专题2.1两条直线的位置关系重难点题型专训（8个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题2.1 两条直线的位置关系重难点题型专训 （8个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 立体图形中平行的棱 题型三 相交线 题型四 对顶角的定义 题型五 对顶角相等 题型六 求一个角的余角 题型七 求一个角的补角 题型八 与余角、补角有关的计算 题型九 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十 垂线的定义理解 题型十一 画垂线 题型十二 垂线段最短 题型十三 点到直线的距离 拓展题型一 相交线、对顶角与余补角综合计算 拓展题型二 与垂线有关的综合应用 拓展题型三 平面直线位置关系与角度计算综合拓展 知识点一：对顶角的概念 定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 知识点二：对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 2．（25-26七年级下·山西长治·课后作业）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点三：余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北衡水·课后作业）若与互补，与互余，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26七年级下·四川绵阳·课后作业）一个锐角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的大小为 ． 知识点四：垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）如图，直线相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 知识点五：垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 知识点六：垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 知识点七：垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 知识点八：点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 【经典例题二 立体图形中平行的棱】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有 条． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 2．（2025七年级下·全国·专题练习）一个三棱锥的棱中，互相平行的棱有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025七年级下·全国·专题练习）正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有 条． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【经典例题三 相交线】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 1．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 3．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 【经典例题四 对顶角的定义】 【例1】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 1．（22-23七年级下·陕西西安·月考）6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东佛山·月考）如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【经典例题五 对顶角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州贵阳·课后作业）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 3．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【经典例题六 求一个角的余角】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·课后作业）若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 1．（25-26七年级下·广西钦州·课后作业）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角α为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，此时的余角为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京东城·课后作业）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 【经典例题七 求一个角的补角】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·课后作业）若，则它的补角的度数是（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川巴中·课后作业）若一个角的大小为，则这个角的补角的大小为 ． 1．（25-26七年级下·广东汕头·课后作业）已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级下·福建泉州·课后作业）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． 【经典例题八 与余角、补角有关的计算】 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·课后作业）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）已知一副三角板按如图所示放置，若，则 ． 1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·课后作业）已知与互余，下列说法：①是锐角，也一定是锐角；②若，则；③若是的补角，是的补角，则；④若是的余角，是的补角，则．其中正确的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·课后作业）互补的两角中，一个角是另一个角的2倍，这两个角是（    ） A．30°，60° B．60°，120° C．45°，135° D．120°，240° 3．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）是的补角，是的余角，若，则的度数为 ． 4．（25-26六年级上·上海金山·课后作业）一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 【经典例题九 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例1】（25-26七年级下·河北保定·课后作业）下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【例2】（25-26七年级下·河南信阳·课后作业）将一副三角板的直角顶点重叠在一起，可以得到，最合理的理由是 ． 1．（23-24七年级下·河北沧州·课后作业）如图，将两个直角三角形的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 2．（2025七年级下·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 3．（25-26七年级下·山东滨州·月考）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为 ． 4． （25-26七年级下·山东枣庄·课后作业）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【经典例题十 垂线的定义理解】 【例1】（25-26七年级下·山西太原·课后作业）如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【例2】（25-26七年级下·福建福州·课后作业）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·甘肃天水·课后作业）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 4．（25-26七年级下·陕西西安·课后作业）如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【经典例题十一 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．（25-26七年级下·山西吕梁·课后作业）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【经典例题十二 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级下·四川宜宾·课后作业）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·课后作业）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·课后作业）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【经典例题十三 点到直线的距离】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【拓展训练一 相交线、对顶角与余补角综合计算】 【例1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知与互余，与互补，，则 ． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·山东潍坊·课后作业）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东滨州·课后作业）如图，若，则的余角是 ． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【拓展训练二与垂线有关的综合应用 】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【例2】（23-24七年级下·吉林·课后作业）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【拓展训练三 平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·课后作业）已知，与互余，与互补，则 ． 1．（25-26七年级下·云南玉溪·课后作业）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角约为，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 4．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 1．（2022·黑龙江大庆·一模）下列说法正确的是（ ） ①若线段与没有交点，则 ②相等的角是对顶角 ③平行于同一条直线的两条直线平行 ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ⑤过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离 A．①③⑤ B．③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）已知与互为余角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 8．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．（25-26七年级下·云南昆明·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中，的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025七年级下·全国·专题练习）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 12．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 15．（24-25七年级下·湖南岳阳·课后作业）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 16．（22-23七年级下·安徽亳州·课后作业）如图，直线、和相交于点；      (1)分别写出，的对顶角； (2)如果，，求和的度数． 17．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图直线上有一点，，，平分． (1)写出的余角：___________． (2)写出的补角：___________． (3)若，求的度数． 18．（22-23七年级下·河南平顶山·课后作业）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 19．（25-26六年级上·吉林长春·课后作业）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3) 过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 20．（25-26七年级下·广东潮州·课后作业）如图，已知与互余，，．求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 两条直线的位置关系重难点题型专训 （8个知识点+13大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 立体图形中平行的棱 题型三 相交线 题型四 对顶角的定义 题型五 对顶角相等 题型六 求一个角的余角 题型七 求一个角的补角 题型八 与余角、补角有关的计算 题型九 同(等)角的余(补)角相等的应用 题型十 垂线的定义理解 题型十一 画垂线 题型十二 垂线段最短 题型十三 点到直线的距离 拓展题型一 相交线、对顶角与余补角综合计算 拓展题型二 与垂线有关的综合应用 拓展题型三 平面直线位置关系与角度计算综合拓展 知识点一：对顶角的概念 定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有 对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 知识点二：对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，李萧同学设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质可以通过测量易获取的角来得到不易直接测量的角是解题的关键． 观察与的位置关系，判断其为对顶角，根据对顶角的性质确定测量方案的依据． 【详解】解：∵与是对顶角，根据对顶角相等的性质， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 2．（25-26七年级下·山西长治·课后作业）如图，直线，相交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．由对顶角的性质得，进而可得出的度数． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 知识点三：余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北衡水·课后作业）若与互补，与互余，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的定义，根据互补角和为、互余角和为列出等式，再通过等式运算求出的值即可． 【详解】解：与互补 ① 与互余 ② ①②得： 化简得： 故选：C． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·课后作业）一个锐角的补角是这个角的余角的倍，则这个角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义．设角的度数为，则其补角为，余角为，根据锐角的补角是这个角的余角的倍，建立方程并求解即可． 【详解】解：设角的度数为，则其补角为，余角为， 这个锐角的补角是这个角的余角的倍， ， 解得， 故答案为：． 知识点四：垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）如图，直线相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义、对顶角相等，由垂线的定义可得，求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点五：垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川成都·课后作业）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 知识点六：垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 知识点七：垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：该女生获得满分但未加分， ， 选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又， 选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 知识点八：点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，，垂足分别是、，那么点到的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查 点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题的关键．根据点到直线的距离的定义，即可得到答案． 【详解】解：因为，垂足是， 所以点到线段的距离是线段的长度． 故答案为：． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 3．（24-25七年级下·江西景德镇·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了平行线在生活中的应用，熟练掌握平行线的应用是解题关键．用平行条纹设计一些图案即可得． 【详解】解：用平行条纹设计一些图案如下： ． 【经典例题二 立体图形中平行的棱】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查五棱柱的知识，熟记五棱柱的特征，是解决此类问题的关键； 五棱柱有五条侧棱，所有侧棱互相平行，因此对于任意一条侧棱，其余四条都与它平行． 【详解】∵ 五棱柱的侧棱均互相平行， ∴ 任取一条侧棱，与之平行的侧棱有4条（不包括自身）． 故选：B． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）将一个长方体完全浸入水中，与水面平行的棱最多有 条． 【答案】8 【分析】本题考查长方体的棱的分组特征，解题关键是明确与水面平行的棱为长方体上、下底面的所有棱． 长方体有12条棱，分为三组互相平行的棱，每组4条．当长方体放置使一个面与水面平行时，水平方向的棱最多． 【详解】长方体共有12条棱，分为3组，每组4条棱互相平行且长度相等，这3组棱分别对应长、宽、高三个方向． 要使与水面平行的棱最多，应使长方体的一个面与水面平行，此时，构成上、下底面的棱均与水面平行． 因为因为上底面有4条棱，下底面也有4条棱， 因此与水面平行的棱最多有条． 故答案为：8． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．根据长方体的性质，同一方向的棱互相平行． 【详解】解：∵在长方体中，方向相同的棱具有相同的空间取向，属于同一组平行棱， ∴方向相同的四条棱一定平行． 对于其他选项：A选项相交于同一顶点的三条棱互相垂直； B选项同一面上的四条棱由两组平行的对边组成，这两组对边不互相平行； C选项长度相等的棱可能来自不同方向（如长和宽相等但不平行），因此不一定平行． 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）一个三棱锥的棱中，互相平行的棱有（   ）对． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三棱锥的棱的位置关系，解题关键是掌握三棱锥的结构，明确其棱无平行关系； 三棱锥由4个三角形面围成，共有4个顶点、6条棱，且这6条棱分为3组相对的棱，所有棱要么相交，要么异面，但异面直线不平行． 【详解】解：∵ 三棱锥的任意两条棱要么相交，要么异面， ∵ 异面直线不平行， ∴ 三棱锥的棱中没有互相平行的棱对． 故选：A． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）正方体中，与某一条棱在同一平面的平行棱有 条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．正方体中每条棱属于两个面，在每个面中，存在一条对边与给定棱平行且共面，因此满足条件的棱有两条． 【详解】解：设给定棱为．在正方体中，棱同时属于两个面，例如面和面． 在面中，棱与平行且共面； 在面中，棱与平行且共面． 不存在其他棱与既平行又共面． 故答案为． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【经典例题三 相交线】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【例2】（2023七年级下·全国·专题练习）当两条不同的直线有 时，我们称这两条直线 ，这个点叫做它们的 ． 【答案】 公共点 相交 交点 【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键． 【详解】解：当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点， 故答案为：公共点，相交，交点． 1．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建厦门·课后作业）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 【答案】4个 【分析】根据直线相交的特点解答． 【详解】解：两条直线相交可以形成4个角． 【点睛】此题考查直线相交所形成的角，正确理解题意，有空间想象能力是解题的关键． 【经典例题四 对顶角的定义】 【例1】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 1．（22-23七年级下·陕西西安·月考）6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·月考）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 3．（25-26七年级下·广东佛山·月考）如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【经典例题五 对顶角相等】 【例1】（23-24七年级下·贵州贵阳·课后作业）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等，利用该性质结合角度和的条件求解角度是解题的关键． 利用对顶角相等的性质，结合已知角度和的条件，列等式求解． 【详解】解：∵和是对顶角 ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·吉林·月考）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：50． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 【经典例题六 求一个角的余角】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·课后作业）若，则的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义及度分的换算，利用余角定义（和为的两个角互为余角），用减去∠A的度数，结合进行计算即可． 【详解】解： ∵互为余角的两个角的和为， 又∵∠A=37°18′， ∴的余角， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·课后作业）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求余角． 根据图形，结合已知条件，由余角的定义进而得出的度数． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·广西钦州·课后作业）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角α为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，此时的余角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角， 根据互余的两个角的和为解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26七年级下·山西临汾·课后作业）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．某日太原市正午太阳光线与水平面的夹角为．若调整集热板角度，使光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查余角的性质，角度的实际应用，理解集热板与太阳光线垂直是解题关键． 根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 故选：． 3．（24-25七年级下·北京东城·课后作业）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·安徽宿州·月考）如图，直线与相交于点，射线在的内部，．当时，写出与互余的角，并说明理由． 【答案】是的余角，见解析 【分析】本题考查了对顶角的性质，余角的定义；由，，，则，进而求出其他角的大小即可找到的余角； 【详解】解：与互为余角，理由如下，                 ∵，， ∴， ∴， ∴， 即与互为余角． 【经典例题七 求一个角的补角】 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·课后作业）若，则它的补角的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的补角． 补角定义为两角之和为，直接计算减去已知角即可． 【详解】解：∵， ∴它的补角的度数是． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·四川巴中·课后作业）若一个角的大小为，则这个角的补角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角． 根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可得到补角的大小． 【详解】解：补角的大小为． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·广东汕头·课后作业）已知与互为补角，，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查补角和余角的概念，熟记定义是解题关键．根据补角定义求出，再根据余角定义求出的余角． 【详解】解：∵与互为补角，， ∴， ∴的余角． 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 3．（24-25七年级下·福建泉州·课后作业）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． 【答案】(1)余角：，补角： (2) 【分析】本题主要考查的是余角和补角的知识点，两个角互余，则两角相加为，两个角互补，则两角相加为． （1）根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角计算即可． （2）用减去计算即可． 【详解】（1）解：的余角； 的补角． （2）解：的余角的补角． 【经典例题八 与余角、补角有关的计算】 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·课后作业）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角与补角的定义，先依据余角的定义求出该角的度数，再根据补角的定义计算其补角的度数即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的补角的度数为． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）已知一副三角板按如图所示放置，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据同角的余角相等即可得出答案． 【详解】解：根据同角的余角相等得：． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·课后作业）已知与互余，下列说法：①是锐角，也一定是锐角；②若，则；③若是的补角，是的补角，则；④若是的余角，是的补角，则．其中正确的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查余角与补角的，掌握知识点是解题的关键． 根据互余和补角的定义，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ①∵且角度均为正，∴∠A和∠B均为锐角，该项正确； ②∵，又， ∴， ∴， ∴，该项正确； ③∵是的补角， ∴， ∵是的补角， ∴， ∴，该项错误 ④∵是的余角， ∴； ∵是的补角， ∴， ∴，该项正确． 综上，正确个数为3个． 故选C． 2．（25-26七年级下·湖北襄阳·课后作业）互补的两角中，一个角是另一个角的2倍，这两个角是（    ） A．30°，60° B．60°，120° C．45°，135° D．120°，240° 【答案】B 【分析】本题主要考查互补的定义（两角和为180°），掌握其定义是关键． 通过设未知数建立一元一次方程即可求解． 【详解】解：设较小的角为，则较大的角为， 又两角互补， ， 即， ， 则另一个角为， 故这两个角是60°和120°． 故选：B． 3．（25-26七年级下·浙江台州·课后作业）是的补角，是的余角，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角和余角的定义． 利用补角和余角的定义，建立方程求解的度数． 【详解】解：设的度数为x， 则，． 根据，得， 化简得， 移项得， 解得． 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海金山·课后作业）一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【分析】本题主要考查余角、补角的计算，一元一次方程的运用，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键．根据题意，设这个角的度数为，则这个角的余角度数为，这个角的补角度数为，根据数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，这个角的补角为， 则， 解得，． 答：这个角的度数为． 【经典例题九 同(等)角的余(补)角相等的应用】 【例1】（25-26七年级下·河北保定·课后作业）下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（   ） 已知：如图，直线，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A．“”表示平角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“⊕”表示对顶角相等 D．“⊕”表示同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，根据平角的定义和补角的性质解答即可． 【详解】解：因为，（平角的定义）， 所以（补角的性质）， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河南信阳·课后作业）将一副三角板的直角顶点重叠在一起，可以得到，最合理的理由是 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】本题主要考查了互余的定义，同角的余角相等， 先根据题意得，再根据可得答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴（同角的余角相等）． 故答案为：同角的余角相等． 1．（23-24七年级下·河北沧州·课后作业）如图，将两个直角三角形的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识，根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：由题意可知，， ，， （同角的余角相等）， 故选：A 2．（2025七年级下·四川南充·专题练习）已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 3．（25-26七年级下·山东滨州·月考）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山东枣庄·课后作业）把一副三角尺按照图①的方式放置，其中，边在的内部． 【问题探究】 （1）如果，那么______； （2）试判断与的关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）在图②中利用能够画直角的工具（如：三角尺）再画一个与相等的角． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查的是角的和差关系，互为余角的含义，三角尺特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解，即可解题； （2）根据同角的余角相等，即可解题； （3）根据同角的余角相等，以及三角尺特点作图，即可解题； 【详解】解：（1）因为，， 所以， 故答案为：； （2）； 理由如下： 因为，， 所以． （3）如图，过点，分别作，的垂线，，即为所求的角． 【经典例题十 垂线的定义理解】 【例1】（25-26七年级下·山西太原·课后作业）如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·课后作业）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·甘肃天水·课后作业）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点O，EF为经过点O的一条直线，那么与（    ） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质与对顶角相等，掌握互余是指两个角的和为是解题的关键．先根据得到直角，再利用对顶角相等的性质，找出与的角度和关系，从而判断二者的关系． 【详解】解：∵于点， ∴，即， ∵与是对顶角， ∴， ∴，即与互余． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 4．（25-26七年级下·陕西西安·课后作业）如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了对顶角的性质、垂直的定义、角的和差等知识．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十一 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·吉林长春·模拟预测）利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 1．（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，点P是直线外一点，下列是同学们利用直角三角板过点P画直线的垂线的示意图，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线，根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是①③； 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·课后作业）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 4．（25-26七年级下·吉林长春·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题： (1)过点画出线段的垂线，垂足为点； (2)画出线段的垂直平分线； (3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求； （2）取格点E，F，作直线即可； （3）取格点G，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． 理由：，， ， ， ． 【经典例题十二 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级下·四川宜宾·课后作业）数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·课后作业）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·课后作业）如图，点A为直线外一点，且于点C，，点P是直线上的动点，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查点到直线距离，垂线段最短，利用垂线段最短得到是解题的关键． 【详解】解：∵点为直线外一点，且于点， ∴， ∴线段长不可能是2， 故选A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 【经典例题十三 点到直线的距离】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【拓展训练一 相交线、对顶角与余补角综合计算】 【例1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知与互余，与互补，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余和互补的定义． 根据互余和互补的定义，先由与互余求出，再由与互补求出． 【详解】解；∵与互余， ∴； ∵与互补， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的有（   ） ①互为余角的两个角不可能相等；②一个角的补角一定小于这个角； ③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角； ⑤一个锐角的余角比这个角的补角小． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念，根据定义逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：① ∵ 两个角互余且相等，∴ 互为余角的两个角可能相等，故①错误； ② ∵角的补角为，∴ 补角不一定小于这个角，故②错误； ③ ∵ 同角的补角相等，∴ ③正确； ④ ∵ 互余的两角之和为，每个角必小于，∴ 都是锐角，故④正确； ⑤ 设锐角为，则余角为，补角为， ∵，∴ 余角比补角小，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤，共3个． 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东潍坊·课后作业）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，三角板中角度的计算，先求出的度数，再求出的度数即可，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·山东滨州·课后作业）如图，若，则的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，熟记概念并准确识图是解题的关键； 根据互余的两个角的和等于，互补的两个角的和等于，确定的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南洛阳·课后作业）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角，熟知度数之和为的两个角互为余角是解题的关键． （1）由余角的定义即可得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）由余角的定义得到，求得，由题意求得，由平角的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵与是对顶角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【拓展训练二与垂线有关的综合应用 】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·吉林·课后作业）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导． 3．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）如图，直线，相交于点，，垂足为． (1)图中的对顶角是（     ），的余角是（     ），的补角（     ）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；，；，； (2) 【分析】本题考查对顶角、余角、补角的定义以及垂直的性质，核心是理解对顶角相等、余角和为、补角和为，以及垂直的角为直角这些关键知识点． （1）对于对顶角，依据“有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角”来判断；对于余角，结合得到，从而找到与和为的角；对于补角，寻找与和为的邻补角或其对顶角． （2）先利用邻补角的和为求出的度数，再结合垂直得到的直角，用直角减去的度数即可得到的度数． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义，与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故的对顶角是； ， ，即， 又， 的余角是，； ，， 的补角是，； 故答案为：；，；，； （2）解：， ， ， ， ． 【拓展训练三 平面直线位置关系与角度计算综合拓展】 【例1】（25-26七年级下·江苏南通·课后作业）如图，一副三角板的两个直角顶点C，F叠放在一起，其中，三角板不动，三角板可绕点C旋转．小明发现：与一定互补；小丽发现：当时，一定垂直于．请对这两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的角度计算；小明：依据，即可得到；小丽：画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：小明： ， ∴ ， 是定值； 故小明正确． 小丽：当与有重合时，如图， 设，则． ， ∴， ∴， ∴， ， 此时，． 当与无重合时，如图， ∵， ∴， ， 解得：， 即， ∴， 此时， 不垂直于， 故小丽错误． 故选：A． 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·课后作业）已知，与互余，与互补，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与余角，补角有关的计算．根据互余和互补的定义，先求出和的大小，再进行分类讨论且作图，运用角的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴ ∵与互补， ∴， ∴， 当在的内部时，如图所示： ∴； 当在的外部时，如图所示： ∴， 综上：或， 故答案为：或． 1．（25-26七年级下·云南玉溪·课后作业）黄赤交角，是指地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，目前，这个角约为，黄赤交角的存在使得地球上有了四季变化．如图是黄赤交角的示意图，其中地轴与赤道面的夹角为，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的计算，掌握角度的相邻进制为60是解题的关键；用即可． 【详解】解：∵地轴与赤道面的夹角为， ∴， ∵， ∴ 故选A． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 3．（25-26七年级下·河南南阳·课后作业）以直线上一点为端点作射线，使，如图，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．且直角三角板在直线的上方．将直角三角板绕点顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，则此时的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义，可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【详解】解：可分两种情况，①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·河南郑州·课后作业）如图1，和都是直角． (1)如果，那么________； (2)找出图1中相等的锐角．如果，它们还会相等吗？请说明理由； (3)在图2中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．（请标出你所画的直角，并写出与相等的角） 【答案】(1) (2)；如果，它们还会相等，理由见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的概念、尺规作图，解题的关键是熟练掌握相关知识点的应用． （1）利用余角的定义可求得，从而可求解； （2）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （3）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）图1中． 如果，它们还会相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 如果，它们仍相等； （3）如图， 以为边画，再以为边画， 由同角的余角相等得． 1．（2022·黑龙江大庆·一模）下列说法正确的是（ ） ①若线段与没有交点，则 ②相等的角是对顶角 ③平行于同一条直线的两条直线平行 ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ⑤过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离 A．①③⑤ B．③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键． 根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：同一平面内，若线段与没有交点，则，故①说法错误； 由对顶角的性质知：对顶角相等，则相等的角一定不是对顶角，故②说法错误； 由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故③说法正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误； 过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法正确； 所以正确的说法有③⑤． 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的结构特征，解题关键是明确棱柱侧棱与底面边的平行且相等的特征． 根据棱柱的定义和性质，侧棱平行且相等，且两个底面对应边平行且相等，因此平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间（指对应边之间）． 【详解】解：∵ 在棱柱中，侧棱互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱存在于侧棱之间． ∵ 棱柱的两个底面平行且全等， ∴ 底面对应边互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱也存在于底面边之间（指对应边之间）． ∴ 平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间． 故选：C． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·课后作业）如图，直线与相交于点，于点．若，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，掌握好余角和对顶角的概念是解题关键． 由可得，，从而计算出，根据对顶角相等，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·课后作业）已知与互为余角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义和角度的度分换算，熟练掌握互余的两个角和为，以及度分之间60进制的换算规则是解题的关键．根据余角的定义，可知，将代入，通过角度的度分换算进行减法计算，即可求出的度数． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：C． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．通过设未知数建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据题意得：， 移项得：， 即， 解得， 故选A． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90，若，射线分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则图中共有6对角互为余角．其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，互余和互补，解题的关键是掌握以上定义． 根据角的和差以及互余，互补的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵，，且， ∴， 故①正确； ②由量角器可得，， 当射线经过刻度线165时，经过刻度线145， ∴，， 此时，， 与不互补， 故②错误； ③如图所示， 由②得，， ∴， ∵射线经过刻度线90， ∴，， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角， 故③正确； 综上，正确的选项有①③， 故选：C． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 8．（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：垂线段最短， 点P到直线l的距离小于4， 故选：D． 9．（25-26七年级下·云南昆明·课后作业）如图，将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中，的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，余角与补角的计算．根据不同摆放方式，逐项得出与的数量关系，即可判断． 【详解】解：中，，不能得出； 中，与为同一个角的余角，能得出； 中，与为等角的补角，能得出； 中，，不得出； 综上可知，的图形有2个， 故选：B． 10．（24-25七年级下·全国·周测）有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 12．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·江苏盐城·课后作业）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角． 由，得到，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖南岳阳·课后作业）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 16．（22-23七年级下·安徽亳州·课后作业）如图，直线、和相交于点；      (1)分别写出，的对顶角； (2)如果，，求和的度数． 【答案】(1)的对顶角是，的对顶角是 (2), 【分析】（1）根据对顶角的概念即可解答； （2）直接利用根据邻补角互补、对顶角相等可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角是，的对顶角是． （2）解：∵，， ∴，， ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直定义、邻补角、对顶角等知识点，掌握邻补角和对顶角的定义和性质是解答本题的关键． 17．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图直线上有一点，，，平分． (1)写出的余角：___________． (2)写出的补角：___________． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】 本题考查余角和补角的定义、平角的性质、余角的性质，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据垂线得到，即，根据得到，根据角平分线的性质得到，据此解答即可； （2）根据余角的性质得到，进而得到，据此解答即可； （3）根据题意可得，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， 的余角为，，， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 的补角为， 故答案为：； （3）解：， ， ， ． 18．（22-23七年级下·河南平顶山·课后作业）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【答案】(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【分析】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【详解】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    19．（25-26六年级上·吉林长春·课后作业）在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 20．（25-26七年级下·广东潮州·课后作业）如图，已知与互余，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，掌握互余角度的关系是解题的关键． 由与互余，先得出的度数，可求，，最后求出的度数即可． 【详解】解：依题意得，， 即， ∴， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $