第12讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦等腰三角形的判定核心知识点，系统梳理“等角对等边”判定方法及“大角对大边”关系，明确与“等边对等角”性质的互逆联系，强调判定需先证角相等的易错点，搭建从性质到判定的知识支架。 资料亮点在于真题精讲中分类讨论等腰三角形存在性问题（如直线上找点构成等腰三角形）培养几何直观，结合平行线与角平分线构造等腰三角形题型提升推理能力，新定义及压轴题发展创新意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

第12讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.2 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握“等角对等边”的判定方法； 2.能证明一个三角形是等腰三角形； 3.了解大角对大边。 知识点一 等腰三角形的判定 判定（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 学习方法：常作角平分线或利用全等证明。与性质互逆。 易错点：判定时需先证出角相等，不能直接用“等边对等角”来判定等边。 知识点二 大边对大角 大角对大边：三角形中，较大角所对边较大。（可作一角等于小角构造等腰） 学习方法：结合“大边对大角”一起记忆，互为逆命题。 一．等腰三角形的判定（共14小题） 1．已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝4：5：6 3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 5．如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　 　 处剪断．（可多选，填写序号） 6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 　 　 个等腰三角形． 7．已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　 　 ． 8．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有　 　 个． 9．如图，直线a，b交于点O，∠α＝40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝　 　 °． 10．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF． 11．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 12．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF⊥AD，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 13．如图，直线a、b交于点O，A为直线a上一定点，B为直线b上一动点，∠1＝α．若以点O、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： （1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有 　 　 个； （2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有 　 　 个． 14．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，求证：△AFC是等腰三角形． 二．等腰三角形的判定与性质（共19小题） 15．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 16．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 17．如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①∠DFB＝∠DBF； ②△EFC为等腰三角形； ③△ADE的周长等于△BFC的周长； ④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 18．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．则△AMN的周长等于（　　） A．17 B．15 C．12 D．11 19．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 20．如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若AE＝5cm，则DE＝ 　 　 cm． 21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　 　 ． 22．如图，已知BE是∠ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AC上，AD＝2，BC＝12，那么DE＝　 　 ． 23．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 24．如图，△ABC中，BC＝10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 　 　 ． 25．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 　 　 ． 26．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为 　 　 ． 27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝4，BP＝3，AC＝10，∠C＝18°，则∠ABC＝ 　 　 °． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 29．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 30．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 31．已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 32．已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ 　 　 ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ 　 　 ）． ∴∠BMD＝ 　 　 ． ∴DB＝DM（ 　 　 ）． 同理可得EC＝ 　 　 ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 　 　 ． 33．如图，在△ABC中，AB＝BC，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，求AC的长． 三．新定义及压轴题（共6小题） 34．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 35．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　 　 ． 36．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 37．已知△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分线，BD⊥AP，用含α 的代数式表示∠BPC的度数，用含β 的代数式表示∠PBD的度数，并说明理由． （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论． ∠BPC＝　 　 ∠PBD＝　 　 38．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 39．在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且点D是BC的中点．求证：AB＝AC． 方法一 方法二 证明：过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F． 证明：延长AD到E，使得ED＝AD，连接BE． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为　 　 ． 2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 　 　 ． 3．如图，已知在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，那么BC＝　 　 ． 4．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，线段AE＝AF，点E、A、C在同一直线上，求证：AD平分∠BAC．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90°， ∴EG∥AD（　 　 ）， ∴∠E＝　 　 （　 　 ）， ∠EFA＝　 　 （　 　 ）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝　 　 （　 　 ）， ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC中，AB＝AC； ②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC； ④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC． 其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ． 5．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为　 　 ． 6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　 　 ． 7．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则△OMN的周长＝　 　 ． 8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由． 9．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE． 10．如图，在三角形ABC中，O是AC边上的一点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F，求证：OE＝OF． 11．已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明EM⊥BD． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠CBD＝　 　 （角平分线的意义）． 因为DE∥BC（已知）， 所以∠CBD＝∠BDE（ 　 　 ）． 所以∠BDE＝　 　 （ 　 　 ）． 所以EB＝ED（ 　 　 ）． 因为点M是BD的中点（已知）， 所以EM⊥BD（ 　 　 ）． 12．如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形． 13．已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． （1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； （2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 14．已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 等腰三角形的判定 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下18.2 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.掌握“等角对等边”的判定方法； 2.能证明一个三角形是等腰三角形； 3.了解大角对大边。 知识点一 等腰三角形的判定 判定（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 学习方法：常作角平分线或利用全等证明。与性质互逆。 易错点：判定时需先证出角相等，不能直接用“等边对等角”来判定等边。 知识点二 大边对大角 大角对大边：三角形中，较大角所对边较大。（可作一角等于小角构造等腰） 学习方法：结合“大边对大角”一起记忆，互为逆命题。 一．等腰三角形的判定（共14小题） 1．已知：如图△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【分析】分△ACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断． 【解答】解：如图：当BC＝BD时，△BCD是等腰三角形； ∵∠CBA＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝CD； 当BC＝BD1时，△BCD是等腰三角形； 当AC＝AD2＝AD3，CA＝CD4，当CD5＝D5A时，△ACD都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形． 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．AB＝3，AC＝3，BC＝4 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．AB：AC：BC＝4：5：6 【分析】对于选项A，根据AB＝AC＝3即可对选项A进行判断； 对于选项B，根据∠A：∠B：∠C＝3：4：4，设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，则∠B＝∠C＝4α，由此可对选项B进行判断； 对于选项C，先利用三角形内角和定理求出∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，由此可对选项C进行判断； 对于选项D，根据AB：AC：BC＝4：5：6，设AB＝4k，AC＝5k，BC＝6k，则AB≠AC≠BC，由此可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵AB＝3，AC＝3，BC＝4 ∴AB＝AC， ∴选项A中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4， ∴设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α， ∴∠B＝∠C＝4α， ∴选项B中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵∠B＝50°，∠C＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°， ∴∠A＝∠B＝50°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴选项C中的条件能判定△ABC是等腰三角形， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AB：AC：BC＝4：5：6， ∴AB＝4k，AC＝5k，BC＝6k， ∴AB≠AC≠BC， ∴选项D中的条件不能判定△ABC是等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°， ∴∠A＝54°， ∵BC＝BD， ∴∠CDB＝∠DCB＝72°， ∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°， ∴CE＝BE，AE＝CE， ∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形， 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型． 4．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【分析】根据等腰三角形的判定逐一进行判断即可． 【解答】解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2， 故不能判定△ABC是等腰三角形． 故选：C． 【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ADF与△BEF全等． 5．如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在 　②或③　 处剪断．（可多选，填写序号） 【分析】分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【解答】解：分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论如下： 当4为腰时，则底为14﹣2×4＝6，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为2、2、10，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为4、7、3，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 【点评】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握该知识点是关键． 6．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝36°，点D在边AB上，∠ACD＝2∠BCD，图中共有 　三　 个等腰三角形． 【分析】根据三角形的内角和定理分别求出∠ACB＝108°，∠BCD＝36°，∠ACD＝72°，∠ADC＝72°，然后根据∠A＝∠B＝36°可判定△ABC是等腰三角形；根据∠BCD＝∠B＝36°可判定△BCD是等腰三角形；再根据∠ADC＝∠ACD＝72°可判定△ACD是等腰三角形，由此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝108°， ∵∠ACD＝2∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝3∠BCD＝108°， ∴∠BCD＝36°， ∴∠ACD＝2∠BCD＝72°， 在△ACD中，∠ADC＝180°﹣（∠A+∠ACD）＝180°﹣（36°+72°）＝72°， ∵∠A＝∠B＝36°， ∴△ABC是等腰三角形； ∵∠BCD＝∠B＝36°， ∴△BCD是等腰三角形； ∵∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴△ACD是等腰三角形， 综上所述：图中共有三和等腰三角形． 故答案为：三． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 7．已知a，b，c是△ABC的三条边，且（a﹣b）2＝0，则△ABC的形状是　等腰三角形　 ． 【分析】根据偶次方的非负性可得：a﹣b＝0，从而可得a＝b，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有　5　 个． 【分析】根据等腰三角形的概念，分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，与格点交点即为所求；作AB的垂直平分线，与格点交点即为所求． 【解答】解：如图， 满足△EAB是等腰三角形的点E有5个， 故答案为：5． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解． 9．如图，直线a，b交于点O，∠α＝40°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线a的上方，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB＝　40或70或100　 °． 【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解． 【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB1＝AB1时，∠OAB＝∠1＝40°； ②当OA＝AB2时，∠OAB＝180°﹣2×40°＝100°； ③当OA＝OB3时，∠OAB＝∠OBA（180°﹣40°）＝70°； 综上所述，∠OAB的度数是40°或70°或100°， 故答案为：40或70或100． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 10．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF． 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解． 【解答】证明：∵AD∥CE， ∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠E＝∠ACF， ∴AC＝AE， ∵AF⊥CE， ∴EF＝CF． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定、平行线的性质是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC为等腰三角形． 【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案； （2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，进而可求解∠FAC＝∠FCA，即可证明结论． 【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴BA＝BC； （2）∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BAD＝∠BCE， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FA＝FC， ∴△AFC为等腰三角形． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，通过△ABD≌△CBE是解题的关键． 12．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF⊥AD，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 【分析】利用角平分线的定义及三角形外角性质得到AE＝DE，根据等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：∠AEF＝∠DEF，理由如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAC＝∠B，且∠ADE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD， ∴∠ADE＝∠DAE， ∴AE＝DE， 又∵EF⊥AD， ∴EF平分∠AED， ∴∠AEF＝∠DEF． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定，利用角平分线的定义及三角形外角性质得到AE＝DE是解题的关键． 13．如图，直线a、b交于点O，A为直线a上一定点，B为直线b上一动点，∠1＝α．若以点O、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： （1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有 　4　 个； （2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有 　2　 个． 【分析】（1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【解答】解：（1）如图1，当α＝50°时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当OB1＝AB1时，∠B1AO＝∠1＝50°； 当OA＝OB2时，∠OAB2＝∠OB2A＝65°； 当OA＝AB3时，∠OAB2＝∠OB3A＝65°； 当OA＝OB4时，∠OAB4＝∠OB4A＝65°； 故答案为：4；’ （2）如图2，当α＝60°时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当OA＝OB1时，△AOB1是等边三角形， 当OA＝OB2时，∠OAB2＝∠OB2A＝30°； 故答案为：2． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． 14．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，求证：△AFC是等腰三角形． 【分析】根据AAS推出△ABD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，求出AE＝CD，根据AAS推出△AEF≌△CDF即可． 【解答】证明：∵在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（AAS）， ∴AB＝BC， ∵BE＝BD， ∴AE＝CD， 在△AEF和△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴AF＝CF， ∴△AFC是等腰三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定的应用，能求出AF＝CF是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 二．等腰三角形的判定与性质（共19小题） 15．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 16．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①； 步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E． 下列叙述正确的是（　　） A．BC平分∠ABD B．AB＝BD C．AE＝BD D．BE＝DE 【分析】连接AD，CD，先证明△ABC≌△ADC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE＝DE． 【解答】解：连接AD，CD， 由题意得，CB＝CD，AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴AE是∠DAB的角平分线， 又∵AB＝AD， ∴BE＝DE， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键． 17．如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①∠DFB＝∠DBF； ②△EFC为等腰三角形； ③△ADE的周长等于△BFC的周长； ④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB； ②同理可得∠ECF＝∠EFC，则△EFC为等腰三角形； ③用特殊值法，当△ABC为等边三角形时，连接AF，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF＝AF＝CF，进而得BF+CF＞AC，便可得出△ADE的周长不等于△BFC的周长； ④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式． 【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， 又∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DFB＝∠DBF， 故①正确； ②同理∠ECF＝∠EFC， ∴EF＝EC， ∴△EFC为等腰三角形， 故②正确； ③假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF， ∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴BD＝DF，EF＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC， ∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点， ∴第三条平分线必过其点， 即AF平分∠BAC， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°， ∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°， ∴FA＝FB＝FC， ∵FA+FC＞AC， ∴FB+FC＞AC， ∴FB+FC+BC＞BC+AC， ∴FB+FC+BC＞AB+AC， 即△BFC的周长＞△ADE的周长， 故③错误； ④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①， 在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°， 即∠BFC∠ABC∠ACB＝180°②， ②×2﹣①得，∠BFC＝90°∠BAC， 故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法． 18．如图，△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．则△AMN的周长等于（　　） A．17 B．15 C．12 D．11 【分析】根据平行线的性质结合角平分线的定义得出OM＝BM，ON＝CN，即可推出结果． 【解答】解：∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， 又∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠MOB＝∠MBO，∠NOC＝∠NCO， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∴△AMN的周长＝AM+OM+ON+AN＝AB+AC＝7+5＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明OM＝BM，ON＝CN是解题的关键． 19．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（　　） A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 【分析】根据方向角的定义即可求得∠M＝70°，∠N＝40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解． 【解答】解：MN＝2×40＝80（海里）， ∵∠M＝70°，∠N＝40°， ∴∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∴∠NPM＝∠M， ∴NP＝MN＝80（海里）． 故选：D． 【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键． 20．如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若AE＝5cm，则DE＝ 　5　 cm． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△ADE是等腰三角形，即可解答． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴EA＝ED＝5cm， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　3　 ． 【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF， ∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF， ∴BD＝DF＝4，FE＝CE， ∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等． 22．如图，已知BE是∠ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AC上，AD＝2，BC＝12，那么DE＝　4　 ． 【分析】先证明DB＝DE，则设DB＝DE＝x，由△ADE∽△ABC得到，再解一元二次方程即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠EBC＝∠DEB，△ADE∽△ABC， ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴∠EBC＝∠EBD， ∴∠EBD＝∠DEB， ∴DB＝DE， 设DB＝DE＝x， ∵△ADE∽△ABC， ∴（相似三角形对应边成比例）， 解得， 解得x＝4或x＝﹣6（不符合题意，舍去）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 23．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　13　 cm． 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 24．如图，△ABC中，BC＝10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 　10　 ． 【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OE∥AB、OF∥AC可推出BE＝OE，OF＝FC，显然△OEF的周长即为BC的长度． 【解答】解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠EBO，∠ACO＝∠FCO， ∵OE∥AB，OF∥AC， ∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF， ∴∠EBO＝∠BOE，∠FCO＝∠COF， ∴BE＝OE，OF＝FC， ∴BC＝BE+EF+FC＝OF+OE+EF， ∵BC＝10， ∴OF+OE+EF＝10， ∴△OEF的周长＝OF+OE+EF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到EB＝EO，FO＝FC是解题的关键． 25．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 　4　 ． 【分析】根据已知易得：CE＝4，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DEC是等腰三角形，即可解答． 【解答】解：∵EC＝2AE，AC＝6， ∴CEAC＝4， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴ED＝EC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 26．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为 　　 ． 【分析】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△BDC≌△EDC（ASA）， ∴BC＝CE＝4，BD＝DE， 又∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵AC＝7，BC＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴BE＝AE＝3， ∴BDBE， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键． 27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝4，BP＝3，AC＝10，∠C＝18°，则∠ABC＝ 　54　 °． 【分析】延长BP交AC于点E，先证明△APB和△APE全等得AB＝AE＝4，BP＝PE＝3，∠ABE＝∠AEB，进而得CE＝BE＝6，则∠EBC＝∠C＝18°，进而得∠AEB＝36°，由此可得∠ABC的度数． 【解答】解：延长BP交AC于点E，如图所示： ∵BP⊥AP， ∴∠APB＝∠APE＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠EAP， 在△APB和△APE中， ， ∴△APB≌△APE（ASA）， ∴AB＝AE，BP＝PE，∠ABE＝∠AEB， ∵AB＝4，BP＝3，AC＝10， ∴AB＝AE＝4，BP＝PE＝3， ∴CE＝AC﹣AE＝6，BE＝BP+PE＝6， ∴CE＝BE， ∴∠EBC＝∠C＝18°， ∴∠AEB＝∠EBC+∠C＝36°， ∴∠ABC＝∠AEB+∠EBC＝54°． 故答案为：54°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决问题的关键是理解等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质，正确地作出辅助线构造全等三角形． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 29．如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1＝∠2，由AB∥CD可得∠2＝∠3，根据等量代换可得∠1＝∠3； （2）由垂直的定义得出∠ADB＝90°，可得∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝124°，由平行线的性质得出∠ABD＝56°，根据角平分线的定义即可得解． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CDA＝28°， ∴∠CDB＝∠CDA+∠ADB＝28°+90°＝118°， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣118°＝62°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2∠ABD62°＝31°， ∵∠1＝∠3， ∴∠3＝31°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 30．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于交线段BC点于点D，AB＝CD﹣BD，求证：∠B＝2∠C． 【分析】在DC上取点E，使DE＝BD，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，得到AE＝CE，于是得到结论． 【解答】证明：在DC上取点E，使DE＝BD， ∵AD⊥BC，且BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∵AB＝CD﹣BD， ∴CD﹣BD＝CD﹣DE＝CE， ∴AE＝CE， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C， ∴∠B＝2∠C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 31．已知：如图，点D在线段BC上，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE，AD平分∠BDE． 求证： （1）△ACE是等腰三角形． （2）∠CAE＝∠CDE． 【分析】（1）根据AD平分∠BDE，设∠ADB＝∠ADE＝α，根据AD＝AB得∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α，再根据∠BAD＝∠CAE得∠BAC＝∠DAE，由此即可依据“AAS”判定△BAC和△DAE中全等，则AC＝AE，由此即可得出结论 （2）在△ABD中，根据∠B＝∠ADB＝α得∠BAD＝180°﹣2α，则∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α，再根据∠ADB＝∠ADE＝α得∠CDE＝180°﹣2α，由此即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BDE， ∴设∠ADB＝∠ADE＝α， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE＝α， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴AC＝AE， ∴△ACE是等腰三角形； （2）在△ABD中，∠B＝∠ADB＝α， ∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝180°﹣2α， ∴∠BAD＝∠CAE＝180°﹣2α， ∵∠ADB＝∠ADE＝α， ∴∠CDE＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣2α， ∴∠CAE＝∠CDE． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 32．已知：如图，在△ABC中，已知BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，经过点M的直线DE平行于BC，交AB、AC分别于点D、E，AB＝8，AC＝6．求△ADE的周长． 解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝ 　∠ABM ． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠BMD＝ 　∠ABM ． ∴DB＝DM（ 　等角对等边　 ）． 同理可得EC＝ EM ． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 　14　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDM和△EMC是等腰三角形，从而可得DB＝DM，同理可得EC＝ EM，然后利用等量代换和三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵BM平分∠ABC， ∴∠CBM＝∠ABM． ∵DE∥BC， ∴∠CBM＝∠BMD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠BMD＝∠ABM． ∴DB＝DM（等角对等边）． 同理可得EC＝ EM． ∴△ADE周长＝AD+DE+AE， ＝AD+DM+ME+AE， ＝AD+DB+EC+AE， ＝AB+AC＝ 14， 故答案为：∠ABM；两直线平行，内错角相等；∠ABM；等角对等边；EM；14． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 33．如图，在△ABC中，AB＝BC，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，求AC的长． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DBO和△ECO都是等腰三角形，从而可得DB＝DO，EO＝EC，然后根据等量代换可得AB+AC＝9，从而可得BC＝5，再根据AB＝BC＝5，从而求出AC的长，即可解答． 【解答】解：∵BO、CO分别平分ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC， ∴DB＝DO，EO＝EC， ∵△ADE的周长等于9， ∴AD+DO+OE+AE＝9， ∴AD+DB+EC+AE＝9， ∴AB+AC＝9， ∵△ABC的周长等于14， ∴BC＝14﹣9＝5， ∵AB＝BC， ∴AB＝BC＝5， ∴AC＝9﹣5＝4， ∴AC的长为4． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 三．新定义及压轴题（共6小题） 34．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由． （2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？ 【分析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE＝ED，CF＝FD即可． （2）与（1）方法相同． 【解答】（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD． 又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝ED，CF＝FD， ∴EF＝ED+DF＝BE+CF． 即：EF＝BE+CF． （2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下（如图）： ∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线 ∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG ∵EF∥BC交AB于E，交AC于F， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，DF＝CF， ∴EF＝BE﹣CF． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形判定与性质等问题，解题的关键是上述知识点的综合应用． 35．定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上． （1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”； （2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数； （3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 　45°或　 ． 【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C， ∴∠ABC＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD， ∴∠A＝∠DBC， ∴BD是△ABC的“等角分割线”； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A＝180°﹣2∠C， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C， ∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C， ∵BD是△ABC的“等角分割线”， ∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°， 解得：∠C＝67.5°； ②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C， 解得：∠C＝90°（舍去）， 综上：∠C＝67.5°； （3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E， ①当∠DBC＝∠BAC时， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x ∵AE⊥BC，BE＝CE， ∴AE垂直平分BC， ∴FB＝FC， ∴∠DBC＝∠FCB＝2x， ∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝4x， ∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°， ∴x+6x+90°＝180°， 解得：， ∴； ②当∠ABD＝∠BAC时， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义）， 设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x， ∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x， 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝2x， ∵DF＝DC， ∴∠DFC＝∠DCF＝2x， ∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°， ∴4x+2x+2x＝180°， 解得：x＝22.5°， ∴∠BAC＝2×22.5°＝45°， 综上：∠BAC的度数为45°或， 故答案为：45°或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． 36．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键． 37．已知△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β． （1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBM和∠BCN的平分线，BD⊥AP，用含α 的代数式表示∠BPC的度数，用含β 的代数式表示∠PBD的度数，并说明理由． （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论． ∠BPC＝　90°α　 ∠PBD＝　　 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根据邻补角的性质可求出∠MBC+∠NGB，再根据角平分线的性质∠PBC+∠PCB，根据三角形内角和定理算出结果． 【解答】解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB＝180°，∠BAC＝α， ∴∠CBA+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NCB+∠ACB＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α， ∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN， ∴∠PBC∠MBC，∠PCB∠NCB， ∴∠PBC+∠PCB∠MBC∠NCB（180°+α）＝90°α， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°α）＝90°α， ∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∵∠MBC是△ABC的外角， ∴∠MBC＝α+β， ∵BP平分∠MBC， ∴∠MBP∠MBC（α+β）， ∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC， ∴∠BAPα，∠MBP＝∠BAP+∠APB， ∴∠PBD＝90°﹣∠APB＝90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）＝90°﹣∠MBP+∠BAP＝90°（α+β）α＝90°β； （2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化， ∠BPC＝90°α；∠PBD． 故答案为：90°α；． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质．注意知识的灵活运用． 38．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长． （2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ （3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长． （2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形． （3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6． 【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm， ∴出发2秒后，则CP＝2， ∵∠C＝90°， ∴PB（cm）， ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5（7）cm． （2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm， 此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形； ②若P在AB边上时，有三种情况： i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm， 所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm， 作CD⊥AB于点D， 在Rt△PCD中，PD1.8（cm）， 所以BP＝2PD＝3.6cm， 所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm， 则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形； ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形； 综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形 （3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t+2t﹣3＝3， ∴t＝2； 如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8， ∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴t﹣4+2t﹣8＝6， ∴t＝6， ∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题． 39．在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且点D是BC的中点．求证：AB＝AC． 方法一 方法二 证明：过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F． 证明：延长AD到E，使得ED＝AD，连接BE． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 【分析】方法一：角平分线的性质，得到DE＝DF，中线得到BD＝CD，HL证明△BED≌△CFD，得到∠B＝∠C，进而得到AB＝AC，即可得证； 方法二：证明△ADC≌△EDB，得到AC＝BE，∠CAD＝∠BED，进而求出∠BAE＝∠BEA，进而得到AB＝BE，进而得到AB＝AC，即可． 【解答】方法一：证明：过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F． ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∴BD＝CD， ∴△BED≌△CFD， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC； 方法二：证明：延长AD到E，使得ED＝AD，连接BE． ∵BD＝CD， 又∵∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB， ∴AC＝BE，∠CAD＝∠BED， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∴AB＝AC． 【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为　5　 ． 【分析】根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，且DE∥BC得到BD＝DF，EF＝EC，从而进行分析即可求解． 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DBF＝∠FBC＝∠DFB，∠ECF＝∠FCB＝∠EFC， ∴BD＝DF，EF＝EC， ∵BD＝3，CE＝2， ∴DE＝DF+EF＝BD+CE＝3+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了角平分线以及平行线性质，等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 　2　 ． 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∵BE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．如图，已知在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，那么BC＝　5　 ． 【分析】由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，易得△BOD与△COE是等腰三角形，又由△ADE的周长为9，可得AB+AC＝9，又由△ABC的周长是14，即可求得答案． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠BOD＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE， ∴BD＝OD，CE＝OE， ∵△ADE的周长为9， ∴AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝9， ∵△ABC的周长是14， ∴AB+AC+BC＝14， ∴BC＝14﹣9＝5， 故答案为：5． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，三角形的周长，弄清△ADE的周长和△ABC的周长之间的关系是解题的关键． 4．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，线段AE＝AF，点E、A、C在同一直线上，求证：AD平分∠BAC．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90°， ∴EG∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠E＝　∠DAC （　两直线平行，同位角相等　 ）， ∠EFA＝　∠FAD （　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝　∠EFA （　等边对等角　 ）， ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 【分析】根据平行线的判定和性质定理以及等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G， ∴∠EGC＝∠ADC＝90° ∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠DAC（两直线平行，同位角相等）， ∠EFA＝∠FAD（两直线平行，内错角相等）， ∵AE＝AF， ∴∠E＝∠EFA（等边对等角）， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC． 故答案为：同位角相等，两直线平行，∠DAC，两直线平行，同位角相等，∠FAD，两直线平行，内错角相等，∠EFA，等边对等角． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝72°，又可求∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC＝∠ABD＝36°，得∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形． 【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴△ABC是等腰三角形…①． ∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°， ∴∠A＝∠ABD， ∴△ABD是等腰三角形…②． ∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC是等腰三角形…③． 故图中的等腰三角形有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 2．如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC中，AB＝AC； ②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC； ④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC． 其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：①、∵△ABC中，AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形，故①正确； ②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形，故②正确； ③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC， ∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形，故③正确； ④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 3．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM＝∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确； ②根据BN＝AB＝6，CM＝AC＝5，及线段的和与差可得BC的长； ③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论； ④要想得到AM＝AN，必有∠AMN＝∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN． 【解答】解：①∵CE平分∠ACE， ∴∠ACP＝∠MCP， ∵AM⊥CE， ∴∠APC＝∠MPC＝90°， ∴∠CAM＝∠CMA， ∴AC＝CM， ∴AP＝PM， ①正确； ②同理得：BN＝AB＝6， ∵CM＝AC＝5， ∴BC＝BN+CM﹣MN＝6+5﹣2＝9， ②正确； ③∵∠BAC＝∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°， 由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN， △AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC， ∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°， ∴∠MAN＝35°， ③正确； ④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN， ∵AB＝6≠AC＝5 ∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等， ④不正确； 所以本题不正确的有④， 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ． 【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7． 【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为　18　 ． 【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠ABO＝∠MOB， ∴BM＝OM， 同理CN＝ON， ∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18． 故答案为：18． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点F，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝5，那么BE＝　4　 ． 【分析】证明∠AEC＝∠ACE，推出AE＝AC＝5，可得结论． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD⊥CE， ∴∠AFE＝∠AFC＝90°， ∴∠BAD+∠AEC＝90°，∠DAC+∠ACE＝90°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝9﹣5＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握等角对等边． 7．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则△OMN的周长＝　10cm ． 【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OM与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠MBO＝∠MOB，再由等角对等边得到OM＝BM，同理ON＝CN，然后利用三边之和表示出三角形OMN的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形OMN的周长． 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， 又OM∥AB， ∴∠ABO＝∠MOB， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴OM＝BM， 同理ON＝CN， ∵BC＝10cm， 则△OMN的周长c＝OM+MN+ON＝BM+MN+NC＝BC＝10cm． 故答案为10cm． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由． 【分析】先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，易求BE＝4，AE＝5，那么CE＝4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC＝∠C，结合三角形外角性质可证∠ABE＝2∠C． 【解答】证明：延长BP，交AC于E， ∵AD平分∠BAC，BP⊥AD， ∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE， 在△ABP与△AEP中，， ∴△ABP≌△AEP， ∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE， ∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5， ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4， ∴CE＝BE， ∴△BCE是等腰三角形， ∴∠EBC＝∠C， 又∵∠ABP＝∠AEB＝∠C+∠EBC， ∴∠ABP＝2∠C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形． 9．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE． 【分析】由AD平分∠BAC，得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠E＝∠DAC，∠ABE＝∠BAD，等量代换得到∠E＝∠ABE，于是得到AE＝AB，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE∥AD， ∴∠E＝∠DAC，∠ABE＝∠BAD， ∴∠E＝∠ABE， ∴AE＝AB， ∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 10．如图，在三角形ABC中，O是AC边上的一点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F，求证：OE＝OF． 【分析】由CE是∠ACB的角平分线结合平行线的性质得出∠OEC＝∠OCE，从而得出OE＝OC，同理可得：OC＝OF，即可得证． 【解答】证明：∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， 同理可得：OC＝OF， ∴OE＝OF． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边是解此题的关键． 11．已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明EM⊥BD． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠CBD＝　∠ABD （角平分线的意义）． 因为DE∥BC（已知）， 所以∠CBD＝∠BDE（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 所以∠BDE＝　∠ABD （ 　等量代换　 ）． 所以EB＝ED（ 　等角对等边　 ）． 因为点M是BD的中点（已知）， 所以EM⊥BD（ 　等腰三角形的性质　 ）． 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得到∠BDE＝∠ABD，由等腰三角形的判定得到EB＝ED，根据等腰三角形的性质即可证得EM⊥BD． 【解答】解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠CBD＝∠ABD（角平分线的意义）． 因为DE∥BC（已知）， 所以∠CBD＝∠BDE（两直线平行，内错角相等）． 所以∠BDE＝∠ABD（等量代换）． 所以EB＝ED（等角对等边）． 因为点M是BD的中点（已知）， 所以EM⊥BD（等腰三角形的性质）． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，灵活运用相关知识是解决问题的关键． 12．如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC．求证：△BDE是等腰三角形． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBC，然后利用平行线的性质可得∠DEB＝∠EBC，从而可得∠ABE＝∠DEB，最后利用等角对等边即可解答． 【解答】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键． 13．已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E． （1）找出图中所有的等腰三角形，并且选择其中一个加以说明； （2）如果AB＝3，AC＝2，求△ADE的周长是多少？ 【分析】（1）根据角平分线的定义得∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，再根据平行线的性质得∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，则∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，根据平行线的判定得DB＝DF，EF＝EC，即可证得△BDF和△CEF是等腰三角形； （2）根据三角形的定义得△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AE． 【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF和△CEF是等腰三角形； （2）∵DB＝DF，EF＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE ＝AD+DF+EF+AE ＝AD+BD+EC+AE ＝AB+AC ＝3+2 ＝5， △ADE的周长是5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 14．已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）直接写出图1中所有的等腰三角形．指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若AB＝15，AC＝10，求△AEF的周长； （3）如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，请问（1）中EF与BE、CF间的关系还是否存在，若存在，说明理由；若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出OE＝BE，OF＝CF，再推出EF与BE、CF间的关系即可． 【解答】解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， ∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO（角平分线的定义）， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠FOC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC ∴BE＝OE，OF＝CF（等角对等边）， ∴△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴EF＝OE+OF＝BE+CF； （2）∵由（1）知，EF＝BE+CF， 又∵AB＝15，AC＝10， ∴C△AEF＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝15+10＝25； （3）（1）中结论不成立，新结论为：EF＝BE﹣CF，理由： ∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠FCO＝∠GCO， ∵EF∥BC， ∴∠CBO＝∠EOB，∠EOC＝∠GCO（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABO＝∠EOB，∠EOC＝∠FCO， ∴OE＝BE，OF＝CF（等角对等边）， ∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）　 cm（用含t的式子表示）； （2）当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【分析】（1）根据题意即可用t可表示出AP，BQ即可求得BP； （2）①结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；②当Q在BC上，0≤t≤6，如图，AP＝t，BQ＝2t，则BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t，利用PQ把△ABC的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， （2）①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时， 即16﹣t＝2t，解得， ∴出发秒后； ②当Q在BC上，0≤t≤6，如图， 而AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t， ∵PQ把△ABC的周长平分， ∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20， 解得：t＝8，不符合题意舍去， ∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分． （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $