18.2等腰三角形的判定同步练习2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 沪教版七年级数学下册18.2等腰三角形的判定同步练习，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，覆盖从定义应用到动态几何的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形定义、判定定理|选择2（全等判定）、填空7（内角比判断），直接应用概念| |中档|角平分线、平行线与等腰三角形综合|选择4（DE∥BC与角平分线）、解答18（角平分线交点证明），培养推理能力| |提高|动态几何、新定义与分类讨论|填空16（对称与等腰三角形）、解答20（动态点分类），发展创新意识|

18.2等腰三角形的判定同步练习沪教版七年级数学下册试卷 （考查范围：18.2等腰三角形的判定） 一．选择题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分 线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A． 6个 B． 7个 C． 8个 D． 9个 A B C D E A B C D E F （第1题） （第3题） （第4题） 2.下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ） A．一角对应相等 B．一腰和底边对应相等C．两腰对应相等 D．底边对应相等 3.如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（ ）． A． 60° B． 45° C． 22.5° D． 50° 4.∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 5.如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（ ） A．600 B．450 C．300 D．不确定 A C B E F （第5题） 6.定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 7.三个内角的度数之比是，那么是_____三角形． 8.如图，在△ABC中，∠A＝100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠C=_____度． (第8题） （第9题） （第10题） 9.如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为__________． 10.如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为 11．如图，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为 （第11题） （第12题） （第13题） 12．如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为D，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________． 13．如图，在中，平分，，，则的长为 15.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有 个 （第15题） 16．在△ABC 中， AB AC ， ∠BAC=100°，点 D 在 BC 上， ABD 和AFD 关于直线 AD 对称， ∠FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当∠BAD _________.时，DFG为等腰三角形. （第16题） 三．解答题 17.如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形． ∵ 18.如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB． （1）求∠BPC的度数； （2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形． 19.如图，在四边形中， ，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：≌． （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． 20.．在等腰中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作等腰，使，，连结． （1）如图1，当点在线段上时，如果，则_______°． （2）设． ①如图2，当点在线段上移动时，之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点在直线上移动时，之间有怎样的数量关系？请你直接写出你的结论． 18.2等腰三角形的判定同步练习沪教版七年级数学下册试卷（参考答案） （考查范围：18.2等腰三角形的判定） 一．选择题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分 线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A． 6个 B． 7个 C． 8个 D． 9个A B C D E F 答案: 解:经分析可知，等腰三角形有：， ，共8个． 2.下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（ ） A．一角对应相等 B．一腰和底边对应相等C．两腰对应相等 D．底边对应相等 答案：B 解：依据全等三角形的判定定理回答即可．A．有一角对应相等，没有边的参与不能证明它们全等，故本选项不符合题意； B．一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项符合题意． C．两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； D．只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； 故选B． 3.如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（ ）． A． 60° B． 45° C． 22.5° D． 50° A B C D E 答案：B 解析： 故答案：B 4.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 分析：由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：A． 5.如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（ ） A．600 B．450 A C B E F C．300 D．不确定 答案： 解： 故选B． 6.定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是（　　） A． B． C． D． 分析：根据等腰三角形的定义画出图形即可判断． 解：A．是“奇妙三角形”，不合题意； B．是“奇妙三角形”，不合题意； C．不是“奇妙三角形”，符合题意； D．是“奇妙三角形”，不合题意； 故选：C． 二．填空题 7.三个内角的度数之比是，那么是_____三角形． 解;根据比例设三角形的三个内角的度数分别为k、k、2k，然后根据三角形的内角和等于180°列出方程求出k，再求出三个内角的度数，即可得解．解：∵三个内角的度数之比是， 设△ABC的三个内角的度数分别为k、k、2k， ∴k+k+2k=180°， 解得k=45°， ∴2k=2×45°=90°， 即三个内角的度数分别为45°，45°和90°， ∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角． 8.如图，在△ABC中，∠A＝100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠C=_____度． 解:设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，得出∠ADB=∠ABD=40°，∠C=∠DBC，根据三角形外角的性质即可求得∠C=20°．解：如图，设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形， ∵∠A＝100°， ∴∠ADB＝∠ABD＝40°， ∵CD＝BD， ∴∠C＝∠DBC， ∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝2∠C， ∴2∠C＝40°， ∴∠C＝20°，故答案为：20． 9.如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为__________． 解:延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．即可求出答案.解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC， ∴S△ADC=S△ABC， ∴； 故答案为：8. 10.如图，在三角形ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若BE+CF=9，则线段EF长为 分析：由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，即BE=DE，DF=FC，进而可求EF的长． 解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB， ∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB， ∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB， ∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC， 即BE=DE，DF=FC， EF=DE+DF=BE+FC=9． 11．如图，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为 分析：根据等腰三角形三线合一的性质推出∠BAD=∠CAD，证明，得到∠G=∠GEA，推出AG=AE，过点A作AH⊥GE于E，求出EH即可得到答案． 解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴， ∴∠G=∠CAD，∠GEA=∠BAD， ∴∠G=∠GEA， ∴AG=AE， 过点A作AH⊥GE于E，则AD=FH，GH=EH=EG＝1.5， ∴AD=EH+EF=1.5+2=3.5， 故AD的长为3.5 12．如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为D，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________． 分析：构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10． 解：延长AD.和CB交于点E. ∵AB平分∠DAC ∴∠EAB=∠CAB 又∵ ∴∠ABE=∠ABC 又∵AB=AB ∴ ∴BC=EB=5，∠E=∠ACB， 又∵ ∴∠ACB=∠CDE ∴∠E=∠CDE ∴.CD=CE 又∵CE=2BC=10 ∴CD=10 故答案为：10． 13．如图，在中，平分，，，则的长为 分析：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可． 解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE， ∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB， 而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB， ∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE， ∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11． 14.．如图，M是的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则的周长是 分析：可以延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为DB的中点，由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，根据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长． 解：如图，延长BN交AC于点D， ∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N， 在Rt△ANB和Rt△AND中， ∴Rt△ANB≌Rt△AND， ∴AD=AB=10，BN=DN， 即N为BD的中点， 又∵M是BC的中点 ∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+6+15=41， 故选：D． 15.如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有 个 分析：分三种情况，AP＝AC，CA＝CP，PA＝PC． 解：分三种情况：如图： 当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2， 当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4， 当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5， ∵直线l是边AB的垂直平分线， ∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形， ∴满足条件的点P的个数共有5个， 16．在ABC 中， AB AC ， BAC=100°，点 D 在 BC 上， ABD 和AFD 关于直线 AD 对称， FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当BAD _________.时，DFG为等腰三角形. 解：由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG=80°,当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论.∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=40°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ， ∴AF=AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG=∠CAG． 在△AGF和△AGC中， ， ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG=∠C． ∵∠DFG=∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°． 当GD=GF时， ∴∠GDF=∠GFD=80°． ∵∠ADG=40°+θ， ∴40°+80°+40°+θ+θ=180°， ∴θ=10°． 当DF=GF时， ∴∠FDG=∠FGD． ∵∠DFG=80°， ∴∠FDG=∠FGD=50°． ∴40°+50°+40°+2θ=180°， ∴θ=25°． 当DF=DG时， ∴∠DFG=∠DGF=80°， ∴∠GDF=20°， ∴40°+20°+40°+2θ=180°， ∴θ=40°． ∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形 17.如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形． 分析：利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 解：证明：过点D作DG∥AE于点G， ∵DG∥AC ∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中 ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴DG＝CE 又∵BD＝CE， ∴BD＝DG， ∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 18.如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB． （1）求∠BPC的度数； （2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形． 分析：（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，根据角平分线定义得出∠ABE＝∠CBEABC，，求出∠CBE+∠BCF∠ABCACB＝60°，再根据三角形内角和定理求出答案即可； （2）在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，根据全等三角形的判定得出△FBP≌△QBP，根据全等三角形的性质得出FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，求出∠CEP＝∠CQP，根据全等三角形的判定得出△CQP≌△CEP，根据全等三角形的性质得出EF＝QP，求出FP＝EP即可． （1）解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABE＝∠CBEABC，， ∴∠CBE+∠BCF∠ABCACB60°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°； （2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ， 在△FBP和△QBP中， ， ∴△FBP≌△QBP（SAS）， ∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP， ∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°， ∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°， ∴∠BFP+∠CEP＝180°， ∵∠CQP+∠BQP＝180°， ∴∠CEP＝∠CQP， 在△CQP和△CEP中， ， ∴△CQP≌△CEP（AAS）， ∴EF＝QP， ∵FP＝EP， ∴△EFP是等腰三角形． 19.如图，在四边形中， ，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：≌． （2）连接，判断与的位置关系并说明理由． 分析：（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE； （2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直． 解：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠BFE， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）； （2）EG⊥DF， 理由如下：连接EG， ∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE， ∴∠GDF＝∠BFE， ∴DG＝FG， 由（1）得：△ADE≌△BFE ∴DE＝FE， 即GE为DF上的中线， 又∵DG＝FG， ∴EG⊥DF． 20.．在等腰中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作等腰，使，，连结． （1）如图1，当点在线段上时，如果，则_______°． （2）设． ①如图2，当点在线段上移动时，之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点在直线上移动时，之间有怎样的数量关系？请你直接写出你的结论． 分析： （1）先用等式的性质得出∠CAN=∠BAM，进而得出△ABM≌△ACN，有∠B=∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论（2）①由（1）的结论即可得出α+β=180°；②同（1）的方法即可得出结论．（1）， 在△ABM和△ACN中 ∴ （2）①解：之间的数量关系是 理由： （已知） （等式性质） 即 在和中 （全等三角形对应角相等） （三角形的内角和为180°） （等量代换） （等量代换） ②结论： 1)当点（不与重合）在射线上时， 同（1）的方法可得 ， 之间的数量关系是 2）当点（不与重合）在射线的反向延长线上时， 同（1）的方法可得 ， 之间的数量关系是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $