精品解析：海南省澄迈县老城初级中学2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题

2025－2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题 一．选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握其概念是做题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、买一张彩票，会中奖，是随机事件，不一定中奖，不符合题意； 故选：C． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为 的整式方程叫做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 、方程的未知数的最高次数是 ，不是一元二次方程，不合题意； 、是一元二次方程，符合题意； 、方程化简为，是一元一次方程，不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选： ． 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 轴 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．纵坐标互为相反数．横坐标互为相反数可知两点关于原点对称． 【详解】解：∵点和点横纵坐标都相反， ∴点和点关于原点对称， 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，通过计算判别式的取值范围即可得出结论． 【详解】解： 一元二次方程为， ，，， ． k为实数，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 将分别标有“善”、“行”、“日”、“照”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用画树状图法或列表法求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．先根据题意画出树状图，得出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“日照”的结果有2种， 根据概率公式，两次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是． 故选：A． 8. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可． 【详解】解： 两边加1得，， 即：． 故选：B 9. 如图，在等腰中， ， ，边在轴上，将绕原点逆时针旋转 ，得到，若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化 旋转，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是过点 作轴于，轴于，求得，，，根据旋转的性质得出 ，，解直角三角形求得 ，，从而求得，． 【详解】解：过点 作轴于，轴于， 在等腰中， ， ， ，， ， ， 将绕原点逆时针旋转 ，得到， ，， ， ， ，， 故选：B． 10. 如图，边长为2的正方形内接于，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆．连接，得到为等腰直角三角形，求出的长，利用弧长公式进行计算即可．掌握中心角和弧长的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵边长为2的正方形内接于， ∴，， ∴的长是； 故选C． 11. 如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，旋转角，连接并延长至点F，使 ，连接，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质，等腰三角形的性质， 根据正方形的性质得，，再结合旋转的性质求出 ，即可得出，然后根据等腰三角形的性质求出，即可得 ，接下来求出，最后根据等腰三角形的性质得出答案. 【详解】解： 四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， . ， ， ， ， ， ∴. 故选：A． 12. 如图所示，中，，， ，点P从A点开始沿向B点以 的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵， ， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共12分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义． 将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可． 【详解】解：将代入得， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，，再将代数式化简代入计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在 中，，D、E是斜边上两点，且 将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中正确的是____________．（填写序号） ① ；② ；③平分；④ 【答案】①④ 【解析】 【分析】①根据旋转的性质知，因为， ，所以，可得 ； ②因为 与不一定相等，所以与 不一定全等； ③根据可证，得； ； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①根据旋转的性质知， ∵， ， ∴， ∴ ，故①正确； ②因为 与不一定相等，所以与 不一定全等，故②错误； ③∵ ，， ， ∴，得， 即平分，故③错误； ④∵， ∴（勾股定理）， ∵绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴（等量代换）．故④正确． 故答案为：①④． 【点睛】此题主要考查图形的旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 16. 如图，点在反比例函数上，点 在反比例函数上，连接交轴正半轴于点，连接， ，若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，相似的判定和性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达，熟练掌握相似的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．过点 作轴于，过点作轴于，证明 和 相似得，则，设，则，其中，进而得点，点，利用待定系数法求出直线的表达为，继而得点，则，由此得． 【详解】解：过点 作轴于点，过点作轴于点，如图所示： ， ， ， 设，则，其中， 点 的纵坐标为，点的纵坐标为， 点 在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 点 的坐标为，点的坐标为， 设直线的表达式为： ， 得 将代入①得 设直线的表达式为：， 当 时， ， 故答案为：． 三．解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开平方法，熟练掌握因式分解和直接开平方法是解本题的关键； （1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程直接开平方后，转化为两个一元一次方程来求解； 【小问1详解】 因式分解，得 于是得或， 即； 【小问2详解】 解：直接开平方得 即或， 即 18. 已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接 （1）当时，求直线AC的解析式； （2）是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出，坐标，然后用待定系数法求出结果即可； （2）根据点B的横坐标为，得出，，根据，得出，即，求出即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点C的横坐标为2， ∴把代入得： ， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：存在；此时． ∵点B的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 19. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】（1）100，10， 补全条形统计图如图： （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的学生数： （人）， 喜爱舞蹈的人数： （人）， 【小问2详解】 解： （人）， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动， 故答案为：150； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 20. 在平面直角坐标系中，已知， （1）在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； （2）以A为旋转中心，将顺时针旋转形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到关于原点的中心对称的对应点顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）找到顺时针旋转的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 【小问2详解】 如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 21. 2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． （1）求与的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设一次函数表达式为（），根据题意列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设最大利润为元，根据题意得到，根据二次函数的性质计算即可． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为（）， 当销售单价为12元时，日销售量为76个；当销售单价为16元时，日销售量为68个， ， 解得， 与的函数表达式为； 【小问2详解】 解： 销售单价为元，进价为10元/个， 每个徽章的利润为元， 设最大利润为元， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为800元， 徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元． 22. 如图，抛物线交x轴于A(-2，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（备用公式：点与点的距离为） （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）PN=，当m=时，PN有最大值，最大值为 （3）平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为(3，5)或(，) 【解析】 【分析】（1）将A(-2，0)、B(3，0)代入即可计算出结果； （2）表示出PQ＝，而∠PQN＝，故PN＝，进而可求得； （3）分为AQ＝AC，AQ＝CQ和AC＝CQ，列方程求得． 【小问1详解】 解：将A(-2，0)、B(3，0)代入得 ， 解得 所以，抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由，得C(0，3)． 将点B(3，0)、C(0，3)代入y=kx+b，得 解得 所以，直线BC的表达式为y=-x+3． 由M(m，0)，得P(m，)，Q(m，-m+3)． ∴PQ=-(-m+3)= ∵OB=3=0C ∴∠OBC=∠OCB= ∵PM⊥x轴 ∴∠PQN=∠BQM= ∵PN⊥BC ∴∠PQN=∠QPN= ∴PN=== ∴当m=时，PN有最大值，最大值为． 【小问3详解】 假设存在． ∵以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形 ∴以A、C、Q为顶点的三角形一定是等腰三角形 ∵A(-2，0)、C(0，3)、Q(m，-m+3) ∴AC==，AQ==，CQ== ①当AC=AQ时，= 解得m=1或m=0（舍） 此时，点 (1，2)， 此时，相当于将Q1向右平移两个单位，在向上平移3个单位得D1 ∴对应点的横坐标为：1+2=3，纵坐标为2+3=5， ∴ (3，5) ②当AC=CQ时，= 解得m=或m=（舍） ∴点 (，3)， 此时，相当于将Q2向左平移两个单位，在向下平移3个单位得D2 ∴对应的点(2，) ③当AQ=CQ时，= 解得m=（舍） 综上可得，平面内存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．点D的坐标为(3，5)或(2，)． 【点睛】本题考查二次函数及其图象的性质，分类讨论思想，属于中考压轴题，解决问题的关键熟练掌握二次函数相关知识，并能正确分类并列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题 一．选择题（每小题3分，共36分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ） A. 关于原点对称 B. 关于 轴对称 C. 关于轴对称 D. 轴 6. 关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 将分别标有“善”、“行”、“日”、“照”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“日照”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中， ， ，边在 轴上，将绕原点 逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为2的正方形内接于，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到 ，旋转角，连接并延长至点F，使 ，连接 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，中，，， ，点P从A点开始沿向B点以 的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或6 二．填空题（每小题3分，共12分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______． 14. 已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则________． 15. 如图，在 中，，D、E是斜边上两点，且 将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接 ，下列结论中正确的是____________．（填写序号） ① ；② ；③ 平分；④ 16. 如图，点在反比例函数上，点 在反比例函数上，连接交 轴正半轴于点 ，连接， ，若，则的面积是______． 三．解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接 （1）当时，求直线AC的解析式； （2）是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由． 19. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 20. 在平面直角坐标系中，已知， （1）在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； （2）以A为旋转中心，将顺时针旋转 形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 21. 2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价 （元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． （1）求与 的函数表达式； （2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，抛物线交x轴于A(-2，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，连AC、BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（备用公式：点与点的距离为） （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中，平面内是否存在点D，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $