5.3.2利用导数研究函数的极值（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.3 导数的应用 第五章 导数及其应用 5.3.2 利用导数研究函数的极值 学 习 目 标 1 2 3 借助函数图像，知道函数极值、极值点的概念. 了解函数驻点与极值点的关系，抽象出函数在某点处取到极值的必要条件和充分条件. 会用函数的导数研究某些函数的极值与极值点. 复习回顾 导数与函数的单调性 1 导数的大小与函数的变化 定理 在区间I上，若 f (x)>0，则函数y=f (x)在该区间严格增；若 f (x)<0，则函数y=f (x)在该区间严格减 . 导数的绝对值越大，函数图像就越“陡峭”，也就是函数值的变化速度越快. 判断函数y=f(x)的单调性的步骤： 1 复习回顾 1. 求函数f(x)的定义域，x∈ _______； 2. 对函数求导， f (x)=_______； 3. 求函数f(x)的驻点：令f (x)=0，解得x= _______； 4. 判断驻点两侧导数f '(x)的正负变化，得出f '(x)符号，及f (x)在定义域 内的单调性； 5. 下结论. 探究：观察函数y=f(x)在x=x1，x2，...，x6等点附近的函数的单调性变化有什么规律？这些点与附近的函数值有什么关系？ 2 探究新知 “山峰” “山谷” 在x=x1的函数值f(x1)比其附近其他点的函数值都大； 在x=x1的左侧f(x) ↑；右侧f(x) ↓ . 在x=x2的左侧f(x) ↓；右侧f(x) ↑ . 在x=x2的函数值f(x2)比其附近其他点的函数值都小. 函数y=f(x)在x=x1处取得极大值f(x1)，点x1称为函数y=f(x)的极大值点 . 3 新知讲授 函数y=f(x)在x=x2处取得极小值f(x2)，点x2称为函数y=f(x)的极小值点 . “山峰” “山谷” 极大值点：x1，x3，x5 极小值点：x2，x4，x6 3 新知讲授 极大值和极小值统称为极值，而极大值点和极小值点则统称为极值点 . 极大值：f(x1)，f(x3)，f(x5) 极小值：f(x2)，f(x4)，f(x6) 在导数存在的前提下，极值点一定是函数的驻点，函数曲线在该点的切线是水平的. 但反过来，我们却不能说一个函数的驻点一定是其极值点. 3 新知讲授 x y O 2 f ′(2)=0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 x y O f (x)x3 f ′(0)=0 f ′(x)>0 f ′(x)>0 f ′(x)=3x2 是驻点也是极值点 是驻点不是极值点 是极值点 是驻点 是极值点 是驻点 3 新知讲授 定理 设点x=x0是函数y=f(x)的驻点. (1)若在点x0的左侧附近有f ′(x)>0，而在的右侧附近有f ′(x)<0，则函数 y=f(x)在x0处取得极大值； (2)若在点x0的左侧附近有f ′(x)<0，而在的右侧附近有f ′(x)>0，则函数在处取得极小值. x y O x0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 极大值f(x0) x y O x0 f ′(x)<0 f ′(x)>0 极小值f(x0) 例6 已知 f (x)=－x2+6x－1，求函数 y=f (x) 的单调区间和极值. 解：对函数求导，得 f (x)=－2x+6， 令 f (x)=0 ，解得 x = 3 ， 从而 x = 3为函数y=f (x)的唯一驻点 . 把该驻点与其两侧的区间列表如下： 4 举例应用 x 3 f (x) x f (x) f (x) (－∞, 3) 3 (3, +∞) + 0 － ↑ 极大值8 ↓ 因此，函数 y=f (x) 在区间(－∞, 3)内严格增，在区间(3, +∞)内严格减. 在 x = 3处取得极大值f (3)=8 . 把驻点与驻点所划分的区间列表，可以简明清晰地呈现函数的增减情况和极值点 . 例7 求正弦函数 y=sinx 的单调区间和极值. 解：这是一个周期为2π的周期函数 . 记f (x)=sinx，得 f (x)=cosx . 令 f (x)=0 ，解得 x = ，k∈Z . 将不同驻点及其所划分出的区间在一个周期上的情况列表如下： 4 举例应用 x f (x) f (x) ( , ) ( , ) + 0 － ↑ 极大值1 ↓ 0 极小值1 0 极小值1 例7 求正弦函数 y=sinx 的单调区间和极值. 4 举例应用 x f (x) f (x) ( , ) ( , ) + 0 － ↑ 极大值1 ↓ 0 极小值1 0 极小值1 因此，对任意给定的k∈Z，正弦函数y=sinx在区间( , )内严格增，在区间( , )内严格减. 在 x = 处取得极小值－1，在 x = 处取得极大值1 . 例8 已知 f (x) = x3－x－1，求函数 y=f (x) 的单调区间和极值. 解：对函数求导，得 f (x)=x2－1. 令 f (x)=0 ，解得两个驻点x1 = －1，x2 = . 列表如下： 4 举例应用 x f (x) f (x) －1 (－1, 1) 1 0 － 0 极大值 ↓ 极小值 (－∞, －1) (1, +∞) + ↑ + ↑ x －1 f (x) 故函数y=f (x)的单调增区间为(－∞, －1)及(1, +∞), 单调减区间为(－1, 1). 在 x = －1处取得极大值f (－1)= ，在 x = 1处取得极小值f (1)= . 5 巩固练习 求余弦函数 y=cosx 的单调区间和极值. 1 解：这是一个周期为2π的周期函数 . 记f (x)=cosx，得 f (x)=－sinx . 令 f (x)=0 ，解得 x = ，k∈Z . 将不同驻点及其所划分出的区间在一个周期上的情况列表如下： x f (x) f (x) ( , ) ( ,) + 0 － ↑ 极大值1 ↓ 0 极小值1 0 极小值1 因此，对任意给定的k∈Z，余弦函数y=cosx在区间( , )内 严格增，在区间( , )内严格减. 在 x = 处取得极小值－1，在 x = 处取得极大值1 . 5 巩固练习 求余弦函数 y=cosx 的单调区间和极值. 1 x f (x) f (x) ( , ) ( ,) + 0 － ↑ 极大值1 ↓ 0 极小值1 0 极小值1 5 巩固练习 求函数 y=x3－3x 的单调区间和极值. 2 解：对函数求导，得 f (x)=3x2－3. 令 f (x)=0 ，解得两个驻点x1 = －1，x2 =1 . 列表如下： x f (x) f (x) －1 (－1, 1) 1 0 － 0 极大值 ↓ 极小值－2 (－∞, －1) (1, +∞) + ↑ + ↑ x －1 f (x) 故函数y=f (x)的单调增区间为(－∞, －1)及(1, +∞), 单调减区间为(－1, 1). 在 x = －1处取得极大值f (－1)= ，在 x = 1处取得极小值f (1)= －2 . 课堂小结 导数与函数的极值 素养方法 逻辑推理、数学运算、数学抽象. 6 定理 设点x=x0是函数y=f(x)的驻点. (1)若在点x0的左侧附近有f ′(x)>0，而在的右侧附近有f ′(x)<0，则函数 y=f(x)在x0处取得极大值； (2)若在点x0的左侧附近有f ′(x)<0，而在的右侧附近有f ′(x)>0，则函数在处取得极小值. 求函数y=f(x)的单调性及极值的步骤： 1. 求函数f(x)的定义域，x∈ _______； 2. 对函数求导， f (x)=_______； 3. 求函数f(x)的驻点：令f (x)=0，解得x= _______； 4. 列表写出驻点两侧导数f '(x)的正负变化，得出f '(x)符号，及f (x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值； 5. 下结论. 课堂小结 6 x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 极大值 ↓ 极小值 (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ 补充强化练 7 1．已知函数y=f(x)的导函数f (x)图象如图所示，则函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值点有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 补充强化练 7 2．已知函数f(x)=xlnx－x，则 f(x)（    ）. A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为－1 D．有极大值，且极大值点为－1 A 补充强化练 7 3．(多选)已知函数y=f(x)的导函数f (x)图象如图所示，则（ ） A．函数y=f(x)的图象在x=0处的切线斜率小于零 B．函数y=f(x)在区间(－2,2)上单调递增 C．当x=－2时，函数y=f(x)取得极值 D．当x=1时，函数y=f(x)取得极值 BC 补充强化练 7 4．已知f (x)是定义域为[－2,2]的函数f(x)的导函数，且函数g(x)=xf (x)的图象如图所示，则（    ） A．f(x)在[－2,0]上为增函数 B．f(x)在[0,1]上为减函数 C．f(x)的极大值为f(0)，极小值为f(1) D．f(x)的极小值点为0，极大值点为1 D 感谢聆听!