第8讲 三角形的内角和 精讲提升培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦三角形内角和定理（180°）及外角性质（外角等于不相邻两内角和、外角和360°），构建从内角到外角的知识脉络，为角度计算与证明提供系统学习支架。 资料亮点在于真题精讲（含32道典型题）与创新题型（如“特征三角形”“奇妙互余三角形”），通过问题设计培养抽象能力和推理意识。随堂与课后练习分层巩固，助力教师授课和学生查漏补缺，提升应用意识。

第8讲 三角形的内角和 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.2 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 知识点一 三角形的内角和 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点： 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点一 三角形的外角 1． 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点： （1）外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 一．三角形内角和（共17小题） 1．在下列条件中：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A﹣∠B＝30°；③AB2＝BC2+AC2；④AB：BC：AC＝5：12：13中，能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B∠C 3．在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．已知△ABC是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：2 6．下列说法正确的是（　　） A．若∠A+∠B＞∠C，则△ABC为锐角三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为锐角三角形 C．若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为锐角三角形 D．若∠A＜90°且∠B＜90°，则△ABC为锐角三角形 7．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ 　 　 °． 8．在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　 　 度． 9．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝　 　 ° 10．将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝　 　 ． 11．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　 　 ． 12．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 15．在△ABC的CA、BA的延长线上任取两点D、E，联结DE． （1）如图1，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F，求证：．（提示：可直接利用（1）的结论） 16．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系． 图2：　 　 ；图3：　 　 ． 17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE＝∠AED，∠BAC＝80°． （1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小； （2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小． 二．三角形的外角及其性质（共15小题） 18．如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 19．下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 21．下列说法正确的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有公共顶点的两个角是邻补角 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 22．下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段a、b、c满足a+b＞c，那么这三条线段a、b、c一定能组成三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 　 ． 24．如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　 　 °． 25．如图，已知△ABC，BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D＝62°，则∠A＝ 　 　 °． 26．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 27．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　 　 ． 28．将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝　 　 度． 29．如图，已知∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数． 30．如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠　 　 +∠　 　 （三角形的一个外角等于与它 　 　 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠　 　 （等式性质）， （完成以下说理过程） 31．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F在DG的延长线上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，说明∠1＝∠3的理由． 解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（ 　 　 ）， 所以∠1＝　 　 （ 　 　 ）， 因为∠AGF＝∠2+　 　 ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝　 　 （等式性质）． 所以∠1＝∠3（等量代换）． 32．（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数； （2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数； （3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数． 三．创新型题型及压轴题（共7小题） 33．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　 　 度． 34．阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： （1）填空： ①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　 ； ②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠C＝　 　 ； （2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由． （3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝42°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 35．上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　 　 ； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 36．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　 　 °，△AOB　 　 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”； （2）若∠BAC＝70°，则△AOC　 　 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数． 37．【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　 　 °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 38．如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 39．综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　 　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　 　 ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 1．一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　 　 三角形． 2．在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，那么∠A＝　 　 ． 3．如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　 　 ． 4．定义：若三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝58°，P是射线CB上一点，若△APB是“奇异互余三角形”，则∠APC＝　 　 ． 1．一副标准直角三角板（分别含30°、60°角与45°、45°角），如图所示叠放，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 2．在△ABC中，∠B﹣∠C＝60°，且∠B是∠C的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．满足下列条件的△ABC中，不可能是直角三角形的是（　　） A．∠A＝3∠C，∠B＝2∠C B．2∠A＝2∠B＝∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C 4．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个“燕尾形”．已知∠ADC＝105°，∠ABC＝63°，∠BAD＝22°，则∠BCD的度数为（　　） A．63° B．20° C．85° D．105° 5．如图，∠B，∠C的平分线相交于D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，那么下列结论中：①BE＝DE；②DF＝ED；③∠BDC＝90°∠A；④△AEF的周长＝AB+AC，其中正确的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　 　 度． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE，若∠1＝∠2，则△ADE是　 　 三角形． 8．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为48°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为　 　 ． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若∠B＝28°，则∠ADC＝ 　 　 °． 10．△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，求∠A、∠B、∠C的度数． 11．如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 12．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中 求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°． 证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （　 　 ）． ∠　 　 ＝∠　 　 （　 　 ）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠　 　 +∠　 　 ＝180°． 13．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝120°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（　 　 ） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（　 　 ）， ∴∠DAE＝　 　 ， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠　 　 ＝　 　 ， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（　 　 ），∠CBA＝40°， ∴∠C＝　 　 ． 14．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB．试说明AE⊥EF． 15．综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝50°，那么∠BPC＝ 　 　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数． 16．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　 　 °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 三角形的内角和 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.2 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 知识点一 三角形的内角和 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点： 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 知识点一 三角形的外角 1． 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点： （1）外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 一．三角形内角和（共17小题） 1．在下列条件中：①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A﹣∠B＝30°；③AB2＝BC2+AC2；④AB：BC：AC＝5：12：13中，能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】通过三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断每个条件是否能确定直角三角形即可． 【解答】解：①：由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可知，所以能确定△ABC是直角三角形； ②：∠A﹣∠B＝30°，缺少足够的条件，如当∠A＝70°，∠B＝40°时满足题意，此时∠C＝70°，△ABC不是直角三角形，所以不能确定△ABC是直角三角形； ③：由勾股定理的逆定理，满足a2+b2＝c2的三角形是直角三角形，所以能确定△ABC是直角三角形； ④：由AB：BC：AC＝5：12：13，可设AB＝5x，则BC＝12x，AC＝13x， ∵AB2+BC2＝（5x）2+（12x）2＝25x2+144x2＝169x2＝（13x）2＝AC2， ∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，所以能确定△ABC是直角三角形， 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题关键． 2．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B∠C 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出三角形的最大角，进而得出结论． 【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴最大角∠C＝3×30°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意； C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y， ∴y+2y+2y＝180°， 解得：y＝36°， ∴最大角∠B＝2×36°＝72°， ∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意； D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z， ∴z+z+2z＝180°， 解得：z＝45°， ∴最大角∠C＝2×45°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键． 3．在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【分析】由题意可得∠A＝90°+∠B，结合三角形的内角和为180°，则该三角形是钝角三角形． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B， ∵三角形的内角和为180°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°． 4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：7：5，三角形内角和是180°， ∴． ∴该三角形是直角三角形． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 5．已知△ABC是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：2 【分析】根据各选项中三个内角的比，结合三角形内角和定理，可求出最大内角的度数，取最大内角是90°的选项即可． 【解答】解：A．∵三个内角的比为1：1：1，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°60°，选项A不符合题意； B．∵三个内角的比为1：2：3，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°90°，选项B符合题意； C．∵三个内角的比为2：3：4，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°80°，选项C不符合题意； D．∵三个内角的比为1：2：2，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°72°，选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 6．下列说法正确的是（　　） A．若∠A+∠B＞∠C，则△ABC为锐角三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为锐角三角形 C．若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为锐角三角形 D．若∠A＜90°且∠B＜90°，则△ABC为锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【解答】解：A、当∠A＝20°，∠B＝100°，∠C＝60°时，满足∠A+∠B＞∠C，但△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴，，，则△ABC为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若∠A＝20°，∠B＝20°，满足∠A＜90°且∠B＜90°，则∠C＝140°，故△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ 　115　 °． 【分析】在△ABD中根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABO的度数，最后在△AOB中根据三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∵BE是角平分线， ∴∠ABO， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAD＝180°﹣25°﹣40°＝115°， 故答案为：115． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 8．在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　60　 度． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设∠A为X，然后根据三角形内角和为180°的等量关系求解即可． 【解答】解：设∠A为x． x+2x+3x＝180°⇒x＝30°． ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°． 故填60． 【点评】此类题关键是利用题目给出的等量关系列方程解答即可． 9．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝　131　 ° 【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC． 【解答】解：∵∠A＝82°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣82°＝98°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴（角平分线的性质）， ∴49° ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣49°＝131°， 故答案为：131． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 10．将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝　126°　 ． 【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°， ∴∠CEN＝180°﹣2×27°＝126°， 故答案为126°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换，平行线的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　45°或36°　 ． 【分析】先证明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E两种情形分别求解即可． 【解答】解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴当∠EAF＝4∠E时，，当∠F＝4∠E时，， ∵∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°， 故答案为：45°或36°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，角的和差计算等，读懂新定义n倍角三角形的意义并注意分类讨论是解决问题的基础和关键． 12．定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于　36°　 ． 【分析】由∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°，推导出∠DFE＝∠BDC，而∠DEF＝∠B，可证明∠EDC＝∠BCD，则DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，由∠ADC的平分线交AC于点E，得∠EDC＝∠ADE，则∠BCD＝∠B，由△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90°，得∠BDC＝3∠B，根据三角形内角和定理得∠B+∠B+3∠B＝180°，求得∠B＝36°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°， ∴∠DFE＝∠BDC， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠EDC＝180°﹣∠DFE﹣∠DEF＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝∠BCD， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADC的平分线交AC于点E， ∴∠EDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠B， ∵△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90° ∴∠BDC＝3∠B， ∵∠B+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴∠B+∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝36°， 故答案为：36°． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，推导出∠BCD＝∠B是解题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠ACB＝90°，由角平分线定义得到∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝45°，由三角形外角的性质得到∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）由平行线的性质，垂直的定义推出∠BCG＝90°，根据直角三角形的性质及角的和差即可推出∠ADC＝∠DCG． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）90°＝45°， ∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）证明：∵EG∥BC，CG⊥EG， ∴CG⊥BC， ∴∠BCG＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ADC+∠ACD＝∠DCG+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠DCG． 【点评】本题考查角平分线定义，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质推出∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°． 14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 【分析】先由垂线的定义得到∠ADE＝90°，再由三角形内角和定理得到∠DAE＝30°，则由角平分的定义可得∠CAB＝2∠CAE＝60°，据此由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝60°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠CAB＝2∠CAE＝2×30°＝60°， ∵∠CBA＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝80°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 15．在△ABC的CA、BA的延长线上任取两点D、E，联结DE． （1）如图1，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F，求证：．（提示：可直接利用（1）的结论） 【分析】（1）在△ABC和△ADE中，利用三角形内角和定理和对顶角的性质进行证明即可； （2）先根据（1）中所证的结论得到：∠DEA﹣∠ACB＝∠B﹣∠D，再角平分线的定义证明，然后在△DEH和△CHF中，利用三角形内角和定理和对顶角的性质进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝∠D+∠E+∠DAE＝180°，∠BAC＝∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠D+∠E； （2）由（1）可知：∠B+∠C＝∠D+∠E， ∴∠E﹣∠C＝∠B﹣∠D，即∠DEA﹣∠ACB＝∠B﹣∠D ∵∠AED和∠ACB的平分线交于点F， ∴， ∵∠DEH+∠D+∠DHE＝∠HCF+∠F+∠CHF＝180°，∠DHE＝∠CHF， ∴∠DEH+∠D＝∠HCF+∠F，即， ∴ ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的定义，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 16．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系． 图2：　∠2＝∠α+∠1+60°　 ；图3：　∠2＝∠1﹣∠α+60°　 ． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，两式相加，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【解答】解：（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B， ∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B， ∵∠DPE＝∠α＝50°， ∴∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°， 即∠1+∠2＝60°+α＝110°； （2）由图2得∠2＝∠α+∠1+60°，由图3得∠2＝∠1﹣∠α+60°，理由如下：如图2， 如图2，设AC，EP 交于点F， ∵∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝60°+∠1+∠α； 如图3，设AC，EP 交于点F， ∵∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝∠1﹣∠α+60°； 故答案为：图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，掌握三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE＝∠AED，∠BAC＝80°． （1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小； （2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠B＝∠C＝50°，再利用AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠CAD＝40°，接着在△ADE中，利用三角形内角和定理计算出∠ADE＝∠AED＝70°，然后利用三角形外角性质可计算出∠EDC的度数； （2）设∠EDC＝x，则∠BAD＝90°﹣x，先利用三角形外角性质得到∠AED＝x+50°，则∠ADE＝x+50°，再利用三角形内角和定理得到∠CAD＝80°﹣2x，则利用∠BAC＝80°得到90﹣x+80°﹣2x＝80°，然后求出x后计算80°﹣2x即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝80°． ∴∠B＝∠C（180°﹣80°）＝50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝40°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣40°）＝70°， ∵∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°； （2）设∠EDC＝x，则∠BAD＝90°﹣x， ∵∠AED＝∠EDC+∠C＝x+50°， ∴∠ADE＝∠AED＝x+50°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°， ∴∠CAD＝180°﹣2（x+50°）＝80°﹣2x， ∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC， ∴90﹣x+80°﹣2x＝80°， 解得x＝30°， ∴∠CAD＝80°﹣2×30°＝20°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了余角与补角． 二．三角形的外角及其性质（共15小题） 18．如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 【分析】由三角形的外角性质推出∠B+∠A＝∠ACD，得到∠A+∠A＝108°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠B+∠A＝∠ACD，∠B∠A， ∴∠A+∠A＝108°， ∴∠A＝72°． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是由三角形的外角性质推出∠B+∠A＝∠ACD． 19．下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线OC在∠AOB外部，则∠AOC＝100°，若射线OC在∠AOB内部，则∠AOC＝40°，所以∠AOC＝100°或40°，故⑤不符合题意． ∴正确的个数为1个． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法． 20．如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故A不符合题意； ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC， ∴2∠DBC+2∠BDC＝∠BAC+2∠DBC， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴∠BDC∠BAC， 故B不符合题意；C符合题意； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90°， 即∠ADC∠ABC＝90°， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 21．下列说法正确的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有公共顶点的两个角是邻补角 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【分析】由三角形外角的性质，垂线段最短，内错角的定义，邻补角的定义，即可判断． 【解答】解：A、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故A不符合题意； B、有公共顶点的两个角不一定是邻补角，故B不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等，故C不符合题意； D、说法正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形外角的性质，垂线段最短，内错角，邻补角，掌握以上知识点是解题的关键． 22．下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段a、b、c满足a+b＞c，那么这三条线段a、b、c一定能组成三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的外角性质、三角形的分类、三角形的三边关系、三角形内角和定理判断即可． 【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补；故①不合题意； ②对顶角相等，故②合题意； ③、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故③不合题意； ④、若三条线段a、b、c，满足a+b＞c，a﹣b＜c，则此三条线段一定能组成三角形，故④不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形的分类、三角形的三边关系、三角形内角和定理，掌握相关的概念和性质定理是解题的关键． 23．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　90°　 ． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°． 24．如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　75　 °． 【分析】由直角三角形的性质求出∠CBD＝30°，由对顶角的性质得到∠ABE＝∠CBD＝30°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ACF＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABE＝∠CBD＝30°， ∴∠α＝∠A+∠ABE＝45°+30°＝75°． 故答案为：75． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 25．如图，已知△ABC，BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D＝62°，则∠A＝ 　56　 °． 【分析】由角平分线定义得到∠CBD∠CBE，∠BCD∠BCF，由三角形的外角性质得到∠CBE+∠BCF＝180°+∠A，因此∠CBD+∠BCD＝90°∠A，由三角形内角和定理得到∠D＝90°∠A，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BD与CD分别是∠EBC和∠ECF的角平分线， ∴∠CBD∠CBE，∠BCD∠BCF， ∴∠CBD+∠BCD（∠CBE+∠BCF）， ∵∠CBE＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC， ∴∠CBE+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∴∠CBD+∠BCD＝90°∠A， ∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝90°∠A， ∵∠D＝62°， ∴∠A＝56°． 故答案为：56． 【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是由以上知识点推出∠D＝90°∠A． 26．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　19°　 ． 【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得，即可得解． 【解答】解：如图，延长PC交BD于点E，设AC与BP交于点F． ∵∠ABD、∠ACD的平分线交于点P， ∴根据角平分线的定义，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠A+∠1+∠AFB＝∠P+∠3+∠PFC，∠AFB＝∠PFC， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3① ∵∠5＝∠2+∠P，∠5＝∠4﹣∠D， ∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D② ①﹣②，得∠A﹣∠P＝∠P+∠D， ∴． ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴， 即∠P的度数为19°， 故答案为：19°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键． 27．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　15°　 ． 【分析】根据题意先得到∠EAD＝45°，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 28．将一副三角板如图所示放置（其中含30°角的三角板的一条较短直角边与另一块三角板的斜边放置在一直线上），那么图中∠1＝　105　 度． 【分析】根据三角形的外角定理，即可得出∠1的度数． 【解答】解：由题意可得，∠2＝60°，∠3＝45°， 由三角形外角定理， ∠1＝∠2+∠3＝60°+45°＝105°． 故答案为105． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中． 29．如图，已知∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数． 【分析】由三角形的外角性质推出得到∠DFE＝∠A+∠B+∠C＝115°． 【解答】解：∵∠DFE＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠C+∠A， ∴∠DFE＝∠A+∠B+∠C＝30°+45°+40°＝115°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 30．如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠B +∠C （三角形的一个外角等于与它 　不相邻　 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠C （等式性质）， （完成以下说理过程） 【分析】由角平分线的定义可得∠DAB＝2∠DAE，再由三角形的外角性质可得∠DAB＝2∠C，从而求得∠DAE＝∠C，即可判定AE∥BC． 【解答】解：∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， ∵∠DAB＝∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠DAB＝2∠C（等式性质）， ∴∠DAE＝∠C（等量代换）， ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：B；C；不相邻；C． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． 31．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F在DG的延长线上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，说明∠1＝∠3的理由． 解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）， 所以∠1＝　∠2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）， 因为∠AGF＝∠2+　∠DAG ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝　∠3　 （等式性质）． 所以∠1＝∠3（等量代换）． 【分析】先证明AB∥GD，得∠1＝∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AGF＝∠2+∠DAG，再根据∠AGF＝∠DAG+∠3，可得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3． 【解答】解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 因为∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝∠3（等式性质）， 所以∠1＝∠3（等量代换）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠DAG；∠3． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的外角性质，平行线的判定与性质定理是解题的关键． 32．（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数； （2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数； （3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数． 【分析】（1）利用三角形的外角的性质求出∠PAE即可解决问题． （2）利用三角形的内角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根据角平分线的定义求出∠BAC+∠BCA即可解决问题． （3）利用基本结论：∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AF，CE是高， ∴∠AFB＝∠AEC＝90°， ∵∠APC＝∠AEP+∠PAE， ∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°， ∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°． （2）如图2中， ∴∠APC＝100°， ∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°， ∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA， ∴∠BAC+∠BCA＝160°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°． （3）如图3中， ∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠B＝70°． 【点评】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三．创新型题型及压轴题（共7小题） 33．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　90或60　 度． 【分析】根据“特征角”的定义，结合直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：①“特征角”α为90°； ②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”， 由题意得，x+2x＝90°， 解得：x＝30°， 所以，“特征角”是60°， 综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°． 故答案为：90或60． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 34．阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： （1）填空： ①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　15°　 ； ②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠C＝　115°或130°　 ； （2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由． （3）在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝42°，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 【分析】（1）①根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B； ②根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B，再根据三角形内角和定理求出∠C即可； （2）根据直角三角形的性质证明∠ABC+∠A＝90°，再根据BD是△ABC的角平分线，证明∠ABC与∠ABD的数量关系，根据“奇妙互余三角形”的定义可得答案； （3）分两种情况讨论：当点P在线段BC上时和点P在线段CB的延长线上时，分别画出图形，根据“奇妙互余三角形”的定义求出答案即可． 【解答】解：（1）①∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°， ∴α，β只能是∠A和∠B， ∵2α+β＝90°，∠A＝60°， ∴2α+60°＝90°或2×60°+β＝90°， 解得：α＝15°，β＝﹣30（不合题意舍去）， ∴∠B＝15°， 故答案为：15°； ②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C＞90°， ∴α，β只能是∠A和∠B， ∵2α+β＝90°，∠A＝40°， ∴2α+40°＝90°或2×40°+β＝90°， 解得：α＝25°，β＝10°（不合题意舍去）， ∴∠B＝25°或10°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝115°或130°， 故答案为：115°或130°； （2）△ABD是“奇妙互余三角形”的理由如下： ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴2∠ABD+∠A＝90°， ∴△ABD是“奇妙互余三角形”； （3）如图，当点P在线段BC上时，此时∠APB＞90°， ∵△ABP是“奇妙互余三角形”， ∴2∠BAP+∠ABP＝90°或∠BAP+2∠ABP＝90°， 即2∠BAP+42°＝90°或∠BAP+2×42°＝90°， 解得：∠BAP＝24°或6°， ∴∠APC＝∠BAP+∠ABP＝66°或48°； 当点P在线段CB的延长线上时，∠APB＜90°，如图所示： ， 此时∠ABC＝∠BAP+∠APC＝42°， ∵△ABP是“奇妙互余三角形”， ∴2∠BAP+∠APB＝90°或∠BAP+2∠APB＝90°， 解得：∠BAP＝48°或﹣6°（不合题意舍去）， ∴∠APC＝∠ABC﹣∠BAP＝﹣6°（不符合题意舍去）； 综上可知：∠APC的度数为66°或48°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和互为余角的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义和正确识别图形，理解角与角之间的关系． 35．上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　（）°、（）°、103°、102°　 ； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 【分析】（1）依据题意，作∠ABC的平分线，交AC于点D，故∠ABD＝∠CBD＝∠C＝20°，∠ADB＝40°．则DB＝DC．进而可以计算得解； （2）依据题意，分①若△ACD与△ABC的内角相同，△BCD为等腰三角形和②若△BCD与△ABC的内角相同，△ACD为等腰三角形两种情形分析即可判断得解． （3）依据题意，分别进行设计画图可以得解． 【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝20°，∠ADB＝40°． ∴DB＝DC． ∴△DBC是等腰三角形． ∴∠BDC＝140°． （2）如图，①若△ACD与△ABC的内角相同，△BCD为等腰三角形，设∠ACD＝∠B＝x°， ∴∠ADC＝154°﹣x°，∠BDC＝26°+x°，∠BCD＝154°﹣2x． 显然，26≠26+x． 当x＝154﹣2x时，x，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝（）°； 当26+x＝154﹣2x时，x，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝（）°． ②若△BCD与△ABC的内角相同，△ACD为等腰三角形，设∠B＝x°，∠BCD＝26°， ∴∠ADC＝x°+26°，∠BDC＝154°+x°，∠ACD＝128°﹣x°． 显然，x≠26+x． 当26+x＝128﹣x时，x＝51，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝103°； 当26＝128﹣x时，x＝102，此时最大角∠B＝102°． 故答案为：（）°、（）°、103°、102°． （3）由题意，设计如下： 方案1：作∠ABC 的平分线，交AC于点M， 根据题意，得∠A＝60°，，∠C＝50°，∠AMB＝85°，∠BMC＝95°； 作∠DEN＝35°，交DF于点N， 根据题意，得∠D＝60°．∠DNE＝85°，∠NEF＝50°，∠F＝35°，∠ENF＝95°． 方案2：作∠ACQ＝15° 交AB于点Q， 根据题意，得∠A＝60°，∠AQC＝105°，∠BCQ＝35°，∠BQC＝75°，∠B＝70°； 作∠DEO＝15°，交DF于点O， 根据题意，得∠D＝60°，∠DOE＝105°，∠EOF＝75°，∠F＝35°，∠OEF＝70°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角是关键． 36．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）． （1）∠ABO的度数为　30　 °，△AOB　是　 ．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”； （2）若∠BAC＝70°，则△AOC　是　 （填“是”或“不是”）“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数． 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）求出∠OAC即可解决问题． （3）分三种情形分别求出即可． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠BAO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵90°＝3×30°， ∴△AOB是“灵动三角形”． 故答案为：30，是． （2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°， ∴∠OAC＝20°， ∵∠AOC＝60°＝3×20°， ∴△AOC是“灵动三角形”． 故答案为：是． （3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°； ②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°． ③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°． 综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 37．【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 【分析】（1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°． 故答案为：40； （2）由条件可知∠PBC+∠PCB＝90°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴∠ABC+∠ACB＝135°． ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°； （3）∵∠BPC＝x°． ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣x°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义是解题的关键． 38．如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　70　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 【分析】（1）求得∠ABD∠ABC＝25°，利用三角形外角的性质即可求得； （2）由题意可知∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，然后利用三角形内角和定理求得即可； （3）分两种情况，利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：（1）已知∠ABC＝75°， ∵BD是∠ABC的邻AB三分线， ∴∠ABD∠ABC＝25°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝45°， ∴∠BDC＝45°+25°＝70°， 故答案为：70； （2）在△ABC中，根据三角形内角和定理， ∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°， ∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）135°＝90°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣90°＝90°， （3）∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝m°+n°， 由于CP是∠ACD的邻AC三分线，有两种情况： 情况一：当BP是邻BC三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD 根据三角形外角性质，∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC 情况二：当BP是邻AB三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD， 根据三角形外角性质，∠BPC＝PCD﹣∠PCB， 综上，∠BPC的度数为 或． 【点评】本题以角的“三分线”为背景，对三角形内角和定理以及外角性质进行了深度考查，题目设置由浅入深．熟练掌握三角形内角以及外角性质是解题的关键． 39．综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　125°　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　∠Q＝90°∠A ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC 即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE 中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝4∠E＝90°；②∠EBQ＝4∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴∠CBQ+∠BCQ∠MBC∠BCN（∠MBC+∠BCN）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． 故答案为：∠Q＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ∠ABC∠MBC（∠ABC+∠A∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 1．一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　直角　 三角形． 【分析】设三个外角的度数分别为3x，4x，5x，得到3x+4x+5x＝360°，求出x＝30°，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状， 【解答】解：∵这个三角形三个外角的度数比为3：4：5， ∴设三个外角的度数分别为3x，4x，5x， ∴3x+4x+5x＝360°， ∴x＝30°， ∴三个外角的度数分别为90°，120°，150°， ∴与三个外角对应的三个内角分别为90°，60°，30°， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是360°． 2．在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，那么∠A＝　50°　 ． 【分析】由直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，而∠A﹣∠B＝10°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形的内角和是180度． 3．如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　125°　 ． 【分析】连接CP，根据三角形外角的性质可得∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠EPC+∠ECP，再根据∠DCP+∠ECP＝∠DCE＝65°，∠DPC+∠EPC＝∠DPE＝60°，即可求解． 【解答】解：连接CP， ∵∠1是△DPC的外角，∠2是△EPC的外角，∠DCE＝65°，∠DPE＝∠α＝60°， ∴∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠EPC+∠ECP， ∴∠DCP+∠ECP＝∠DCE＝65°，∠DPC+∠EPC＝∠DPE＝60°， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠EPC+∠ECP＝125°． 故答案为：125°． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4．定义：若三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝58°，P是射线CB上一点，若△APB是“奇异互余三角形”，则∠APC＝　74°或32°或26°　 ． 【分析】根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在CB延长线上，∠APB＝α，则∠BAP＝β，当点P在CB延长线上，∠APB＝β时，则∠BAP＝α，当点P在线段CB上时，∠BAP＝β，∠ABP＝α＝58°，分别求出结果即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝58°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝32°， 分三种情况讨论， 如图，当点P在线段CB上时，∠BAP＝β，∠ABP＝α＝58°， ∴， ∴此时∠APC＝∠ABP+∠BAP＝58°+16°＝74°； 如图，当点P在CB延长线上，∠APB＝α，则∠BAP＝β， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°， 即α+β+32°＝90°， ∴α+β＝58°①， ∵α+2β＝90°②， 由②﹣①，可得β＝32°， ∴∠APC＝α＝58°﹣β＝26°； 如图，当点P在CB延长线上，∠APB＝β时，则∠BAP＝α， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°，即α+β+32°＝90°， ∴α+β＝58°③， ∵α+2β＝90°④， ∴④﹣③得β＝32°， ∴∠APC＝β＝32°； 综上所述，∠APC的所有可能的度数为74°或32°或26°． 故答案为：74°或32°或26°． 【点评】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键． 1．一副标准直角三角板（分别含30°、60°角与45°、45°角），如图所示叠放，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【分析】由三角形外角可知∠α＝∠1+∠2＝30°+45°＝75°． 【解答】解：由三角形外角可得： ∠α＝∠1+∠2＝30°+45°＝75°， 故选：C． 【点评】本题考查三角形外角，掌握相关知识是解决问题的关键． 2．在△ABC中，∠B﹣∠C＝60°，且∠B是∠C的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【分析】由∠B﹣∠C＝60°且∠B是∠C的5倍，可求出∠C，∠B的度数，利用三角形内角和定理，可求出∠A的度数，进而可得出△ABC是直角三角形． 【解答】解：在△ABC中，∠B﹣∠C＝60°，且∠B是∠C的5倍， ∴∠C15°， ∴∠B＝5∠C＝5×15°＝75°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣15°＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 3．满足下列条件的△ABC中，不可能是直角三角形的是（　　） A．∠A＝3∠C，∠B＝2∠C B．2∠A＝2∠B＝∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C 【分析】根据各选项中三个内角度数间的关系，结合三角形内角和是180°，可求出最大内角的度数，取最大内角的度数不为90°的选项即可． 【解答】解：A．∵∠A＝3∠C，∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝180°÷6＝30°， ∴∠A＝3∠C＝3×30°＝90°，选项A不符合题意； B．∵2∠A＝2∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝180°÷2＝90°，选项B不符合题意； C．∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°，选项C不符合题意； D．∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A∠A＝180°， ∴∠A＝180°72°，选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 4．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个“燕尾形”．已知∠ADC＝105°，∠ABC＝63°，∠BAD＝22°，则∠BCD的度数为（　　） A．63° B．20° C．85° D．105° 【分析】连接BD，延长BD到E，根据三角形的外角的性质得出∠1＝∠A+∠ABD，∠2＝∠C+∠CBD，继而得出∠ADC＝∠1+∠2＝∠A+∠C+∠ABC，代入已知数据，即可求解． 【解答】解：连接BD，延长BD到E． 根据三角形的外角的性质可得： ∠1＝∠A+∠ABD，∠2＝∠C+∠CBD， ∴∠ADC＝∠1+∠2＝∠A+∠C+∠ABC， 由题意可得：∠BCD＝∠ADC﹣∠ABC﹣∠BAD＝105°﹣63°﹣22°＝20°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的内角和的性质，正确进行计算是解题关键． 5．如图，∠B，∠C的平分线相交于D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，那么下列结论中：①BE＝DE；②DF＝ED；③∠BDC＝90°∠A；④△AEF的周长＝AB+AC，其中正确的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点D，EF∥BC，易证得△BED和△CFD都是等腰三角形，继而可得EF＝BF+CF，又由△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+BE+CE+AF＝AB+AC；即可得△AEF的周长等于AB与AC的和． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB， ∵△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点D， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC， ∴BE＝ED，CF＝DF， 即△BDE和△CDF都是等腰三角形； 故①正确； ∵∠ABC不一定等于∠ACB， ∴∠FBC不一定等于∠FCB， ∴BF与CF不一定相等， ∴BD与CE不一定相等，故②错误． 在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点D， ∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°∠A；故③正确； ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC； 故④正确； 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 6．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　75　 度． 【分析】由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， 则3x+4x+5x＝180°， 整理得，12x＝180°， 解得x＝15°， ∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°， ∴△ABC中最大角的度数为75°， 故答案为：75． 【点评】此题考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE，若∠1＝∠2，则△ADE是　直角　 三角形． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠2+∠A＝90°，进而等量代换得到∠1+∠A＝90°，进一步推出∠ADE＝90°，由此可得结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠2+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠A＝90°（等量代换）， ∴∠ADE＝180°﹣（∠1+∠A）＝180°﹣90°＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 8．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为48°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为　48°或88°或96°　 ． 【分析】分∠β＝48°，∠α＝48°及∠α，∠β均不为48°三种情况考虑，根据“友好三角形”的定义及三角形内角和定理，即可求出这个“友好三角形”的“友好角α”的度数． 【解答】解：当∠β＝48°时，∠α＝2∠β＝96°， ∵48°+96°＝144°＜180°，符合题意， ∴∠α＝96°； 当∠α＝48°时，∠β∠α＝24°， ∵48°+24°＝72°＜180°，符合题意， ∴∠α＝48°； 当∠α，∠β均不为48°时，∠α+∠β+48°＝180°，∠β∠α， ∴∠α（180°﹣48°）＝88°． 综上所述，这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为48°或88°或96°． 故答案为：48°或88°或96°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若∠B＝28°，则∠ADC＝ 　59　 °． 【分析】先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝62°，再根据基本作图和角平分线的定义得到∠CAD＝31°，然后利用互余计算出∠ADC的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣28°＝62°， 由作法得AD平分∠BAC， ∴∠CAD∠BAC＝31°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝59°． 故答案为：59． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了基本作图和三角形的角平分线． 10．△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，求∠A、∠B、∠C的度数． 【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+10+2x+6x﹣17＝180， 解得x＝17， ∴3x+10＝3×17+10＝61，2x＝2×17＝34，6x﹣17＝6×17﹣17＝85， ∴∠A＝61°，∠B＝34°，∠C＝85°． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 11．如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 【分析】根据ED⊥BC可得∠DBE的度数，根据角平分线的性质求出∠CBA的度数，最后根据三角形内角和可求解． 【解答】解：∵ED⊥BC，∠DEB＝28°， ∴∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABE＝62°， ∴∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和和角平分线的性质，掌握以上性质是解题的关键． 12．古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中 求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°． 证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠　2　 ＝∠B （　两直线平行，同位角相等　 ）． ∠　1　 ＝∠A （　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠A +∠B ＝180°． 【分析】由CE∥AB，利用平行线的性质，可得出∠2＝∠B，∠1＝∠A，结合∠ACB+∠1+∠2＝180°，即可证出∠ACB+∠A+∠B＝180°． 【解答】证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）． ∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠A+∠B＝180°． 故答案为：2；B；两直线平行，同位角相等；1；A；两直线平行，内错角相等；A；B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB＝120°，∠CBA＝40°，求∠C的度数． 解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（　垂线的定义　 ） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（　三角形的外角性质　 ）， ∴∠DAE＝　30°　 ， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠DAE ＝　60°　 ， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（　三角形内角和定理　 ），∠CBA＝40°， ∴∠C＝　80°　 ． 【分析】由BD⊥AC，可得出∠ADB＝90°，利用三角形的外角性质，可求出∠DAE的度数，结合角平分线的定义，可求出∠DAB的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°（垂线的定义） ∵∠AEB＝120°，∠AEB＝∠ADB+∠DAE（三角形的外角性质）， ∴∠DAE＝30°， ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠DAB＝2∠DAE＝60°， ∵∠C+∠CAB+∠CBA＝180°（三角形内角和定理），∠CBA＝40°， ∴∠C＝80°． 故答案为：垂线的定义，三角形的外角性质，30°，DAE，60°，三角形内角和定理，80°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 14．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB．试说明AE⊥EF． 【分析】先根据平行线的性质和已知条件∠DCB＝∠DAB，即可证明AD∥BC，∠DAG＝∠AGB＝30°，再根据角平分线的定义，∠EAF＝30°可得结合三角形的内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵DC∥AB， 根据平行线的性质可得：∠DCB＝∠CBF， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠CBF＝∠DAB， ∴AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AGB＝30°， ∵∠EAF＝∠DAG30°， ∵∠AFE＝60°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴AE⊥EF． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键． 15．综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝50°，那么∠BPC＝ 　115°　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC 即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE 中，由于，求出，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝4∠E＝90°；②∠EBQ＝4∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 16．已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　45　 °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 【分析】（1）①由垂直的定义得∠AOB＝90°，结合∠BAO＝30°，可得∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝120°，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解；②设∠BAO＝α，则∠ABM＝90°+α，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，，进而得到∠DAF＝∠DAP+∠OAF＝90°，推出∠D+∠F＝90°，根据三角形外角性质可推出∠OBA＝2∠D，然后分两种情况讨论：①当∠DAF＝3∠D时，②当∠F＝3∠D时． 【解答】解：（1）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠AOB＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝90°+30°＝120°， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45； ②不变，∠ADB＝45°． ∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∵∠ABM是△ABO的外角，设∠BAO＝α， ∴∠ABM＝∠BAO+∠BOA＝90°+α， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴， ， ∴， ∴∠ADB的值不变，且∠ADB＝45°； （2）∵AI平分∠BAO，AF平分∠OAE，OD平分∠BOP， ∴，，， ∴， ∴在Rt△ADF中∠D+∠F＝90°， ∵∠DOP是△ADO的外角，∠BOP是△ABO的外角， ∴；∠OBA＝∠BOP﹣∠BAO， ∴，即∠OBA＝2∠D， ∵一个角是另一角的3倍， ∴由图可知，可分两种情况讨论： ①当∠DAF＝3∠D时， ∵∠DAF＝90°， ∴， ∴∠OBA＝2∠D＝60°； ②当∠F＝3∠D时， ∵∠D+∠F＝90°即4∠D＝90°， ∴∠D＝22.5°， ∴∠OBA＝2∠D＝45°； 综上所述，∠OBA等于60°或45°． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关的知识． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $