∠ADC＝∠C，由此可对结论C进行判断； 对于选项D，根据点D在BC上得AD不是∠BAC的平分线，则∠BAD≠∠DAC，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵△ABC≌△AED， ∴∠E＝∠B， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵△ABC≌△AED， ∴∠C＝∠ADE，AD＝AC，∠BAC＝∠EAD， ∴∠ADC＝∠C， ∴∠C＝∠ADE＝∠ADC， ∴∠BDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADC）＝180°﹣2∠C， 在△ACD中，∠DAC＝180°﹣（∠ADC+∠C）＝180°﹣2∠C， ∴∠BDE＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAD+∠DAC＝∠BAD+∠EAB， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠BDE＝∠EAB， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠C， 故结论C正确，不符合题意； 对于选项D， ∵点D在BC上， ∴AD不是∠BAC的平分线， ∴∠BAD≠∠DAC， 故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 9．如图，若Rt△ABC≌Rt△DBE，则与∠E相等的角是（　　） A．∠ACB B．∠ABC C．∠DBE D．∠CAB 【分析】根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBE， ∴∠E＝∠ACB． 所以与∠E相等的角是∠ACB． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 二．填空题（共12小题） 11．如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝30°，则∠BDA的度数为 　65°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠C＝∠E＝35°，由三角形的外角性质得到∠BDA＝∠C+∠DAC＝65°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠E＝35°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 12．如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ 　5　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出CD＝AB＝3，AC＝CE＝8，即可求出AD的长． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴CD＝AB＝3，AC＝CE＝8， ∴AD＝AC﹣CD＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 13．如图，已知△ABC≌△ADE，点D在BC边上，∠CAE＝40°，则∠ABC的度数是 　70°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出∠DAE＝∠BAC，AB＝AD，得到∠BAD＝∠CAE＝40°，由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ADB＝70°． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC，AB＝AD， ∴∠BAD＝∠CAE＝40°， ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADB（180°﹣40°）＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角的对应边和对角相等． 14．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于 　60°　 ． 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角度数，进而利用三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴边a所对的角为50°，边c所对的角是70°， ∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 15．如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　5　 ． 【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【解答】解：∵AD＝2，BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝2+3＝5， ∵△ABC≌△FDE， ∴FD＝AB＝5（全等三角形对边相等）． 即FD的值为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 16．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝5，FG＝17，如果该四边形的“等形点”在边FG上，那么四边形EFGH的面积是 　或85　 ． 【分析】依题意得∠EFG＝∠HGF＝90°，设OF＝a，则OG＝17﹣a，分两种情况讨论如下：①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，由EF＝FG得5＝17﹣a，解得a＝12，则OF＝HG＝12，此时四边形EFGH是直角梯形，然后根据梯形的面积公式即可求出四边形EFGH的面积；②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，根据EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°得此时四边形EFGH是矩形，然后根据长方形的面积公式即可得出四边形EF的面积，综上所述即可得出答案． 【解答】解：设四边形EFGH的“等形点”为O， ∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠EFG＝∠HGF＝90°， 设OF＝a， ∵EF＝5，FG＝17，点O在FG上， ∴OG＝FG﹣OF＝17﹣a， ∴有以下两种情况： ①当EF＝FG，OF＝HG时，△OEF≌△HOG，如图1所示： 由EF＝FG，得：5＝17﹣a， 解得：a＝12， ∴OF＝a＝12，OG＝17﹣12＝5， ∴OF＝HG＝12， ∴EF∥GH，则此时四边形EFGH是直角梯形， ∴S四边形EFGH（EF+HG）•FG（5+12）×17； ②当EF＝HF＝5，OF＝OG时，△OEF≌△OHG，如图2所示： ∵EF∥GH，EF＝HF＝5，∠EFG＝∠HGF＝90°， ∴四边形EFGH是长方形， ∴S四边形EFGH＝EF•FG＝5×17＝85， 综上所述：四边形EFGH的面积是或85． 故答案为：或85． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解四边形的“等形点”的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 17．如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　20　 ． 【分析】根据△ABC≌△DEB，得出BE＝BC＝12，DE＝AB，根据AE＝8，得出AB＝AE+BE＝12+8＝20，即可得出答案． 【解答】解：由条件可知BE＝BC＝12，DE＝AB， ∴AB＝AE+BE＝12+8＝20， ∴DE＝20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是关键． 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　7　 cm． 【分析】由全等三角形的性质推出CD＝DE，BE＝BC＝6cm，求出AE＝2cm，得到△ADE的周长＝AE+AC＝7（cm）． 【解答】解：∵△CBD≌△EBD， ∴CD＝DE，BE＝BC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm）， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+CD+AD＝AE+AC＝2+5＝7（cm）． 故答案为：7． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 19．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　67.5°　 ． 【分析】由全等三角形的性质推出AD＝BD，∠C＝∠BFD，判定△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD＝45°，由角平分线的定义求出∠FBD∠ABD＝22.5°，由直角三角形的性质求出∠BFD＝67.5°，即可得到∠C的度数． 【解答】解：∵△BDF≌△ADC， ∴AD＝BD，∠C＝∠BFD， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠FBD∠ABD＝22.5°， ∴∠BFD＝90°﹣∠FBD＝67.5°， ∴∠C＝67.5°． 故答案为：67.5°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． 20．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝65°，那么∠CBC′＝　50°/50度　 ． 【分析】根据平行线的性质得到∠A′AB＝∠ABC＝65°，根据全等三角形的性质得到BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝65°，计算即可． 【解答】解：∵AA′∥BC，∠ABC＝65°， ∴∠A′AB＝∠ABC＝65°， ∵△ABC≌△A′BC′， ∴BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝65°， ∴∠A′AB＝∠AA′B＝65°， ∴∠A′BA＝180°﹣∠A′AB﹣∠AA′B＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠CBC′＝∠A′BC﹣∠A′BC′＝50°+65°﹣65°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 21．我们规定：在四边形ABCD中，O是边BC上的一点，如果△OAB与△OCD全等，那么点O叫做该四边形的“等形点”，在四边形EFGH中，∠EFG＝90°，EF∥GH，EF＝1，FG＝3，如果该四边形的“等形点”在边GF上，那么GH的长是 　1或2　 ． 【分析】根据平行线的性质，得到∠FGH＝90°，分两种情况讨论：当△OEF≌△OHG时当△OEF≌△OGH时，再利用全等三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵∠EFG＝90°，EF∥GH， ∴∠FGH＝90°， ∵四边形EFGH的“等形点”在边FG上， 如图1，当△OEF≌△OHG时，则EF＝HG＝1， 如图2，当△OEF≌△HOG时， ∴EF＝OG＝1，OF＝GH， ∵FG＝3， ∴OF＝FG﹣OG＝3﹣1＝2， ∴GH＝2， 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 22．如图，已知△AEC≌△ADB，如果∠2＝25°，∠AGE＝80°，那么∠D＝ 　75　 °． 【分析】根据全等三角形的性质得∠E＝∠D，∠EAC＝∠DAB，进而得∠1＝∠2＝25°，再由三角形内角和定理求出∠E＝75°，由此即可得∠D的度数． 【解答】解：∵△AEC≌△ADB，∠2＝25°， ∴∠E＝∠D，∠EAC＝∠DAB， ∴∠1+∠GAC＝∠GAC+∠2， ∴∠1＝∠2＝25°， 在△AEG中，∠AGE＝80°， ∴∠E＝180°﹣（∠1+∠AGE）＝180°﹣（25°+80°）＝75°， ∴∠D＝75°， 故答案为：75． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应角相等，对应边相等是解决问题的关键． 三．解答题（共5小题） 23．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 【分析】（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠CAE＝∠BAD，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出AB＝AD＝10，BC＝DE＝9，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠BAD， 由条件可知∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°， ∴∠CAE＝∠BAD＝40°； （2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9， AD+DF+AF+BF+EF+BE ＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE ＝AD+DE+AB+BE ＝10+9+10+4.5 ＝33.5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质等知识，熟练掌握该知识点是关键． 24．如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F． （1）若DE＝10，BC＝4，求线段AE的长； （2）若∠D＝20°，∠C＝60°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝9，BE＝BC＝4，再求出AE即可； （2）根据全等三角形的性质得出∠DBA＝∠C＝70°，∠A＝∠D＝25°，求出∠ABC，再求出∠DBC即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，BC＝4，DE＝10， ∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6； （2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝20°，∠C＝60°， ∴∠DBA＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣60°﹣20°＝100°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝100°﹣60°＝40°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 25．如图，已知△ABE≌△ACD． （1）若BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）若∠DAE＝20°，求∠AEC的度数． 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到BE＝CD＝6，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到∠ADE＝∠AED，再利用三角形内角和运算求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD＝6， ∵DE＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝4， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）∵△ABE≌△ACD， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠DAE＝20°， ∴， ∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝100°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 26．如图，已知△ABC≌△DEB，点E是AB的中点，AC与BD交于点F，若AB＝16，∠DEB＝112°，∠C＝58°． （1）求BC的长度； （2）直接写出∠DFC的度数． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝DE＝16，BC＝BE，再利用中点的含义求解BE，从而可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明∠DBE＝∠C＝58°，∠DEB＝∠ABC＝112°，再求得∠FBC，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BC＝BE， ∵E为AB的中点，AB＝16， ∴， ∴BC＝8； （2）∵△ABC≌△DEB，∠C＝58°，∠DEB＝112°， ∴∠DBE＝∠C＝58°，∠DEB＝∠ABC＝112°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠EBD＝112°﹣58°＝54°． ∴∠DFC＝∠FBC+∠C＝54°+58°＝112°． 【点评】本题考查三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，熟练地运用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 27．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°， ∴∠ABD+∠CBE＝132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4＝15.5． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 四．创新型题型及压轴题（共5小题） 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AB上，且BD＝6cm；点M从B出发以每秒1cm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时间为t秒，连接DM、MN． （1）用含t的式子表示BM、MC； （2）若点N的运动速度也为每秒1cm，t为何值时，△DBM≌△MCN； （3）若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌△NCM，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）由点N的运动速度也为每秒1cm，则NC＝t，BM＝NC，再由△DBM≌△MCN，则MC＝BD＝6，所以10﹣t＝6，然后求解即可； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC，△DBM≌△NCM，则BM＝MC，NC＝BD＝6，即M为BC中点，所以t＝10﹣t，然后求解即可； 【解答】解：（1）由题意得：BM＝t，MC＝10﹣t； （2）∵点N的运动速度也为每秒1cm， ∴NC＝t，BM＝NC， ∵△DBM≌△MCN；BD＝6cm， ∴MC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴10﹣t＝6， 解得t＝4， ∴t＝4时，△DBM≌△MCN； （3）由点N的运动速度和点M的速度不相等，则BM≠NC， ∵△DBM≌△NCM， ∴BM＝MC，NC＝BD＝6cm（全等三角形对应边相等）， ∴M为BC中点， ∴t＝10﹣t， 解得：t＝5， ∴点N的速度为每秒． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 29．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P，Q两点同时到达A点，则x的值为　6　 ； （2）若△ACP与△BPQ全等，则x的值为　或　 ． 【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为6÷2＝3秒，再根据点Q运动的路程BD+AB＝18即可得出点Q的速度； （2）依题意得AP＝2t﹣6，DQ＝xt，则PB＝16﹣2t，QB＝8﹣xt，再根据∠CAB＝∠DBA＝α，则有以下两种情况：①AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，由AC＝BP得6＝16﹣2t，解得t＝5，再由AP＝BQ得2t﹣6＝8﹣xt，由此可得x的值；②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t﹣6＝16﹣2t，解得，再由AC＝BQ得6＝8﹣xt，由此可得x的值，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AC＝6，∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的速度为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6； （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝xt， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当△ACP≌△BPQ时， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：； ②当△ACP≌△BQP时， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为或 ． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是解决问题的易错点． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动．设运动的时间为ts． （1）直接写出：①BP＝ 　4t cm；②CP＝ 　（16﹣4t）　 cm；③CQ＝ at cm．（用含t，a的式子表示） （2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长； （2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：∵BC＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动． ∴①BP＝4t（cm）；②CP＝BC﹣BP＝16﹣4t（cm）； ∵点Q在线段CA上由C点以acm/s的速度向A点运动， ∴③CQ＝at（cm）； 故答案为：4t；（16﹣4t）；at； （2）∵BP＝4tcm，BD＝12cm，CP＝（16﹣4t）cm，CQ＝atcm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： ①若△DBP≌△QCP， 则， ∴， ∴； ②若△DBP≌△PCQ， 则， ∴， ∴； 综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是能根据题意得出方程． 31．已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出∠ACE＝90°，就可以得出AC⊥CE； （2）如图2，根据△ABC≌△CDE可以得出∠BFC＝90°，从而得出结论； （3）根据S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，可得S△BFCS△ABC＝3，由△ABC≌△BDE，得S△BDE＝S△ABC＝12，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFCS△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 32．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 A （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 【分析】（1）根据选项A不能证明“三角形的内角和是180°”，选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”即可得出答案； （2）对于选项B，根据△ABD≌△BAC得∠BAD＝∠ABC，进而得AD∥BC，则∠DAC+∠C＝90°，即∠BAC+∠BAD+∠C＝90°，由此可得出结论；对于选项C，根据DE∥CB得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再根据DF∥AC得∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C，然后根据∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°即可得出结论；对于选项D，根据CD∥BA得∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°，进而得∠ACD+∠ACB+∠B＝180°，由此可得出结论． 【解答】解：（1）选项A不能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项A符合题意； 选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项B，C，D均不符合题意， 故选：A； （2）对于选项B，证明如下： ∵△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAC+∠BAD+∠C＝180°， 即∠BAC+∠ABC+∠C＝180°； 对于选项C，证明如下： ∵DE∥CB， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C， ∵∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 对于选项D，证明如下： ∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠B＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 五．随堂检测（共5小题） 1．如图，已知△ABC与△DEF全等，那么∠D＝ 　72　 °． 【分析】全等三角形的对应边对的角是对应角，由此即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，BC和EF是对应边， ∴∠D＝∠A＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边对的角是对应角． 2．如图，△ABC≌△DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，B、E、C、F四点在同一直线上，BC＝7，BF＝10，那么EC的长为 　4　 ． 【分析】求出CF＝BF﹣BC＝3，由全等三角形的性质推出EF＝BC＝7，即可得到EC的长． 【解答】解：∵BC＝7，BF＝10， ∴CF＝BF﹣BC＝3， ∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝7， ∴EC＝EF﹣CF＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 3．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP＝　6或12　 ． 【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝6，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC＝12，P、C重合． 【解答】解：①当AP＝CB时， ∵∠C＝∠QAP＝90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即AP＝BC＝6； ②当P运动到与C点重合时，AP＝AC， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）， 即AP＝AC＝12， ∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 综上所述，AP＝6或12． 故答案为：6或12． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 4．如图，已知△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，点D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，则∠E的度数是 　36　 °． 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠ABD＝∠ADE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABD＝70°，求出∠DAE和∠ADE，再根据三角形内角和定理求出∠E即可． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝40°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠ABD＝70°， ∵∠BAE＝114°，∠BAD＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝114°﹣40°＝74°， ∴∠E＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣70°﹣74°＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记全等三角形的对应边相等和全等三角形的对应角相等是解此题的关键． 1．如图，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B＝∠E．在下列结论①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝∠CAF中，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确； ∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠FAC，故④正确； ∵AF≠BF， ∴∠BAF≠∠B，故②错误； 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形的性质得到∠1＝∠2＝58°． 【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°． ∵图中的两个三角形全等，b边的对角∠1和∠2是对应角， ∴∠1＝∠2＝58°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 3．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5 【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝CPBC9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝6厘米， 若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CPBC9＝4.5（厘米）， ∵点Q的运动速度为3厘米/秒， ∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s）， ∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）； 若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ， ∴v＝3， ∴v的值为：2.25或3， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等． 4．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一条底边的长等于（　　） A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分为两种情况，求出即可． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′， 分为两种情况： ①当BC是底边时，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′， ∵等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm， ∴△A′B′C′中一定有一条底边B′C′的长是8cm， ②BC是腰时，腰是8cm， ∵等腰△ABC的周长为18cm， ∴△A′B′C′中一定有一条底边的长是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm， 即底边长是8cm或2cm， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：要进行分类讨论． 5．如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠ADE＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝　45　 °． 【分析】依据全等三角形的对应角相等以及三角形内角和定理，即可得到∠BAD的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠ADE＝75°， ∴∠ADE＝∠B＝75°， 又∵∠C＝35°， ∴∠BAC＝70°， 又∵∠DAC＝25°， ∴∠BAD＝45°， 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应角相等． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，△ABC≌△A′B′C，若A′B′恰好经过点B，A′C交AB于D，则∠BDA′的度数为 　135　 ° 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，根据全等三角形对应边相等可得BC＝B′C，全等三角形对应角相等可得∠B′＝∠ABC，然后根据等腰三角形的性质求出∠BCB′，再求出∠BCD，然后根据三角形的外角的性质计算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∵△ABC≌△A′B′C， ∴BC＝B′C，∠B′＝∠ABC＝75°， ∴∠B'＝∠CBB'＝75°， ∴∠BCB′＝180°﹣75°×2＝30°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°， 在△BCD中，∠BDA'＝∠ABC+∠BCD＝75°+60°＝135°． 故答案为：135． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 7．如图，已知△ABC≌△EFD，且点A、B、C分别与点E、F、D对应，BF＝10，DC＝2，则DF＝　6　 ． 【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△EFD， ∴BC＝DF， ∵BC﹣CD＝DF﹣CD， ∴BD＝CF， ∵BF＝10，DC＝2， ∴BD＝CF（10﹣2）＝4， ∴DF＝CF+CD＝4+2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 8．如图，AB＝9cm，BC＝16cm，∠B＝∠C，点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是　或4　 ． 【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△ABP≌△PCQ和②当△ABP≌△QCP时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【解答】解：由题意知，BP＝2t（cm），PC＝（16﹣2t）cm， ∵AB＝9cm，∠B＝∠C， ①当△ABP≌△PCQ时， ∴BA＝CP（全等三角形对应边相等）， ∴16﹣2t＝9， 解得； ②当△ABP≌△QCP时， ∴（全等三角形对应边相等）， ∴2t＝8， 解得t＝4， 综上所述，当t的值是或4时，能够使△ABP与△CQP全等， 故答案为：或4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 9．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝50°，则∠DEC的度数为 　65°　 ． 【分析】先根据全等三角形的性质得到CE＝CB，∠ACB＝∠DCE，∠DEC＝∠B，则∠BCE＝∠ACD＝50°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠B的度数，从而得到∠DEC的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝CB，∠ACB＝∠DCE，∠DEC＝∠B， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD＝50°， ∵CE＝CB， ∴∠B＝∠CEB（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DEC＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝　3或7或10　 秒时，△DEB与△ABC全等． 【分析】分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE求解即可． 【解答】解：分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE讨论如下： ①点E在线段AB上，点E与点A重合时此时t＝0，当△EDB≌△BCA时，BD＝AC＝4，则t＞0，不符合题意，舍去； 点E在线段AB上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB﹣BE＝6cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； ②当点E在线段BN上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB+BE＝14cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； 当点E在线段BN上，△BCA≌△EDB，则AB＝BE＝10cm， ∴AE＝AB+BE＝20cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴． 综上，当t为3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等． 故答案为：3或7或10． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 11．如图，△ABC≌△DEB，点E在边AB上，DE与AC相交于点F． （1）若DE＝13，BC＝7，求线段AE的长； （2）若∠AFE＝50°，∠DEB＝80°，求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得AB＝DE＝13，EB＝BC＝7，再由AE＝AB﹣EB即可得解； （2）先由外角性质求出∠A，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC、∠DBE即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝13，BC＝7， ∴AB＝DE＝13，EB＝BC＝7（全等三角形对应边相等）， ∴AE＝AB﹣EB＝13﹣7＝6； （2）∵∠DEB是△AEF的外角， ∴∠DEB＝∠AFE+∠A， 又∠AFE＝50°，∠DEB＝80°， ∴∠A＝∠DEB﹣∠AFE＝30°， ∵△ABC≌△DEB， ∴∠A＝∠D＝30°，∠DEB＝∠ABC＝80°（全等三角形对应角相等）， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝70°＝∠DBE， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝80°﹣70°＝10°． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 12．如图，△ABC≌△EFD且AB＝EF，CE＝2.5，CD＝2，∠A＝45°． （1）求AC的长度． （2）求∠E的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质进行解题即可； （2）根据全等三角形的性质进行解题即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△EFD， ∴AC＝DE（全等三角形的对应边相等）， ∵DE＝CD+CE＝2+2.5＝4.5， ∴AC＝4.5， 答：AC的长度是4.5； （2）∵△ABC≌△EFD， ∴∠A＝∠E＝45°（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等． 13．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）求证：△AFE为直角三角形； （2）若S△BCF＝8，S△AEF＝2，求S四边形CFED的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠EBD，从而得到∠ADC＝∠BDE＝90°，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质可得S△BDE＝S△ADC，再结合S△BDE＝S△BCF﹣S四边形CFED，S△AEF＝S△ADC﹣S四边形CFED，即可求解． 【解答】（1）证明：∵△ACD≌△BED， ∴∠ADC＝∠BDE，∠CAD＝∠EBD， ∵∠ADC+∠BDE＝180°， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， 又∵∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠BDE＝90°， ∴△AFE为直角三角形． （2）∵S△BCF＝8，S△AEF＝2，△ACD≌△BED， ∴S△BDE＝S△ADC， ∵S△BDE＝S△BCF﹣S四边形CFED，S△AEF＝S△ADC﹣S四边形CFED， ∴S△AEF＝S△BDE﹣S四边形CFED＝S△BCF﹣S四边形CFED﹣S四边形CFED＝8﹣2S四边形CFED＝2， ∴S四边形CFED＝3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 14．如图，已知△ABE≌△ACD． （1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长； （2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出BE＝CD，根据BE＝6，DE＝2，得出CE＝4，从而得出BC的长； （2）根据全等三角形的性质可得出∠BAE＝∠CAD，即可得出∠BAD＝∠CAE，计算∠CAD﹣∠CAE即得出答案． 【解答】解：（1）∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD，∠BAE＝∠CAD， 又∵BE＝6，DE＝2， ∴EC＝DC﹣DE＝BE﹣DE＝4， ∴BC＝BE+EC＝10； （2）∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°， ∴∠BAE＝∠CAD＝45°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 15．如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求 （1）DE的长； （2）∠BAC的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm， ∴AE＝BD＝4cm， ∴DE＝AD+AE＝6cm； （2）∵BD⊥DE， ∴∠D＝90°， ∴∠DBA+∠BAD＝90°， ∵△ABD≌△CAE， ∴∠DBA＝∠CAE ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AD上，延长BE交AC于点F，且△ACD≌△BED． （1）若BC＝11，AD＝8，求CD的长度； （2）求证：∠AFE＝∠ADB； （3）若S△BCF＝20，S四边形CFED＝8，则S△AEF＝　4　 ． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得出BD＝AD＝8，因为BC＝11，故CD＝BC﹣BD＝11﹣8＝3，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得∠CAD＝∠DBE，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，S△ACD＝S△BED＝12，再把数值代入S△AEF＝S△ACD﹣S四边形CFED进行计算，即可作答． 【解答】（1）解：∵△ACD≌△BED，AD＝8， ∴BD＝AD＝8（全等三角形对应边相等）， ∵BC＝11， ∴CD＝BC﹣BD＝11﹣8＝3， （2）证明：∵△ACD≌△BED， ∴∠CAD＝∠DBE（全等三角形对应角相等）， ∵∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，∠DBE+∠BED+∠ADB＝180°，且∠AEF＝∠BED， ∴∠AFE＝∠ADB（同角的补角相等）； （3）解：∵S△BCF＝20，S四边形CFED＝8， ∴S△BED＝20﹣8＝12， ∵△ACD≌△BED， ∴S△ACD＝S△BED＝12， 则S△AEF＝S△ACD﹣S四边形CFED＝12﹣8＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $