专题2.3 平行线的性质重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

本讲义聚焦平行线的性质这一核心知识点，系统梳理两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三个基础性质，通过8大题型从基础应用到综合探究逐步递进，搭配3大拓展训练形成完整学习支架。 资料特色在于融入生活情境（如五线谱、自行车结构）培养数学眼光，通过探究题和证明题发展推理意识，规范数学语言表述。课中例题与即时训练辅助教师教学，课后自我检测与拓展训练助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题2.3 平行线的性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 拓展题型一 综合平行线性质与判定探究并证明角的数量关系 拓展题型二 结合平行线性质与生活情境求解实际角度问题 拓展题型三 利用平行线判定与性质完成角度计算与证明 知识点一：两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示，，若，则的度数为 ． 知识点二：两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·全国·期中）如图，已知，与互为余角，， 度． 知识点三：两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆丰都·课后作业）如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 【例2】（24-25七年级下·福建龙岩·课后作业）如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若，则 ． 1．（24-25九年级下·河南安阳·月考）如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·一模）如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·课后作业）将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·课后作业）为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，，则 ． 1．（25-26七年级下·江苏淮安·课后作业）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京海淀·课后作业）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·课后作业）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起．若，则为多少度？ 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·宁夏银川·课后作业）如图，若，，则图中与互补的角有 个． 1．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·三模）如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把长方形沿EF对折后使两部分重合，若，则 ． 4．（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 4．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广东梅州·课后作业）已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为，则另一个角的度数为 ． 1．（25-26九年级上·云南楚雄·课后作业）如图，直线和被直线所截，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 1．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·课后作业）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·课后作业）如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26七年级下·江西宜春·课后作业）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 4．（25-26七年级下·广东茂名·课后作业）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， （ ）． （已知）， （ ）， （ ）． 1．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 4．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）    (1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数； (2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系； (3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：． 【拓展训练一 综合平行线性质与判定探究并证明角的数量关系】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·课后作业）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·陕西西安·课后作业）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 2．（24-25七年级下·吉林·课后作业）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 度． 4．（22-23七年级下·重庆潼南·期中）如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 【拓展训练二 结合平行线性质与生活情境求解实际角度问题】 【例1】（22-23七年级下·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·课后作业）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【拓展训练三 利用平行线判定与性质完成角度计算与证明】 【例1】（25-26七年级下·重庆南岸·课后作业）如图，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ． 1．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·课后作业）如图，已知，，，，则 ． 4．（22-23七年级下·北京西城·期中）已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·假期作业）如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西运城·课后作业）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川巴中·课后作业）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是 12．（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 13．（25-26七年级下·全国·周测）一副三角板按图①所示的方式摆放，把绕顶点顺时针旋转至图②，此时，则的度数为 ． 14．（23-24七年级下·河北邢台·月考）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 15．（25-26七年级下·全国·周测）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 16．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 17．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 18．（25-26七年级下·河北保定·课后作业）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 平行线的性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 两直线平行同位角相等 题型二 两直线平行内错角相等 题型三 两直线平行同旁内角互补 题型四 根据平行线的性质探究角的关系 题型五 根据平行线的性质求角的度数 题型六 平行线的性质在生活中的应用 题型七 根据平行线判定与性质求角度 题型八 根据平行线判定与性质证明 拓展题型一 综合平行线性质与判定探究并证明角的数量关系 拓展题型二 结合平行线性质与生活情境求解实际角度问题 拓展题型三 利用平行线判定与性质完成角度计算与证明 知识点一：两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，若，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，求出，再根据邻补角的定义列式计算即可得解． 【详解】解：如图 ，， ， ． 故选B． 2．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题的关键是识别两组平行线被截线所形成的同位角，通过等量代换求出的度数． 两次利用“两直线平行则同位角相等”即可求得结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 知识点二：两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·福建厦门·课后作业）如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（22-23七年级下·全国·期中）如图，已知，与互为余角，， 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义，平行线的性质，掌握余角的定义是解题的关键．由与互为余角，可求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：与互为余角，， ， ， ． 故答案为：． 知识点三：两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 2．（25-26七年级下·重庆丰都·课后作业）如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【经典例题一 两直线平行同位角相等】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·月考）下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线相交，对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线、对顶角，解决本题的关键是熟记相关性质，注意强调同一平面内．根据平行线的定义、性质以及对顶角相等，即可解答． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项说法错误，不符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项说法错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该选项说法错误，不符合题意； D、两直线相交，对顶角相等，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·福建龙岩·课后作业）如图，小言将一块直角三角板摆放在直尺上，若，则 ． 【答案】/58度 【分析】本题重点考查了平行线的性质，平角的计算．根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级下·河南安阳·月考）如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质．根据平行线的性质和直角三角形的性质进行判断即可 【详解】解： ，故选项正确； 由题意得：，故选项正确； 与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C． 2．（2025·陕西·一模）如图，已知，直线分别与交于点F、E，则与互补的角共有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的性质．由邻补角的定义可得，由平行线的性质得，进而可得出与互补的角共有4个． 【详解】解：如图，    由图可知，． ∵， ∴， ∴， ∴与互补的角共有4个． 故选D． 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·课后作业）将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质与邻补角的定义．根据题意得：，，由折叠的性质，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 由折叠的性质得， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 【经典例题二 两直线平行内错角相等】 【例1】（25-26九年级上·河北廊坊·课后作业）为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了仰角与俯角的概念、平行线的性质，熟练掌握仰角与俯角的定义及平行线的内错角相等是解题的关键．过点作水平线，过点作水平线，利用与平行的性质，结合内错角相等，即可得出从处观测处的俯角与从处观测处的仰角相等． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴从 处观测处的俯角为， 故选： 【例2】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，的度数，再由折叠的性质可得的度数，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等），， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏淮安·课后作业）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26七年级下·北京海淀·课后作业）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据邻补角的定义得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·课后作业）如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起．若，则为多少度？ 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 先通过平行线的性质得到内错角，再利用角度和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 两直线平行同旁内角互补】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质． 根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵长方形彩带， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·宁夏银川·课后作业）如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 1．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 2．（2025·云南昆明·三模）如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解；∵， ， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把长方形沿EF对折后使两部分重合，若，则 ． 【答案】 【分析】如图，先求解再利用轴对称的含义求解 再利用平行线的性质可得答案. 【详解】解：如图， ，则 由对折可得： 长方形, 故答案为： 【点睛】本题考查的是长方形的性质，邻补角的定义，轴对称的含义，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键. 4．（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 【答案】已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，结合证明过程写出依据即可． 【详解】解：（已知） （对顶角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 【例1】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·课后作业）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线的性质，余角的概念，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 先根据，可得出，，再由平行线的性质可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：，， ，． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 故答案为：3． 4．（25-26七年级下·福建泉州·课后作业）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【经典例题五 根据平行线的性质求角的度数】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质．利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·广东梅州·课后作业）已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行，若其中一个角的度数为，则另一个角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是做题的关键．根据平行线的性质，两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行时，则这两个角相等或互补，因此分类讨论即可． 【详解】解：如图，，， 则，， 故另一个角的度数为或． 故答案为：或． 1．（25-26九年级上·云南楚雄·课后作业）如图，直线和被直线所截，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·课后作业）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由题意可得，由两直线平行，内错角相等得出，由对顶角相等可得，即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解． 【详解】解：等长的支架交于它们的中点E，， ， ， ， ， . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向铺设管道．由于某些原因，段不适宜铺设管道，需改变方向．从点沿北偏东方向继续铺设段，到达点又改变方向，从点继续铺设段．当的度数为多少时，所铺设的管道？此时与有怎样的位置关系？ 【答案】当时，所铺设的管道，此时 【分析】结论：利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：由题意，得， ． 若，则， ，即． 故当时，所铺设的管道，此时． 【点睛】本题考查平行线的判定，方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的应用】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 1．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级下·辽宁铁岭·课后作业）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下图所示的是一种躺椅的简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当，时，人躺着最舒服．求此时扶手AB与前支架OE的夹角和扶手AB与靠背DM的夹角的度数． 【答案】60°， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 由平行线的性质推出，由平角定义求出，由平行线的性质推出，由平角定义得到的度数． 【详解】解：由题意可知，，． ， ． ， ． ， ， ． 【经典例题七 根据平行线判定与性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·课后作业）如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·课后作业）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，在和中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握由内错角相等判定两直线平行，再利用平行线的同旁内角互补计算角度是解题的关键． 先由判定，再利用平行线的性质，结合的度数计算的度数． 【详解】解：∵， （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． ， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级下·江西宜春·课后作业）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·广东茂名·课后作业）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题八 根据平行线判定与性质证明】 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）填空： 如图，已知，则可推得．理由如下： （已知）， （ ）． （已知）， （ ）， （ ）． 【答案】 D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，根据题干思路解答即可． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；D；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 1．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，无法得出，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 4．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，已知直线，线段在直线a上运动，C为直线b上一定点，D为直线a，b之间一定点，E为直线b上C点右侧一点．（本题中的角均为小于的角）    (1)当线段运动到图2位置时，若与互余，求的度数； (2)在线段在直线a上运动过程中，请直接写出，和之间的数量关系； (3)当线段运动到如图3所示的位置时，的平分线交直线a于点F，G为直线a上点A左侧一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）在左边作，可证得，求解即可； （2）分点D在右边和点D在左边两种情况讨论，然后根据（1）的思路可证得； （3）在左边作，利用（2）结论，再推理即可． 【详解】（1）在左边作，则    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与互余， ∴ （2）如图所示，当点D在右边时，在左边作，则    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点D在左边时，作 ∵ ∴， ∴， ∴； （3）在左边作，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和，掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【拓展训练一 综合平行线性质与判定探究并证明角的数量关系】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·课后作业）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线性质求角度，熟记平行线的性质是解决问题的关键． 由平行线的性质：同位角相等、同旁内角互补得到，，代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示：    由平行线的性质，可得，， ， 故选：D． 【例2】（22-23七年级下·陕西西安·课后作业）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 2．（24-25七年级下·吉林·课后作业）如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角． 由，可得，结合已知可得，由，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查平角的度数及平行线的性质．首先通过平角计算邻补角，再利用平行线的内错角相等，将已知角转化为与相关的角最终求和得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：． 4．（22-23七年级下·重庆潼南·期中）如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】（1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （3）过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； （3）点在第③部分时，过点向右作，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 【拓展训练二 结合平行线性质与生活情境求解实际角度问题】 【例1】（22-23七年级下·贵州遵义·月考）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·课后作业）梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2） ；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果； （2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可； （3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是：（秒） Q灯照射一次需要的时间是：（秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴, ， 如下图示，过点作， 则有 ∴， ， ∴， ∴； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与相遇，则如图2所示， 过点作， 则有 ∴， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与相遇，则如图3所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； 综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键． 【拓展训练三 利用平行线判定与性质完成角度计算与证明】 【例1】（25-26七年级下·重庆南岸·课后作业）如图，，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，则，根据平行线的性质可得到，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，直线， 过点A作于点B，与直线m相交于点C， 测得 ，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点A作，则，根据平行线的性质得到，由垂线的定义可得，据此求出的度数，进而求出的度数，则可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南周口·课后作业）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·课后作业）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，再证明，得到，进而根据角的和差关系即可求解，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·北京西城·期中）已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据是角平分线，可得得到，由根据，得到，则为等腰三角形，又因为为垂线，可得为角平分线，从而证得结论； （2）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，令，分别用表示出与，然后再代换即可找到它们之间的关系；当点在线段上时，在四边形中根据四边形内角和以及外角定理可以得到，然后再结合与之间的关系，通过代换可找到与的数量关系． 【详解】（1）证明：    ∵， ∴， 又∵为角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （2）解：如下图，当在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 由：， ∴， 当点在线段上时，    由图一可知，①， 即：②， ， 即：③， 由①②③可知： ④， 又∵， ∴， 有， ， 由④⑤可知 ， ， 即， 综上：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的性质是求解的关键． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·假期作业）如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行内错角相等推得即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 4．（24-25七年级下·山西运城·课后作业）如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质以及角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级下·广东深圳·课后作业）如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图 由题意，得 ，， ∴． 故选D． 6．（2025·浙江·二模）如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 7．（25-26七年级下·四川巴中·课后作业）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 8．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图所示，直线、所成的角跑到画板外面去了，如何量出这两条直线所成角的度数．下列几种方法：①在直线上任取一点，过点作直线的平行线，量出与直线所成锐角的度数即为；②在直线上任取一点，过点作直线的垂线交直线于点，量出与直线所成锐角的度数即为；③在画板上任取一点，过点分别作直线、的平行线，量出它们所成锐角的度数即为．可行的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理． 分别画出图形，再根据平行线的性质、三角形内角和定理，逐个判断即可． 【详解】解：①如图， ∵ ∴，故①正确； ②如图， ∵ ∴ ∴，故②错误； ③如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确． ∴正确的有①③， 故选：C． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即)，若则的度数是 【答案】/150度 【分析】本题主要考查平行线的性质定理，解答此题的关键是作辅助线；   过点B作，由题知，，可得到关系，从而得到与以及与的关系． 【详解】 解：如图，过点B作， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·周测）一副三角板按图①所示的方式摆放，把绕顶点顺时针旋转至图②，此时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的固定角度、平行线的性质、三角形外角的性质，掌握平行线内错角相等，三角形外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 先明确三角板的固定角度，利用的平行线性质得到内错角相等，再结合三角形外角性质或角度和差求出的度数． 【详解】解：∵三角板为等腰直角三角形， ∴ ∵三角板为含角的直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·河北邢台·月考）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 15．（25-26七年级下·全国·周测）如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定和光的反射原理可解此题． 【详解】解：要使反射光线，则． ， ． ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练应用平行线的判定． 16．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级下·山东青岛·课后作业）如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， （2）解：∵， ∴． 18．（25-26七年级下·河北保定·课后作业）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)①图见解析，；②存在，或或或或． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，几何图形中的角度计算，余角的性质．数形结合并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，则，然后作答即可； （2）①当时，作，则，根据，求解作答即可； ②由题意知，分四种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； ②存在，如图3，当时，； 如图4， 当时，， ； 如图5， 当时，； 如图6， 当时，， ； 如图7， 当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 20．（25-26七年级下·浙江湖州·课后作业）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，此时点A与点E重合． (1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时∠FAC的度数． (2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示． ①若边EF与边BC交于点G，试判断∠BGF﹣∠EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由； ②对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值． 【答案】(1)30° (2)①45°；②3，7.5，12 【分析】（1）根据 DEBC 得出：∠CED＝∠BCA，再根据∠FAD＝60°即可算出∠FAC 的度数； （2） ①过点G做直线HLMN， 由MNPQ得出HLPQ， 从而得∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC，故 ∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC，即 ∠BGF－∠EFN＝∠ABC故得出答案． ②根据题意知，该题分三种情况：DEBC或DEAB或DEAC，逐一建立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵DEBC ∴∠CED＝∠BCA＝90° ∴∠FAC＝∠CED－∠FAD＝90°－60°＝30° （2）解：①过点G做直线HLMN，则HLPQ． ∴∠HGF＝∠EFN，∠BGH＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠HGF＋∠BGH＝∠EFN＋∠ABC ∴∠BGF-∠EFN＝∠ABC＝45° ②共分三种情况： 情况1：DEBC时，10t＝30，t＝3 情况2：DEAB时，10t＝75，t＝7.5 情况3：DEAC时，10t＝120，t＝12 ∴t＝3，7.5，12 【点睛】本题考查了平行线性质的综合应用，熟练进行分类讨论是本题的解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $