18.1等腰三角形的性质 同步练习 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 本练习围绕等腰三角形性质，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖从基础计算到综合证明的梯度，强化几何直观与推理能力，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质应用（角度、边长计算）|如选择1-5直接考查等边对等角，巩固概念理解| |中档|性质综合应用（分类讨论、多步推理）|如填空8-10需分类讨论腰高位置，培养运算能力| |综合|性质与全等/旋转结合（证明与探究）|如解答23-24结合全等与旋转，发展逻辑推理与创新意识|

18.1等腰三角形的性质同步练习沪教版七年级数学下册 （考查范围：18.1等腰三角形的性质） 1.如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（ ） A．30°或120° B．120°或20° C．30°或20° D．以上都不正确 2.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD=BD，如果∠DBC=15°，那么∠A=（ ） A．75° B．37.5° C．60° D．以上都不对 A B C D （第2题） （第6题） 3.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米则它的腰长为（ ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 4.等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（ ） A．160° B．140° C．135° D．145° 6.如图，在△ABC中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，都是等腰三角形；②；③△ADE的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 7.如图，，点D在上，且，则的度数为 ．A B C D E （第7题） （第10题） 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______； 9.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________． 10.已知如图：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么∠A的度数为________． 11.如图，在△ABC 中，，点D 在边上，，则 ．    （第11题） （第13题） （第15题） 12.等腰三角形的周长为30cm若腰长为xcm，则x的取值范围是____________cm； 13.如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN， ∠MAC的度数是____________． 14.在中，，是边上的高，，则的度数为 ． 15.如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有 个 16.若等腰三角形的周长为20cm，那么底边x的取值范围是______． 17.等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有__________条（重合的算一条）． 18.在中，如果，，将绕点旋转，使点落在直线上点处，点落在点处，那么______. 三、解答题 19.已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数. 20. （1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？ （2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？ 21．如图，在中，，点在上，且，求的度数. 22.如图，点、在上，已知，，说明的理由． 23.如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形，并说明理由． 24.如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 18.1等腰三角形的性质同步练习沪教版七年级数学下册（答案） （考查范围：18.1等腰三角形的性质） 1.如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（ ） A．30°或120° B．120°或20° C．30°或20° D．以上都不正确 解：当三个角度数比为时，顶角为；当三个角度数比为时，顶角为． 答案：B． 2.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD=BD，如果∠DBC=15°，那么∠A （ ） A．75° B．37.5° C．60° D．以上都不对 解：．A B C D 答案：B． 3.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2 厘米，则它的腰长为（ ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 解析：当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米． 答案：C． 4.等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是（   ） A． B． C．或 D．或 分析：本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质，熟练等腰三角形的性质是解题关键．先分顶角为和底角为两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 解：当它的顶角为时， 它的底角度数为：； 当它的底角为时， 它的底角度数为：； ∴它的底角度数是或． 故选：C． 5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（ ） A．160° B．140° C．135° D．145° 解：和的外角为．答案：C 6.如图，在△ABC中、、的平分线相交于，过作，交于，交于，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，都是等腰三角形；②；③△ADE的周长等于；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分析：本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 解：∵是、的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，故结论①正确； ∴，， ∴，故结论②正确； ∴△ADE的周长等于，故结论③错误； ∵与的数量关系不确定，无法判定与相等， ∴，不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B． 二．填空题 7.如图，，点D在上，且，则的度数为 ． 分析：设，根据等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，根据可得，根据可得，最后利用三角形内角和定理可得，由此可解． 解：设， ， ， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， 在△ABC中，， 即， 解得， 即． 故答案为：． 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______； 当三角形为锐角三角形时，顶角为，当三角形为钝角三角形时，顶角为； 答案：或； 9.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________． 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，所以底角为，所以顶角为． 答案：． 10.已知：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么∠A的度数为________．A B C D E 答案：． 解：∵AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC， ∴、、、都是等腰三角形， 设，则，， ∴，∴，∴． 11.如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    分析：本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 12.等腰三角形的周长为30cm若腰长为xcm，则x的取值范围是____________cm； 答案：解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．； 13.如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________． 答案：． 解：设，∠CAN ∵AB=BC，∴． ∵MN=AN，∴． ∵，∠BAM=∠CAN， ∴，， ∴，∴， ∴． 14.在中，，是边上的高，，则的度数为 ． 答案：或 分析：①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案． 解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，    ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴，    ∵， ∴． 故答案为：或． 15.如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有 个。 答案：4 解：如下图， 作垂直平分线与相交于点P，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得， 综上：共有4个。 16.若等腰三角形的周长为20cm，那么底边x的取值范围是______． 答案: 分析:设等腰三角形的腰长为a，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行求解即可． 解：设等腰三角形的腰长为a，根据题意得： ， 根据三角形的三边关系得： ，解得， ； 故答案为． 17.等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有__________条（重合的算一条）． 分析：根据等腰三角形底边上三线合一的性质进行分析即可. 解：等腰三角形的角平分线，中线、高彼此重合的只计一条，即底边上的高、中线、角平分线只计一条，因此总条数最多有7条，故答案为7 18.在中，如果，，将绕点旋转，使点落在直线上点处，点落在点处，那么______. 分析：进行分情况讨论：①逆时针旋转，连接，先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转性质得出，，最后根据三角形的外角定理即可求解；②顺时针旋转，连接，由①可知的度数，再根据旋转性质得出，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解. 解：①第一种情况逆时针旋转： 连接如图1所示： ∵中，，， ∴， 由旋转性质知：， ∴ ∴； ②第二种情况顺时针旋转： 连接如图2所示： ∵中，，， ∴ 由旋转性质知：，， ∴； 综上所述：或. 故填：或. 三、解答题 19.已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数. 分析：设∠EBD＝a，根据等边对等角得出∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC，根据三角形外角性质求出∠A＝∠AED＝2a，∠C＝∠CDB＝∠ABC＝3a，根据三角形内角和定理得出2a＋3a＋3a＝180°，求出a即可． 解：设∠EBD＝a，∵AD＝DE＝BE，BD＝BC，AC＝AB， ∴∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB＝a，∠C＝∠BDC， ∵∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2∠EBD，∴∠A＝2∠EBD＝2a， ∵∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3∠EBD＝3a，∴∠C＝3∠EBD＝3a， ∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∴2a＋3a＋3a＝180°，∴a＝22.5° ∴∠A＝2a＝45°． 20.（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm，则周长为多少？ （2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm，则周长为多少？ 分析：（1）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解； （2）根据等腰三角形的特点与三角形的三边关系求出第三条边，故可求解． 解：（1）已知等腰三角形的两边长分别为9cm和15cm， 那么三边的长可能是9cm、9cm、15cm或9cm、15cm、15cm。 故其周长是9+9+15=33cm或9+15+15=39cm； （2）已知等腰三角形的两边长分别为6cm和15cm， 那么三边的长可能是6cm、6cm、15cm或6cm、15cm、15cm． 其中6cm、6cm、15cm不能组成一个三角形， 故其周长是6+15+15=36cm． 21．如图，在中，，点在上，且，求的度数. 分析：根据等边对等角可得∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC， 在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°. 22.如图，点、在上，已知，，说明的理由． 分析：由等腰三角形的性质得到，再根据邻补角的性质可推出，根据AAS可判定，由全等三角形的性质即可证得结论． 解：∵，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴（AAS）．∴． 23.如图，已知线段上有点D，E，且．在线段外侧取点A，使．连结，，，． (1)求证：． (2)若，，求出图中除与外所有的等腰三角形，并说明理由． 分析：本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，求出，再证明，即可得证； （2）根据等腰三角形的定义结合三角形内角和定理计算即可得解． （1）解：∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：，，，． 如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 分析： （1）由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理可得出答案； （2）过点作于点，过点作于点，证明，得出，，则，，再由等腰直角三角形的性质可得出结论． （1）解： ，， ， ， ， 又， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点， ， 又， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $