数学一模提分卷01（河北专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIICJID] 11[AJ[B]ICIID] 4A][B]IC][D] 8[A][B][C][D] 12[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 13. 14. 15. 16. 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 4-201234 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 心泸6箭 D 士主《(m)是最古老的计重 时仪器，用人民投影的长 B M C 短变化，案测定节气。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) 【问题探究】(1)a=，b=· 【拓展提升】(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) E D A D 8 M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 37月 O1234 图3 图4 象 锈 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) C B B x 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 口 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【]【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D1 9.A1[B][C1[D1 2.[AJ[B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.A1[B1[C][D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 13. 14. 15 16 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 43-2-101234 DT 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 汝泸纸8端 士(gm)是最古老的 的 B M C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(9分) 【问题探究】(1)a=一，b=· 【拓展提升】(2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(9分) E D D B M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) 37 19 ò 01234x 图3 图4 图5 图6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) c D B主 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（    ） A． B． C． D． 5．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 7．陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（  ） A．9个 B．15个 C．24个 D．21个 8．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（   ） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 9．如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（    ） A． B． C． D． 10．若反比例函数的图象经过点，则下列说法①；② 函数图象经过点；③ 当时，随的增大而减小； ④ 当时，．中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 12．如图，在矩形中，，，点在边上，把沿直线翻折，点落在处．若使得为等腰三角形的点恰好有个，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．合并同类项： ． 14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 15．如图，有甲、乙两条数轴上分别有三点，已知点，所对应的数依次为，，点，，所对应的数依次为，，．当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，则点对应的数是 ．（用含的代数式表示） 16．如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为 米（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 20．（8分）本学期开学初，九年级一名体育老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐的测试（满分为7分），根据测试成绩制作了下面两个统计图．     根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得6分的学生有多少人？ (2)本次测试的平均分是多少分？中位数是多少？众数是多少？ (3)通过一段时间的训练，体育老师对50名女生的仰卧起坐进行第二次测试，测得成绩的最低分为5分，且得6分和7分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得6分、7分的学生各有多少人？ 21．（9分）【问题情境】如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b．已知关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b． 【问题探究】（1）______，______． 【拓展提升】（2）现有一辆长度不可伸缩的玩具小火车放置在数轴上（不移动时，左端点为C，右端点为D），将小火车沿数轴左右水平移动，当左端点移动到点D时，右端点所对应的数为b，当右端点移动到点C时，左端点所对应的数为a． ①求玩具小火车的长度； ②设移动过程中某一时刻左端点到点A的距离为m，右端点到点B的距离为n，当时，求左端点所表示的数． 22．（9分）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 23．（11分）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（    ） A． B． C． D． 5．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 7．陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（  ） A．9个 B．15个 C．24个 D．21个 8．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（   ） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 9．如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（    ） A． B． C． D． 10．若反比例函数的图象经过点，则下列说法①；② 函数图象经过点；③ 当时，随的增大而减小； ④ 当时，．中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 12．如图，在矩形中，，，点在边上，把沿直线翻折，点落在处．若使得为等腰三角形的点恰好有个，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．合并同类项： ． 14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 15．如图，有甲、乙两条数轴上分别有三点，已知点，所对应的数依次为，，点，，所对应的数依次为，，．当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，则点对应的数是 ．（用含的代数式表示） 16．如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为 米（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 20．（8分）本学期开学初，九年级一名体育老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐的测试（满分为7分），根据测试成绩制作了下面两个统计图．     根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得6分的学生有多少人？ (2)本次测试的平均分是多少分？中位数是多少？众数是多少？ (3)通过一段时间的训练，体育老师对50名女生的仰卧起坐进行第二次测试，测得成绩的最低分为5分，且得6分和7分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得6分、7分的学生各有多少人？ 21．（9分）【问题情境】如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b．已知关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b． 【问题探究】（1）______，______． 【拓展提升】（2）现有一辆长度不可伸缩的玩具小火车放置在数轴上（不移动时，左端点为C，右端点为D），将小火车沿数轴左右水平移动，当左端点移动到点D时，右端点所对应的数为b，当右端点移动到点C时，左端点所对应的数为a． ①求玩具小火车的长度； ②设移动过程中某一时刻左端点到点A的距离为m，右端点到点B的距离为n，当时，求左端点所表示的数． 22．（9分）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 23．（11分）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 试卷第4页，共26页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 【答案】C 【详解】解：由微信支付账单可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元， 正确的选项是． 故选：C． 2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图 由题意得，， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．盼盼在公园散步时看到了如图所示的石凳，则该石凳的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是从正面观察得到的主视图，不符合题意； B选项是从侧面观察得到的左视图，不符合题意； C选项中支撑腿的轮廓用实线表示，不符合俯视图的绘制规则，不符合题意； D选项中凳面为长方形，支撑腿的不可见轮廓用虚线表示，符合俯视图的要求，此选项符合题意． 故选：D． 5．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程 中，，，， ，． 点在平面直角坐标系中坐标为． 点 关于原点对称的点为， 点在平面直角坐标系中关于原点对称的点为． 故选：C． 7．陕西素有“天然药库”之美称．在一个不透明的箱子中装着分别印有中药“黄柏”和“杜仲”图案的小球共30个，这些小球除图案不同外其余均相同．将箱子中的小球搅匀后，随机摸出一个，记录小球上的图案，并将小球放回箱子中，通过多次摸球试验后发现，摸到印有中药“黄柏”图案的小球的频率稳定在0.3，估计箱子中印有中药“黄柏”图案的小球的个数为（  ） A．9个 B．15个 C．24个 D．21个 【答案】A 【详解】解：∵ 摸到“黄柏”的频率稳定在0.3， ∴估计摸到印有中药“黄柏”图案的小球的概率为0.3， 又∵ 总小球数为30， ∴估计箱子中印有中药“黄柏”的小球的个数为个， 故选：A． 8．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（   ） A．① B．② C．③ D．以上都有可能 【答案】B 【详解】解：原式 ∴原式的值为1 观察数轴可知1在范围②内； 故选：B ． 9．如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴和相似，故选项A不符合题意； B、∵，， ∴和相似，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴不能得出和相似，故选项C符合题意； D、∵，， ，即 ∴和相似，故选项D不符合题意． 故选：C． 10．若反比例函数的图象经过点，则下列说法①；② 函数图象经过点；③ 当时，随的增大而减小； ④ 当时，．中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴函数图象经过点； ∵， ∴双曲线过一，三象限， ∴当时，随的增大而减小； ∴ 当时，； 综上：四个选项均正确； 故选D． 11．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 12．如图，在矩形中，，，点在边上，把沿直线翻折，点落在处．若使得为等腰三角形的点恰好有个，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵沿直线翻折得到， ∴，， 当为等腰三角形且时，点落在对角线上， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 当为等腰三角形且时，点，，三点共线， ∴，即； 当时，落在上，仅1个满足； 当时，，能找到个不同的满足； 当时，点，，三点共线，仅1个满足； 当时，，能找到个不同的满足； 当时，两类不同，对应3个不同点； 当或时， 会重合或无法构成等腰三角形，点的个数为个； ∴使点恰好有个的的取值范围为． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．合并同类项： ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 【答案】24 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．如图，有甲、乙两条数轴上分别有三点，已知点，所对应的数依次为，，点，，所对应的数依次为，，．当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐，则点对应的数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：依题意． ∵点与点上下对齐时，点，恰好分别与点，上下对齐， ∴， ∴，即 解得：， ∴点对应的数是 故答案为：． 16．如图，斜坡部分的坡角为，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子长为米，则大树的高为 米（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，则， ∵太阳光与水平面的夹角为，斜坡部分的坡角为， ∴，， ∵米， ∴（米）， 设米，则， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴大树的高为． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得__________， 解不等式②得__________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为__________， 所以，原不等式组的整数解为__________． 【答案】，，数轴表示见解析，，、、0． 【详解】解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质，； (2)见解析；日影的长为米． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质） 在和中， ， ∴， 故答案为：角平分线的性质，； （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 在中，， ∴米， 由（）知米， ∴（米）， ∴日影的长为米． 20．（8分）本学期开学初，九年级一名体育老师对自己所教班级的50名女生进行了仰卧起坐的测试（满分为7分），根据测试成绩制作了下面两个统计图．     根据统计图解答下列问题： (1)本次测试的学生中，得6分的学生有多少人？ (2)本次测试的平均分是多少分？中位数是多少？众数是多少？ (3)通过一段时间的训练，体育老师对50名女生的仰卧起坐进行第二次测试，测得成绩的最低分为5分，且得6分和7分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得6分、7分的学生各有多少人？ 【答案】(1)25人 (2)本次测试的平均分是分，中位数是6分，众数是6分 (3)第二次测试中得6分的学生有15人，得7分的学生有30人 【详解】（1）解：（人）， 答：得6分的学生有25人． （2）解：得5分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得4分和得7分的学生人数都为10人， ∴本次测试的平均分（分）， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∴中位数（分）， 由统计图可知，得6分的学生人数最多， ∴众数是6分， ∴综上所述，本次测试的平均分是分，中位数是6分，众数是6分． （3）解：由题意得，第二次测试中得5分的人数为（人）， 设第二次测试中得6分的学生有人，则得7分的学生有人， 由题意得，， 解得：， 则， 答：第二次测试中得6分的学生有15人，得7分的学生有30人． 21．（9分）【问题情境】如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为a、b．已知关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b． 【问题探究】（1）______，______． 【拓展提升】（2）现有一辆长度不可伸缩的玩具小火车放置在数轴上（不移动时，左端点为C，右端点为D），将小火车沿数轴左右水平移动，当左端点移动到点D时，右端点所对应的数为b，当右端点移动到点C时，左端点所对应的数为a． ①求玩具小火车的长度； ②设移动过程中某一时刻左端点到点A的距离为m，右端点到点B的距离为n，当时，求左端点所表示的数． 【答案】（1）；9；（2）①4；②左端点C所表示的数是3或9 【详解】解：（1）∵关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b， ∴， 解得：； （2）①由（1）可知， 表示的数是表示的数是9， ， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为， ， ， ， 玩具小火车的长度为4． ②设左端点所表示的数为，则右端点表示的数为， ，， 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧， ∴， 当时，， 或 解得：或， 左端点C所表示的数是3或9． 22．（9分）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． (1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） (2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切； (3)在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】(1)(2)见解析(3)3 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切； （3）解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3． 23．（11分）【发现问题】 蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．    【提出问题】 在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系? 【分析问题】 同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据 第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 … 拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 … 然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．      为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数； (3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（） 【答案】(1)(2)8个(3)469个 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得： 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（2）知，， 将代入，得， 解得，，（不合题意，舍去） 所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具； （3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，    由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离， ∴， ∴ ∵的长为， ∵的周长为， ∴的直径，即， ∴， 设第一层有x个正六边形模具， ∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算， 所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为， ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取12； ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取13； 将代入，得，； 将代入得，， ∵， ∴最多可以放下469个正六边形模具 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)①当时，，当或时，；②或 【详解】（1）解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， ∴ 设直线的解析式为代入， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴ ∴的最大值为； （3）解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则； ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或． 试卷第4页，共26页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D D A C A B C D A B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13． 14．24 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【详解】解：①， ， ， ， ；（2分） ②， ， ， ；（4分） 在同一条数轴上表示不等式①②的解集如下： （5分） ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，，0．（7分） 18．（8分） 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质） 在和中， ， ∴， 故答案为：角平分线的性质，；（2分） （2）解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上；（6分） 在中，， ∴米， 由（）知米， ∴（米）， ∴日影的长为米．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：（人）， 答：得6分的学生有25人．（1分） （2）解：得5分的学生人数为（人）， 由统计图可知，得4分和得7分的学生人数都为10人， ∴本次测试的平均分（分）， 将50名女生测试的得分从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ∴中位数（分）， 由统计图可知，得6分的学生人数最多， ∴众数是6分， ∴综上所述，本次测试的平均分是分，中位数是6分，众数是6分．（5分） （3）解：由题意得，第二次测试中得5分的人数为（人）， 设第二次测试中得6分的学生有人，则得7分的学生有人， 由题意得，， 解得：， 则， 答：第二次测试中得6分的学生有15人，得7分的学生有30人．（8分） 21．（9分） 【详解】解：（1）∵关于m、n的多项式的次数是6，常数项是b， ∴， 解得：；（3分） （2）①由（1）可知， 表示的数是表示的数是9， ， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为， ， ， ， 玩具小火车的长度为4．（6分） ②设左端点所表示的数为，则右端点表示的数为， ，， 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧， ∴， 当时，， 或 解得：或， 左端点C所表示的数是3或9．（9分） 22．（9分） 【详解】（1）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：；（2分） （2）证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切；（4分） （3）解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3．（9分） 23．（11分） 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将点代入关系式，得： 解得， ∴y与x之间的函数关系式为；（3分） （2）解：由（2）知，， 将代入，得， 解得，，（不合题意，舍去） 所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；（5分） （3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，    由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离， ∴， ∴ ∵的长为， ∵的周长为， ∴的直径，即， ∴， 设第一层有x个正六边形模具， ∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算， 所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，（7分） ①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取12；（9分） ②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有， 解得，， ∵x为整数， ∴x最大取13； 将代入，得，； 将代入得，， ∵， ∴最多可以放下469个正六边形模具（11分） 24．（12分） 【详解】（1）解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为；（3分） （2）当时，， ∴ 设直线的解析式为代入， 解得： ∴直线的解析式为，（5分） 设，则 ∴ ∴ ∴的最大值为；（8分） （3）解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则；（10分） ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或．（12分） 试卷第4页，共26页 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $