专题04：利用导数研究函数的极值与最值（强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题04 利用导数研究函数的极值最值 知识点01 函数的极值点、极值 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值：如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 知识点02 函数的最值 1..函数最值的定义 （1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。 （2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。 2.对函数最值的定义理解 （1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。 （2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。 （3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。 3.函数极值与最值的关系 一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。 知识点03 恒成立、有解问题的解法 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在上存在最值，在上存在最值： 对于任意的，总存在，使得； 对于任意的，总存在，使得； 若存在，对于任意的，使得； 若存在，对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 题型01 函数极值、最值相关概念辨析 【例1】已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1.设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（　　） A．f（x）的极值点一定是最值点 B．f（x）的最值点一定是极值点 C．f（x）在此区间上可能没有极值点 D．f（x）在此区间上可能没有最值点 2.下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 题型02：根据图象判断极值点与极值 【例2】已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【例3】如图是f（x）＝x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（　　） A． B． C． D． 【例4】函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为 3．已知函数y＝f（x）为连续可导函数，y＝（x2+4x+3）f'（x）的图像如图所示（见图），以下命题正确的是（　　） A．f（﹣3）是函数的极大值 B．f（﹣1）是函数的极小值 C．f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 D．f（x）的零点是﹣3和﹣1 题型03：求不含参函数的极值点极值 【例5】求函数的极值. 【例6】函数(为自然对数的底数)，则下列说法正确的是(　　) A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 【跟踪训练】 1.已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 2.数列{an}中的a2，a2024是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣2024的极值点，则log8a1013＝（　　） A． B．﹣3 C．3 D． 题型04：求含参函数的极值点极值 讨论含参函数的极值问题，可转化为含参函数的单调性问题， 【例7】函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝x2﹣axlnx．讨论f（x）极值点的个数； 题型04 已知函数的极值与极值点求参数 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，. 所以在已知极值点极值求参数值或范围时,一定要验证。 【例8】设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 【例9】已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【跟踪训练】 1.已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 2.已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 3.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05：已知函数极值点个数求参数 已知函数极值点个数，其实就是导数等于零的方程存在变号实数根的问题，我们可以根据导数函数图像性质或者分类讨论去求参数范围，也可以通过分离参数转换为函数图像交点问题。 【例10】已知函数若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是　 　． 【跟踪训练】 1.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知三次函数f（x）＝x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m的取值范围是（　　） A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4 题型06：区间内存在极值点极值求参数 区间内存在极值点极值，就是导数等于零在该区间内存在变号零点，我们可以根据导数函数图像性质或者分类讨论去求参数范围，也可以通过分离参数转换为函数图像交点问题。 【例11】若函数在（0，2）上有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[2，+∞） D．（2，+∞） 【跟踪训练】 1.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 . 2.已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07：求不含参数最值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 1、定区间最值 【例12】函数的最小值为 ． 【例13】已知函数，x∈（0，π），则f（x）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 函数是（    ） A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数；且最大值为 D．偶函数；且最大值为3 2．函数y＝x+2cosx在区间[0，]上的最大值是（　　） A．+1 B．+ C． D． 3.函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2、无参函数动区间有最值 求出函数单调区间，然后结合区间范围分类讨论。 【例14】若函数f（x）＝x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型08：含参函数最值问题 讨论函数单调性，结合区间范围去判断函数最值。 【例15】若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有最小值，则实数b的取值范围（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D． 【例16】已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m＞0）．求函数y＝f（x）在区间[2，3]上的最小值． 2.已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值． 3.已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 4.已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 题型09：不等式恒成立有解问题 【例17】若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【跟踪训练】 1.已知函数，函数，若恒有，求的取值范围. 2.已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 题型10：函数的零点问题 【例18】函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】 1.已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 2．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间，上恰有一个零点，求的取值范围． 题型11：新定义问题 【例19】若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（ ） A．B． C． D． 【例20】若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【例21】对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”． （1）设函数，其中，． ①若是单调函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数不是“极致0函数”． （2） 对任意，证明：函数是“极致0函数”． 一、填空题 1.(2024春浦东新区校级期中）若函数在处取得极小值，则________ 2.(2024春普陀区校级期中）函数在处取得极值0，则____ 3.(2024华东师大二附中阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 4.（2023闵行中学月考）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围_______ 5.(2024春浦东新区校级期中）函数的最小值为 . 6．（2024宝山区二模）已知函数，则的最大值是 ． 7.（2021秋•普陀区校级期末）已知函数f（x）＝﹣x3+x2在[﹣1，m]上的最小值为0，则m的取值范围是________ 8.(2024春徐汇区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣3x+m只有一个零点，则实数m的取值范围是_______ 二、选择题 9．(2024春浦东新区校级期中）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2024青浦区期末）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A．函数有极大值 和极小值 B．函数有极大值 和极小值 C．函数有极大值 和极小值 D．函数有极大值 和极小值 11.（2024春杨浦区期末）已知函数f（x），则（　　） A．函数f（x）的极大值为，无极小值 B．函数f（x）的极小值为，无极大值 C．函数f（x）的极大值为0，无极小值． D．函数f（x）的极小值为0，无极大值 三、解答题 12.（2023复旦附中阶段练习）已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 13.（2024青浦高级中学月考）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 14．（2024高二下格致中学期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值； (2)求函数的极值． 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)当时，求在内的最大值； 16．（2023·24高二下古美高级中学阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 17．（2024高三·全国·专题练习）设函数，已知是函数的极值点． (1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围； (2)讨论函数的零点个数； (3)求在内的最值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题04 利用导数研究函数的极值最值 知识点01 函数的极值点、极值 1．极值与极值点的定义 （1）函数的极小值：如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3） 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 知识点02 函数的最值 1..函数最值的定义 （1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。 （2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。 2.对函数最值的定义理解 （1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。 （2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。 （3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。 3.函数极值与最值的关系 一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。 知识点03 恒成立、有解问题的解法 1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． 3、若函数在上存在最值，在上存在最值： 对于任意的，总存在，使得； 对于任意的，总存在，使得； 若存在，对于任意的，使得； 若存在，对于任意的，使得； 对于任意的，使得； 题型01 函数极值、最值相关概念辨析 【例1】已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 【跟踪训练】 1.设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（　　） A．f（x）的极值点一定是最值点 B．f（x）的最值点一定是极值点 C．f（x）在此区间上可能没有极值点 D．f（x）在此区间上可能没有最值点 【分析】导数为0时，若方程无解，或方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点；若方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点；从而可以判断． 【解答】解：设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则导数为0时， 若方程无解，或方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号不改变，则函数无极值点； 若方程有解时，在导数为0的左右附近，导数符号改变，则函数有极值点，与端点函数值比较，可知是否为最值点； 故选：C． 2.下列结论正确的是（　　） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是在和处取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【分析】根据函数极值与最值的关系可判断. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在上一定存在最大值和最小值，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 题型02：根据图象判断极值点与极值 【例2】已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，当时，； 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确. 对于D中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确； 故选：C. 【例3】如图是f（x）＝x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用图象得：f（x）＝x（x+1）（x﹣2）＝x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2＝，，即可求得结论． 【解答】解：由图得：f（x）＝x（x+1）（x﹣2）＝x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）＝3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2＝，， 故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝＝． 故选：D． 【例4】函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】观察函数f′（x）在（a，b）内的图象与x轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解． 【解答】解：由导函数f（x）在区间（a，b）内的图象可知，函数f′（x）在（a，b）内的图象与x轴有四个公共点， 在从左到右第一个交点处导数左负右正，它是极小值点； 在从左到右第二个交点处导数左正右负，它是极大值点； 在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点； 在从左到右第四个交点处导数左负右正，它是极小值点， 所以函数f（x）在开区间 （a，b）内的极小值点有2个． 故选：B． 【跟踪训练】 1．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内有极小值点（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图象即可求得结论． 【解答】解；因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个．故函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是1． 故选：A． 2.已知函数的导函数为函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．的极小值为极大值为 D．的极大值为极小值为 【答案】D 【解析】当x∈(－∞,－2)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)为增函数； 当x∈(－2,1)时,x－1<0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)为减函数； 当x∈(1,2)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)为减函数； 当x∈(2,+∞)时,x－1>0,由图象可得g(x)=(x－1)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)为增函数, 所以f(x)的极大值为f(－2),极小值为f(2), 结合选项可知,只有选项D正确． 故选：D． 3．已知函数y＝f（x）为连续可导函数，y＝（x2+4x+3）f'（x）的图像如图所示（见图），以下命题正确的是（　　） A．f（﹣3）是函数的极大值 B．f（﹣1）是函数的极小值 C．f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 D．f（x）的零点是﹣3和﹣1 【分析】由y＝（x2+4x+3）f'（x）的图象知，当x＜﹣3或﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，逐一判断ABCD即可． 【解答】解：∵y＝（x2+4x+3）f'（x），x2+4x+3＜0⇔﹣3＜x＜﹣1， ∴由y＝（x2+4x+3）f'（x）的图象知， 当x＜﹣3或﹣3＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＞﹣1时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴f（x）的极小值为f（﹣1），无极大值． 故A错误，B正确，C错误， 又f（﹣3），f（﹣1）的值不确定，故D错误． 故选：B． 题型03：求不含参函数的极值点极值 【例5】求函数的极值. 【答案】极小值为，无极大值. 【解析】由可得其定义域为，， 令，解得， 当时，，当时，， 故在上递减，在上递增， 故为函数的极小值点，故的极小值为，无极大值. 【例6】函数(为自然对数的底数)，则下列说法正确的是(　　) A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点 C．在处取得极值点 D．在处取得极值点 【答案】C 【解析】, 令, , 所以当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 所以, 由于, 所以, 所以在上存在一个零点为, 所以的解为和的解, 所以函数至少存在和,两个极值点,故,错误,正确； 因为, 所以处没有取得极值点,故错误． 故选：． 【跟踪训练】 1.已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而由极值的定义可求出函数的极小值. 【解答过程】因为，， 所以. 当或时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，. 故选：D. 2.数列{an}中的a2，a2024是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣2024的极值点，则log8a1013＝（　　） A． B．﹣3 C．3 D． 【分析】由题意可得a2+a2024＝4，结合等差数列的性质，可得a1013＝（a2+a2024），进而可得答案． 【解答】解：由题意可得f′（x）＝3x2﹣12x+4， 因为a2，a2024是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣2024的极值点， 所以a2，a2024是3x2﹣12x+4＝0的两个不等实数根， 所以a2+a2024＝4， 又因为数列{an}为等差数列， 所以a1013＝（a2+a2024）＝×4＝2， 所以log8a1013＝log82＝＝． 故选：A． 题型04：求含参函数的极值点极值 讨论含参函数的极值问题，可转化为含参函数的单调性问题， 【例7】函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数的极值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)答案见解析 【分析】（1）求定义域，求导，利用导函数的正负求单调区间； （2）求定义域，求导，对进行分类讨论，求出不同情况下的极值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则. 令，得或； 令，得， 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. （2）函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝x2﹣axlnx．讨论f（x）极值点的个数； 【分析】由导得f′（x）＝2x﹣a（1+lnx）＝2x﹣alnx﹣a，令φ（x）＝f′（x）＝2x﹣alnx﹣a，再次求导，讨论a的正负，进而得到f（x）的单调性和极值； 【解答】解：函数f（x）＝x2﹣axlnx，定义域为{x|x＞0}， 则f′（x）＝2x﹣a（1+lnx）＝2x﹣alnx﹣a， 令φ（x）＝f′（x）＝2x﹣alnx﹣a， 则φ′（x）＝2， 当a＜0时，φ'（x）＞0，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，φ（x）→﹣∞，且φ（1）＝2﹣a＞0， 故存在x1∈（0，1），使得φ（x1）＝0，且当0＜x＜x1时，φ（x）＜0，当x＞x1时，φ（x）＞0， 所以函数f（x）有一个极值点， 当a＝0时，f（x）＝x2在（0，+∞）上无极值点， 当a＞0时，若，则φ'（x）＜0，若，则φ'（x）＞0， 所以函数φ（x）在上单调递减，在上单调递增，， 当0＜a≤2时，即φ（x）＝f'（x）≥0，函数f（x）无极值点， 当a＞2时，，且当x→0时，φ（x）→+∞，当x→+∞时，φ（x）→+∞， 此时函数f（x）有两个极值点， 综上所述，当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a≤2时，函数f（x）无极值点；当a＞2时，函数f（x）有两个极值点； 题型04 已知函数的极值与极值点求参数 ① 若可导，且是的解； ② 若是的解，. 所以在已知极值点极值求参数值或范围时,一定要验证。 【例8】设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 【解答】解：f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex， 若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减． x＝2处f（x）取得极大值，不符题意； 若a＞0，且a，则f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值； 若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增， 可得f（x）在x＝2处取得极小值； 若0＜a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意； 若a＜0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减， 可得f（x）在x＝2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（，+∞）． 【例9】已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D．或 【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求的取值范围即可． 【解答】解：函数， 则， 函数有极大值和极小值， 所以其导函数有两个不同的解，△， 所以或． 故选：． 【点评】本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程有两个不相等的实数根是解题的关键，属于基础题． 【跟踪训练】 1.已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 【解析】解：，， 且，， ①若，即时， 易知存在，使得时，， 在上单调递增，， 在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去； ②若，即或时， 存在，使得，时，， 在，上单调递减，又， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意； ③若，即时，为偶函数， 只考虑的情况， 此时，时， ， 在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去． 综合可得：的取值范围为，，． 2.已知函数有极值，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，. 令，得； 令，得. 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. 则是函数的极小值点， 故，解得. 故选：B 3.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解. 解析 ，则， 函数既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程在上有2个不同的实根， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 题型05：已知函数极值点个数求参数 已知函数极值点个数，其实就是导数等于零的方程存在变号实数根的问题，我们可以根据导数函数图像性质或者分类讨论去求参数范围，也可以通过分离参数转换为函数图像交点问题。 【例10】已知函数若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】函数的定义域是 是函数的唯一一个极值点, 是导函数的唯一根, 在无变号零点, 令,则, ①时,恒成立,在时单调递增, 的最小值为,无解, ②时,有解,为： 时,,单调递减, 时,,单调递增, 的最小值为k, , 画出函数和的图象,如图示： 由和图象,它们切于, 综上所述, 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以，    故选：B 2.已知三次函数f（x）＝x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在x∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m的取值范围是（　　） A．m＜2或m＞4 B．m≥2或m≤4 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4 【分析】求出函数的导数，问题转化为则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即△≤0即可，求出m的范围即可． 【解答】解：f′（x）＝x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7） 若f（x）在（﹣∞，+∞）上无极值点， 则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立， 即△≤0即可， 即[﹣2（4m﹣1）]2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0， 解得：2≤m≤4， 故选：C． 题型五：区间内存在极值点极值求参数 区间内存在极值点极值，就是导数等于零在该区间内存在变号零点，我们可以根据导数函数图像性质或者分类讨论去求参数范围，也可以通过分离参数转换为函数图像交点问题。 【例11】若函数在（0，2）上有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[2，+∞） D．（2，+∞） 【分析】在（0，2）上有实根，即在（0，2）上有实根，令，由g（x）的单调性即可求解． 【解答】解：∵在（0，2）上有极值， ∴在（0，2）上有实根， 即在（0，2）上有实根， 令， 则⇒1＜x＜2， g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数， 当x→0时，g（x）→+∞；g（x）＝2， ∴实数a的取值范围是（2，+∞）． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 . 【答案】5 【解析】由题设在内有解，且此解左右两侧异号， 即，整理得在有解，得，故. 故答案为：5 2.已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 函数在上存在极值，在该区间有变号零点. 即, ,单调递减,设， 单调递增; 单调递减; , , . 故选:B. 题型05 求不含参数最值 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 1、定区间最值 【例12】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵函数， ∴，令，得， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， ∴在处取极小值，也是最小值， ∴函数最小值为. 故答案为：. 【例13】已知函数，x∈（0，π），则f（x）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】f′（x）＝﹣cosx，x∈（0，π），求导分析f′（x）的正负，进而可得f（x）min． 【解答】解：f′（x）＝﹣cosx，x∈（0，π）， 令f′（x）＜0，得0＜x＜， 令f′（x）＞0，得＜x＜π， 所以f（x）在（0，）单调递减，（，π）单调递增， 所以f（x）min＝f（）＝﹣sin＝﹣＝， 故选：B． 【跟踪训练】 1. 函数是（    ） A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数；且最大值为 D．偶函数；且最大值为3 【答案】C 【解析】定义域为R， 且， 故为奇函数，排除BD； 由于， 所以是的一个周期， 要想求解的最大值，只需考虑的情况， ， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故在处取得极大值， ， 又， 故的最大值为. 故选：C 2．函数y＝x+2cosx在区间[0，]上的最大值是（　　） A．+1 B．+ C． D． 【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值． 【解答】解：y′＝1﹣2sinx＝0，得 ， 故y＝x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数， 又x＝时，y＝，x＝时，y＝＜， 所以最大值为 ， 故选：C． 3.函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为，则， 当时，则，可得； 当时，可得； 当时，则，可得； 综上所述：在上恒成立，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：B. 2、无参函数动区间有最值 求出函数单调区间，然后结合区间范围分类讨论。 【例14】若函数f（x）＝x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案． 【解答】解：由题意可得：函数 f（x）＝x3﹣3x， 所以f′（x）＝3x2﹣3． 令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1； 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1）， 所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0， 所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2， 且f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0， 联立解得：﹣2≤a＜1． 故选：C． 【跟踪训练】 1.已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，令，得， 令，是，或， 所以在上单调递减，在和上单调递增， 故. 令，得，解得，， 所以，所以要使在上存在最大值， 则有,解得. 故选：B. 题型九：含参函数最值问题 讨论函数单调性，结合区间范围去判断函数最值。 【例15】若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有最小值，则实数b的取值范围（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D． 【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围． 【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数 f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点， 且 f′（0）＜0，f′（1）＞0，即﹣6b＜0，且 （3﹣6b）＞0， ∴0＜b＜， 故选：D． 【例16】已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以， 令，因为在开区间上有最小值， 则在上必有两根，即有， 又在上的两根为，且， 由的图象可知， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又在开区间上有最小值，则必有，且， 令，得到，所以， 整理得到，令， 则，易知在区间上单调递减， 又，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以在上有且只有一根， 由，解得， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m＞0）．求函数y＝f（x）在区间[2，3]上的最小值． 【解答】，∵m＞0，令f'（x）＝0，解得， 当时，f'（x）＞0， 当时，f'（x）＜0， 故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减， ①当，即时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增， ∴f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（2）＝ln2﹣2m， ②当，即时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减， ∴f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（3）＝ln3﹣3m， ③当，即时，函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴f（x）的最小值为min{f（2），f（3）}， 又， ∴当时，最小值为f（2）＝ln2﹣2m， 当时，最小值为f（3）＝ln3﹣3m， 综上，当时，函数f（x）的最小值为f（2）＝ln2﹣2m， 当时，函数f（x）的最小值为f（3）＝ln3﹣3m． 2.已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，函数在上的最小值为，求a的值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 当时，由得或，即函数在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，， 于是，解得 所以a的值为. 3.已知函数，其中，求函数在区间上的最小值． 【答案】 【分析】求导之后转化成二次函数根的问题，讨论根与定义域的大小关系，从而判断函数的单调性，得到最值. 【详解】函数的定义域为， ，， 令，得或（舍）， 当，即时，当时，，则在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 当，即时，当时，，则在上单调递减， 所以函数在区间上的最小值为， 综上. 【点睛】方法点睛：含参函数的单调性（极值、最值）讨论方法 导数的解析式通过化简变形后，如果可以转化为一个二次函数的含参问题，有如下处理思路： 首先需要考虑二次项系数是否含有参数，如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论； 其次考虑二次式能否因式分解，如果二次式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果都在定义域内，则讨论个零点的大小关系；如果二次式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式和分类讨论. 4.已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 题型07 不等式恒成立有解问题 【例17】若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知函数，函数，若恒有，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据已知应用参数分离得出，再设，根据函数单调性得出函数最大值即可求参. 【详解】因为，即，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 2.已知，，若，，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出在区间上的最小值和在上的最小值，由题意知，即可求出的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴当时，，在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为； 又∵， ∴由二次函数知识，在上的最小值为， 若，，使成立，等价于，即， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 题型08 函数的零点问题 【例18】函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对函数求导，求出函数的单调区间，再求出函数的最小值即可判断函数的零点个数. 【详解】． 令，，则，故在上单调递增．因为，，所以存在唯一的， 使得，即，即，所以， 所以当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 所以， 所以函数的零点个数为1． 故选：B 【跟踪训练】 1.已知曲线在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导函数与切线斜率的关系求解； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数m的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以,解得. （2）， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，,时，， 所以实数m的取值范围为． 2．（2024春•宝山区校级期中）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间，上恰有一个零点，求的取值范围． 【分析】（1）把代入函数解析式，对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论，然后结合函数零点存在条件即可求解． 【解答】解：（1）当时，，， ， 令得或1， 所以在上，单调递增， 在，上，单调递减， 在上，单调递增， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （2）， 当，即时，，，，函数在，上单调递增， 由函数在区间，上恰有一个零点，得，解得， 因此， 当，即时，当时，，即函数在，上递减， 又（1）， 要函数在区间，上恰有一个零点， 当且仅当（e），则与矛盾， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点存在条件的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 题型09：新定义问题 【例19】若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 又，，， 由“稳定函数”定义可知：，即， 解得：，即实数的取值范围为.故选：D. 【例20】若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，，则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求（1）的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点，处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义，即可求解； （2）求出函数在处的切线方程，再利用切线的定义求解即得； （3）求出函数的导数，由曲线在点，处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解． 【解答】解：（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 则该切线的斜率为， 因此（1）． （2）由求导得， 则曲线在处的切线方程为：， 令， 整理得， 此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即， 所以曲线的切线仅有一条，为． （3）由， 得曲线在点，处的切线方程为：，即， 令， 求导得，由，得， 对，当时， ，为严格增函数； 当时， ，为严格减函数， 函数所有的极大值为，当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0， 函数所有的极小值为， 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点，处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点，处的切线为切线． 【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于难题． 【例21】对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”． （1）设函数，其中，． ①若是单调函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数不是“极致0函数”． （2）对任意，证明：函数是“极致0函数”． 【解析】（1）①由题意，得． （i）若在上单调递减，则恒成立，即恒成立，所以； （ii）若在上单调递增，则恒成立，即恒成立，所以． 综上，实数a的取值范围为． ②假设是“极致0函数”，则是的极值点，所以，解得， 由①可知，当时，在上单调递减，与是的极值点矛盾， 故不是“极致0函数”． （2）由题意，得，则． 当时，，易知当时，． 设，． ①当，即时，由（i）可知，在上单调递减， 又，所以当时，，即；当时，，即，所以在处取得极大值，此时是“极致0函数”； ②当，即时，由（ii）可知，在上单调递增， 又，所以当时，，即，当时，，即， 所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”； ③当时，，设， 易知在上单调递增，在上单调递减．因为，， 所以存在，，使得，且当时，， 即， 在上单调递增． 又，所以当时，，即，当时，，即， 所以在处取得极小值，此时是“极致0函数”．综上，对任意，均为“极致0函数”． 一、填空题 1.(2024春浦东新区校级期中）若函数在处取得极小值，则________ 【解析】由题意可得，则，解得. 当时，， 当或时，，则在，单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以，函数在处取得极小值，此时. 2.(2024春普陀区校级期中）函数在处取得极值0，则____ 【解析】， 所以，解得， 经检验，满足题意， 所以. 3.(2024华东师大二附中阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4.（2023闵行中学月考）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围_______ 【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围. 【详解】的定义域是，， 令， 所以在区间递减；在区间递增. 要使有两个极值点，则， 此时， 构造函数， 所以在上递增，所以， 所以， 所以实数a的取值范围. 【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系. 5.(2024春浦东新区校级期中）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 6．（2024宝山区二模）已知函数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用导函数分析单调性求最值即可. 【详解】因为， 所以 . 当时，， 所以在单调递增； 当时，， 所以在单调递减； 所以. 故答案为：. 7.（2021秋•普陀区校级期末）已知函数f（x）＝﹣x3+x2在[﹣1，m]上的最小值为0，则m的取值范围是________ 【解题思路】首先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后令f'（x）＝0，f'（x）＞0和f'（x）＜0，分别求出函数f（x）的单调性，进而得出函数f（x）的极值，再结合函数f（x）的图象，进而得出m的取值范围． 【解答过程】解：因为函数f（x）＝﹣x3+x2，所以f'（x）＝﹣3x2+2x＝﹣3x（x）， 所以令f'（x）＝0得：x＝0，x． 令f'（x）＞0得：0＜x；令f'（x）＜0得：x＜0，或x； 所以f（x）在（0，）上单调递增，在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递减． 所以f（x）的极小值为f（0）＝0，极大值为f（）． 又因为函数f（x）＝﹣x3+x2在[﹣1，m]上的最小值为0， 而令f（x）＝0得：x＝0或x＝1． 由三次函数的图象可得：0≤m≤1， 故选：B． 8.(2024春徐汇区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣3x+m只有一个零点，则实数m的取值范围是_______ 【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=x3﹣3x+m只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0． 【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+m，∴f'（x）=3x2﹣3， 由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增， 由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减． 即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值， 当x=1时，函数f（x）取得极小值， 要使函数f（x）=x3﹣3x+m只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0， 即极大值f（﹣1）=﹣1+3+m=m+2＜0，解得m＜﹣2． 极小值f（1）=1﹣3+m=m﹣2＞0，解得m＞2． 综上实数m的取值范围：m＜﹣2或m＞2． 二、选择题 9．(2024春浦东新区校级期中）已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 10．（2024青浦区期末）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A．函数有极大值 和极小值 B．函数有极大值 和极小值 C．函数有极大值 和极小值 D．函数有极大值 和极小值 【答案】D 【详解】则函数增； 则函数减； 则函数减； 则函数增；选D. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 11.（2024春杨浦区期末）已知函数f（x），则（　　） A．函数f（x）的极大值为，无极小值 B．函数f（x）的极小值为，无极大值 C．函数f（x）的极大值为0，无极小值． D．函数f（x）的极小值为0，无极大值 【解题思路】先对函数求导，然后结合导数与单调性极值关系即可求解． 【解答过程】解：f′（x）， 当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x＝e时，函数取得极大值，无极小值． 故选：A． 三、解答题 12.（2023复旦附中阶段练习）已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线与直线3x﹣2y﹣1=0垂直， ∴f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线斜率为：k=…（1分） 又∵…（2分） ∴，解得a=16， （2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）， ， 当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3） （3）由（2）知，f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21． 且当x从右侧无限接近于﹣1时，f（x）趋于﹣∞，当x无限大时，f（x）趋于+∞， ∴若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，则b的取值范围是（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 13.（2024青浦高级中学月考）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）. 【解析】（1）函数，定义域为，， 当时，. 故在定义域上单调递增，此时无减区间. 当时，令，得； 当时，，故单调递增； 当时，，故单调递减. 综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，至多一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 要有两个零点，需满足，即. 此时，. 因为，所以在有一个零点； 因为，. 令，， 所以在单调递增，， 所以，所以在上有一个零点. 所以，有两个零点. 14．（2024高二下格致中学期中）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)当时，函数无极值； 当时，，； 当时，， 【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等列方程求的值即可； （2）对参数进行分类，先研究的单调性，再利用导数求解在上的极值即可． 【详解】（1）． 因为曲线在点处的切线与x轴平行， 所以，即，    所以 ． （2）．                                      令，则或．     ①当，即时，， 所以函数在上为增函数，函数无极值点；   ②当，即时． + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，函数有极大值是， 当时，函数有极小值是； ③当，即时． + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当时，函数有极大值是， 当时，函数有极小值是． 综上所述，当时，函数无极值； 当时，，； 当时，，． 15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论函数在上的单调性； (2)当时，求在内的最大值； 【答案】(1)函数在上单调递增． (2)0 【分析】（1）根据求导公式和运算法则可得，由可得，，即可求解； （2）由题意可得，利用导数讨论函数的性质可得，进而，则在内单调递增，即可求解. 【详解】（1）当时，，，且． 当时，，，则， 即，故函数在上单调递增． （2）， 令，则， 由且，可得，，则，在内单调递增， 所以， 又当时，， 所以，在内单调递增， 故． 16．（2023·24高二下古美高级中学阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2). 【详解】（1）时，. 时，单调递增， 时，单调递减， ∴的增区间为，减区间为； （2）由在上恒成立，故， 设，则. 当时，F(x)单调递增；当时，F(x)单调递减， 故，故. 17．（2024高三·全国·专题练习）设函数，已知是函数的极值点． (1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围； (2)讨论函数的零点个数； (3)求在内的最值． 【答案】(1) (2)有2个零点 (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）由已知可得，，根据已知可得，所以，代入可得，求导进而根据已知，可推得在内恒成立，分，，根据二次函数的性质即可得出答案； （2）由已知可得，根据导函数得出函数的单调区间以及极大值，又，根据零点的存在性定理以及，即可得出函数零点的个数； （3）由已知，求出导函数.构造，根据导函数得出恒成立，进而即可得出恒成立，所以在上单调递减，根据单调性即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为是函数的极值点， 所以当时，，即，所以. 此时有，. 令，， 则在上恒成立， 所以，即在上单调递减. 又当时，， 所以时，，所以函数在上单调递增； 时，，所以函数在上单调递减. 所以，当时，函数取得极小值，所以， 所以． 则， 所以，． 因为，所以. 设， 要使在内单调递减，则应有在内恒成立， 只需在内恒成立，只需在上的最小值即可． 当时，满足条件； 当时，， 此时，函数在处有最小值， 所以，解得，所以； 当时，， 此时，要使在上恒成立， 所以只需，解得，所以. 综上可知，实数m的取值范围为． （2）由已知可得，， 则. 因为，所以，. 当时，有. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 故的极大值为. 又， 由零点存在性定理知，可知在内存在一个零点. 又， 故函数有2个零点． （3）由题可得（且）， 则. 设，则， 令，解得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在内单调递增. 所以，故恒成立. 又因为当且时，， 所以恒成立，所以在上单调递减， 故在内的最大值为，最小值为． 【点睛】方法点睛：根据导函数研究函数零点的个数：先求出导函数，然后得出函数的单调性，求出函数的极值，结合零点的存在性定理，即可得出零点的个数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$