导数中的极值与最值问题 讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

目录 知识点梳理 1 【知识点一:极值的概念】 1 【知识点二:求f(x)极值的步骤】 1 【知识点三:函数最值】 2 题型演练 2 题型一:极值点辨析 2 题型二:求已知函数极值 3 题型三:已知极值情况求参 6 题型四:极值与最值辨析 10 题型五:已知最值求参 11 题型六:极值与最值综合运用 15 极值与最值 知识点梳理 【知识点一:极值的概念】 若在点附近的左侧,右侧则称为函数的极小值点,称为函数的极小值; 若在点附近的左侧,右侧,则称为函数的极大值点,称为函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 把函数图象看成一座“山脉”,极大值就是“山峰”,极小值就是“山谷”, 如上图; 【知识点二:求f(x)极值的步骤】 ①先确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程的解; ④检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值. 注:①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号相反. ②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点. 【知识点三:函数最值】 (1)函数在区间上有最值的条件: 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数在区间上的最大(小)值的步骤: ①求在内的极值(极大值或极小值); ②将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 注:①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值; 2 函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点; 3 函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 求出函数单调区间,然后结合区间范围判断函数最值 题型演练 题型一:极值点辨析 1.已知函数,其导函数的图象如图所示,则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值,没有极小值 ④在上单调递增 【答案】③④ 【分析】根据给定的导函数图象,确定函数的单调区间,进而确定极值情况即可得解. 【详解】观察图象知,当时,,当且仅当,当时,, 因此函数在上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,无极小值, 因此①②错误;③④正确. 故答案为:③④ 2.设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值, 在左侧附近,,此时,, 在右侧附近,即存在,使得当,使得, 此时,,C选项合乎题意. 故选:C. 题型二:求已知函数极值 3.从点可向曲线引三条不同切线,则t的取值范围为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设切点为,利用,列出方程,从而将问题转化成函数有3个不同零点,借助于求导判断单调性,求出极值,作出图象得到不等式,求解即得. 【详解】设切点为,其中由求导得, 则 ,依题意,方程有三个不同的解. 设,则该函数有三个不同零点. 因,由,则或, 令,则或,令,则, 则函数在区间单调递减,在区间上单调递增, 当时,,当时,, 则函数在时取得极大值,在时取得极小值,如图所示: 由图知,函数有三个不同零点等价于, 解得. 故选:A. 4.已知函数,下面表述不正确的为( ) A.是的极小值点 B.当时, C.当时, D.当时, 【答案】B 【分析】对函数求导,求出函数在区间,上单调递增,在区间上单调递减,再对每个选项逐一判断即可. 【详解】对函数求导, 得, 令,解得:或; 令,解得:, 所以函数在区间,上单调递增,在区间上单调递减,如下图: 对于选项A:观察图像可知,选项A正确; 对于选项B:当时,,且函数在区间上单调递增, 故,故选项B错误; 对于选项C:当时,,且函数在区间上单调递减, 且,故,故选项C正确; 对于选项D:当时,,由,得, 故,故选项D正确; 故选:B 5.已知函数的值域为,则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性可求得当时函数的值域,再利用导数求当时的极大值,使的极大值大于等于1即可求解. 【详解】当时,的值域为, 函数的值域为, 当时,是的值域的子集, 又,令,或(舍去), 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 当时,取得极大值, 故的值域为, ,. 故答案为:. 题型三:已知极值情况求参 6.已知函数在上无极值,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导数确定单调性,讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得,,故, 因为函数在上无极值, 所以在R上恒成立, 当时,, 设,则, 当时,得,当时,得, 则在上单调递减,在上单调递增, 从而,故, 当时,,则. 综上,. 故答案为: 7.设,若函数存在两个不同的极值点,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点,进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解:易知函数的定义域为, , 因为函数存在两个不同的极值点, 所以在内有两个不等根, 设,, 则只需,即, 所以,则的取值范围为. 故答案为: 8.已知,若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式,故可求其取值范围. 【详解】当时,, 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点, 所以,故, 故答案为: 9.设为常数,,若,且函数在区间上恰有一个极小值点,无极大值点,则的值为 . 【答案】11 【分析】由条件得到为函数位于递减区间上的零点,求出,,结合,求出,得到答案. 【详解】在区间上恰有一个极小值点,无极大值点,, 故为函数位于递减区间上的零点, 故,解得,, ,解得, 故,,只有当时,满足要求, 故. 故答案为:11. 10.(变式)已知函数在上存在极小值(e为自然对数的底数),则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】对函数求导并根据导函数对参数a的取值进行分类讨论,得出相对应的单调性,再由极值点定义进行验证即可求得实数a的取值范围. 【详解】因为,所以, 令,则, 所以当或时,当时,, 所以在,上单调递减,在上单调递增, 又,, 当,即时,与x轴有且只有一个交点, 不妨设交点横坐标为,则当时,即,当时,即, 即在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当,即时,与x轴有且只有一个交点, 不妨设交点横坐标为,则当时,即,当时,即, 即在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当时,当时,即,当时,即, 所以在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当时,当时,即,当时,即, 所以在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当,即时,的图像如下所示: 即与x轴有3个交点,不妨依次设为,,, 则当或时,即, 当或时,即, 所以在处取得极小值,符合题意; 综上可得实数a的取值范围为. 故选:B 【点睛】关键点点睛:本题关键在于利用导数的符号与函数单调性的关系,对参数a的取值进行分类讨论,再结合极小值定义并检验即可得出结论. 题型四:极值与最值辨析 11.(多选)下列说法中正确的是( ). A.函数的最大值不一定是它的极大值 B.函数的极大值可能小于它的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D.函数在开区间不存在最大值和最小值 【答案】AB 【分析】AD可举出反例;B选项,画出图象,得到B正确;C选项,最小值可能在端点处取到,C错误. 【详解】对于A,函数在上有最大值,但没有极大值,故A正确; 对于B,函数图像,其中一个极大值为,一个极小值为, 显然极大值小于极小值,故B正确; 对于C,的最小值可能在闭区间的端点处取到,也可能在闭区间上的极小值点处取到,故C不正确; 对于D,函数在上既有最大值,又有最小值,故D不正确. 故选:AB 12.(多选)已知函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C.时,取得最大值 D.时,取得最小值 【答案】AB 【分析】由图象可确定的单调性,结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由图象可知:当时,;当时,; 在,上单调递增,在上单调递减; 对于A,,,A正确; 对于B,,,B正确; 对于C,由单调性知为极大值,当时,可能存在,C错误; 对于D,由单调性知,D错误. 故选:AB. 题型五:已知最值求参 13.函数在区间上存在最值,则实数a的取值范围为( ). A. B. C. D. 【答案】D 【分析】对函数求导,结合题中条件得即,解不等式即得答案 【详解】因为, 因为函数,在上单调递增, 所以题中问题等价于即解得, 故选:D. 14.已知函数,,在区间上有最大值,则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用导数求出函数单调性,据此知函数有极大值,根据函数在开区间上有最大值可知,区间含极大值点 【详解】, 当或时,,当时,, 所以函数在,上递增函数,在上递减函数, 故时函数有极大值,且, 所以当函数在上有最大值,则且, 即,解得. 故选:B. 15.若函数在上存在最小值,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,函数的极小值点在内,再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为,所以, 令得,, 当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 所以当时,有极小值, 因为函数在上存在最小值, 又, 所以,解得, 所以实数a的取值范围是. 故答案为:. 16.已知函数,且在区间上的最大值为3,无最小值,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性,求出函数的极值,结合题意可得且,即可求解. 【详解】由题意知,, 令或, 所以函数在上单调递减,在上单调递增, 则的极大值为,极小值为,且, 又在上的最大值为3,无最小值, 所以,解得,所以, 令,解得或,所以, 所以. 故答案为: 17.已知函数,,且,,若,则的最小值为 . 【答案】 【分析】令,得到关于的函数式,进而可得关于的函数式,构造函数利用导数研究单调性并确定最值,即可求的最小值. 【详解】令,则,,, ,,即, 若,则, 易知在上单调递增,且, 当时,,则在上单调递减; 当时,,则在上单调递增; ,即的最小值为. 故答案为:. 【点睛】关键点点睛:令确定关于的函数式,构造函数并利用导数求函数的最小值. 18.设,,若对任意,都有成立,则的取值范围是 . 【答案】4 【分析】分、和三种情况进行分析,对和两种情况进行分离参数和构造函数,将题设问题转化成求所构函数最值,再结合导数求函数最值即可求解. 【详解】由题当时,对任意都有满足题意, 当时,恒成立恒成立, 令,则, 因为, 所以当时,;当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以,所以; 当时,恒成立恒成立, 令,则, 因为在区间上恒成立, 所以在区间上单调递增, 所以,所以, 综上,,此时,所以, 所以当时,;当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 又,所以, 所以对任意,都有成立,所以. 故答案为:4. 题型六:极值与最值综合运用 19.已知函数,当时,记在区间的最大值为,最小值为,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论的范围,利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断,求出,再构造函数求出的取值范围. 【详解】由求导得, 若,在区间单调递减,在区间单调递增, 所以在区间上的最小值为, 而,, 所以在区间上的最大值为, 所以, 设函数,, 当时,,从而单调递减, 而,所以,即的取值范围是; 若,在区间单调递减,在区间单调递增, 所以在区间上的最小值为, 而,,所以在区间上的最大值为, 所以, 而,所以,即的取值范围是, 综上得的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】方法点睛:求函数在区间上的最值的方法: (1)若函数在区间上单调,则与一个为最大值,另一个为最小值; (2)若函数在区间内有极值,则要求先求出函数在区间上的极值,再与、比大小,最大的为最大值,最小的为最小值; (3)若函数在区间上只有唯一的极大点,则这个极值点就是最大(最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 20.已知函数的最小值为0,则a的值为 . 【答案】/0.5 【分析】对求导,进而研究的单调性,根据有最小值为0,则使,且求出,即可求参数值. 【详解】由,且, 令,则,即在上递增, 所以在上递增,又,,,, 所以,使,且时,, 时,,所以在上递减,在上递增, 所以 由,得, 令函数,, 所以在上是增函数,注意到,所以, 所以. 故答案为: 【点睛】关键点点睛:利用导数研究函数的单调性,结合最小值为0可得到方程组,消a得到关于的方程,再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得. 21.已知关于的不等式对任意均成立,则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意,分且和且,两种情况讨论,构造函数,利用导数和基本不等式,求得函数的最值,即可求解. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立, ①当对任意均成立时,可得对任意均成立, 令,可得, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 所以,所以, 又由对任意均成立, 可得对任意均成立, 因为,当且仅当时,即时,等号成立, 所以,所以. ②当且对于任意均成立时, 结合①可知且,此时无解. 综上可得,实数实数的取值范围为. 故答案为:. 【点睛】方法点睛:对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略: 1、合理转化,根据题意转化为两个函数的最值之间的比较,列出不等式关系式求解; 2、构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围; 3、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别. 22.设、是函数的两个极值点,若,则的最小值为 【答案】/ 【分析】 由题意,是关于的方程的两根,根据可得与的函数关系,再结合的范围,可得的最小值. 【详解】 ,,是的两个极值点, ∴,是关于的方程的两根且, 又当时,,方程不成立, 所以,,两式作商得到:, 所以,令,则, 令,,则, 令,,则, 所以在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,则, 则 所以,, 令,,则恒成立, 所以在上单调递减,则, 所以, 则的最小值为. 故答案为:. 【点睛】 方法点睛:对于函数的极值问题,需要根据题意参变分离,利用构造函数,找到临界条件进行分析. 23.已知函数,,令 (1)当时,求函数在处的切线方程; (2)当a为正数且时,,求a的最小值; (3)若对一切都成立,求a的取值范围. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】(1)求出,求导,得到切线斜率,求出切线方程; (2)求导,分,和三种情况,结合函数单调性,得到函数最小值,结合,求出的取值范围,得到最小值; (3)变形得到,令,则在上单调递增,其中,求导,分和,数形结合得到的取值范围 【详解】(1)当时,,, 故,则, 故函数在处的切线方程为,即; (2)因为,, 则, 因为, 当时,恒成立,故在上单调递减, 故, 又,故,解得, 其中,故不合要求,舍去; 当时,当时,,单调递减, 当时,,单调递增, 故在取得极小值,也是最小值, 故, 令,整理得, 令,,可得看出, 又恒成立,故在上单调递减, 所以上不能成立, 当时,恒成立,故在上单调递增, 故, 综上,要想满足当为正数且时,, 的取值范围是,的最小值为1; (3)由,,变形为, 令,则在上单调递增, 其中,, 则, 若,此时在上恒成立, 则在上单调递增,满足要求, 若,此时要满足在恒成立, 令,对称轴为, 故要满足,解得, 综上:,即的取值范围是. 【点睛】方法点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法: 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件; 二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论; 三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件. 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 目录 知识点梳理 1 【知识点一：极值的概念】 1 【知识点二：求f(x)极值的步骤】 1 【知识点三：函数最值】 2 题型演练 2 题型一：极值点辨析 2 题型二：求已知函数极值 3 题型三：已知极值情况求参 6 题型四：极值与最值辨析 10 题型五：已知最值求参 11 题型六：极值与最值综合运用 15 极值与最值 知识点梳理 【知识点一：极值的概念】 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如上图； 【知识点二：求f(x)极值的步骤】 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号相反． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． 【知识点三：函数最值】 （1）函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. （2）求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； 2 函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； 3 函数的最值必在极值点或区间端点处取得． 求出函数单调区间，然后结合区间范围判断函数最值 题型演练 题型一：极值点辨析 1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 2．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型二：求已知函数极值 3．从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 4．已知函数，下面表述不正确的为（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 5． 已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 题型三：已知极值情况求参 6． 已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 7． 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 8． 已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 9． 设为常数，，若，且函数在区间上恰有一个极小值点，无极大值点，则的值为 . 10．（变式）已知函数在上存在极小值（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四：极值与最值辨析 11．（多选）下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最大值不一定是它的极大值 B．函数的极大值可能小于它的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D．函数在开区间不存在最大值和最小值 12．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 题型五：已知最值求参 13．函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 14．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 16．已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 17．已知函数，，且，，若，则的最小值为 . 18． 设，，若对任意，都有成立，则的取值范围是 . 题型六：极值与最值综合运用 19． 已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为 ． 20． 已知函数的最小值为0，则a的值为 . 21． 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 . 22． 设、是函数的两个极值点，若，则的最小值为 23．已知函数，，令 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当a为正数且时，，求a的最小值； (3)若对一切都成立，求a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$