第04讲 二次根式（复习讲义，3命题点+10题型+5重难突破）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“二次根式”中考核心考点，涵盖概念（有意义条件、最简、同类）、性质（双重非负性等）、运算（加减乘除及混合运算）三大模块，通过知识网络构建梳理内在联系。设计“考情剖析-考点解析-命题洞察-重难突破-分层练习”教学流程，以真题讲解突破化简求值、规律探究等难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于“重难突破”策略创新，如通过双重非负性典例培养推理意识，结合分母有理化训练提升运算能力。设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”三级练习，配合5分钟限时真题训练，助力学生高效掌握核心素养，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 9 命题点一 二次根式的概念 题型01二次根式有无意义的条件 题型02二次根式的值 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 命题点二 二次根式的性质 题型01利用二次根式的性质求解 题型02二次根式的化简 命题点三 二次根式的运算 题型01二次根式的加减 题型02二次根式的乘除 题型03二次根式的混合运算 题型04二次根式的化简求值 05·重难突破·思维进阶 22 突破一 二次根式的大小比较 突破二 分母有理化 突破三 二次根式的规律运算探究 突破四 二次根式的双重非负性 突破五 二次根式的多重根号化简 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的概念与性质 浙江卷T21 / 金华卷T5 台州卷T3 概念理解：了解二次根式的定义，能区分二次根式与其他代数式；了解最简二次根式的概念，明确其满足 “被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式” 两个条件。 有意义条件：掌握二次根式有意义（被开方数a≥0）、无意义（被开方数a<0）的判断；若式子含多个二次根式或分母，需同时满足 “所有被开方数非负 + 分母不为 0”。 性质掌握：熟练运用二次根式的核心性质值. 二次根式的计算 / 浙江卷T17 金华卷T17 温州卷T17 衢州卷T17 绍兴卷T17 基本运算：了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则。 混合运算：掌握二次根式的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内），可结合整式乘法法则（如分配律）、乘法公式（平方差、完全平方）简化运算，运算结果需化为最简二次根式。 限制要求：不要求分母有理化（仅需将分母化为整数或最简形式，无需复杂有理化操作）。 命题预测 近三年浙江中考二次根式考点覆盖率约七成，合计分值 3-5分，聚焦基础应用。考察趋势为：概念与性质侧重二次根式有意义条件、估值（如介于 3-4 之间），多以选择/填空形式出现；计算类核心是二次根式化简与实数混合运算（结合绝对值、零指数幂等），均为解答题小题，不涉及复杂四则运算，强调运算准确性。2025 年新增二次根式近似计算，仍依托基础性质，未超纲。2026 年中考将延续这一趋势：分值保持3-5分，题型稳定“选择 / 填空（概念）+ 解答小题（混合运算）”；核心考点不变，重点考查最简二次根式化简、混合运算顺序；可能结合代数变形或简单实际情境设计题目，难度无提升，不涉及复杂分母有理化或高次运算。备考需夯实性质应用，规避符号、被开方数非负等易错点。 考点一 二次根式的概念与性质 1. 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4. 二次根式的性质： ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 5. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6. 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.（2023·浙江金华·中考真题）要使有意义，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴四个选项中，只要D选项中的2符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 2.（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3.（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 4.（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5.（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 考点二 二次根式的计算 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则运算判断． 【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； B、 ，原计算错误，本选项不合题意； C、 ，计算正确，本选项符合题意； D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键． 2.（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 3.（2020·上海·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 4.（2023·广东·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 5.（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 6.（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 7.（2021·山西·中考真题）化简计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8.（2021·甘肃兰州·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题是二次根式的混合运算，运用乘法分配律将式子展开，借助二次根式乘法法则计算，再把所得二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式，得出结果，综合考查了二次根式相关运算知识与方法． 【详解】解： . 9.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 命题点一 二次根式的概念 ►题型01 二次根式有无意义的条件 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解： 有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与零指数幂有意义的条件，熟练掌握两者的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和零次幂有意义的条件求解即可． 【详解】解：要使 在实数范围内有意义，需满足 ，即 ； 要使 在实数范围内有意义，需满足底数，即， 综上，实数的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式1-2】（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式1-3】（21-22八年级上·上海·期中）若有意义，则应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型02 二次根式的值 【典例2】（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【变式2-1】（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 【变式2-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． ►题型03 最简二次根式 【典例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，无法进一步化简，属于最简二次根式，符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． ►题型04 同类二次根式 【典例4】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 利用二次根式的性质求解 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：原方程可化为． ∵，，， ∴，，， 即， 解得，，． ∴． 故答案为：2025． 【变式1-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，绝对值和平方的非负性，负整数指数幂，利用绝对值和平方的非负性，将原方程分解为两个部分分别等于零，结合条件确定和的值，再计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 且 ， ∴， ， ∴或， 当时，代入，得，即，无解； 当时，代入，得，即， ∴或， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性，算术平方根的非负性，有理数乘方，根据绝对值和算术平方根均为非负数，则它们的和为零，所以每个部分必须为零，即，，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． ►题型02 二次根式的化简 【典例2】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 【变式2-1】（2025·山西吕梁·二模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的化简．先计算被开方数，再求算术平方根， 【详解】解：． 故答案为：2． 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 根据公式，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知，那么可化简为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二次根式的性质化简．二次根式规律总结：当时，，当时，，解题关键是要判断根号下代数式的正负再去掉符号． 根据二次根式的性质和绝对值的定义解答． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的加减 【典例1】（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可． 【详解】解：； A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选A． 【变式1-1】（2025·吉林辽源·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法，根据二次根式的性质以及二次根式的减法进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-2】（2022·江苏南京·中考真题）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算． 先化简二次根式，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 首先化简二次根式，进而进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1-4】（2025·江苏南京·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将两个二次根式依次化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． ►题型02 二次根式的乘除 【典例2】（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先计算，然后运用二次根式的乘法、除法以及混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：， A． ，故不符合题意； B． ，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故符合题意． 故选D． 【变式2-1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，直接计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·山西临汾·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先根据平方差公式计算乘法、并根据二次根式的除法运算法则计算除法，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-3】（2025·青海玉树·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题关键是掌握二次根式的乘除混合运算． 先将化为，再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． ►题型03 二次根式的混合运算 【典例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（2025·内蒙古·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值化简，特殊角的三角函数值，解题的关键在于熟练运用各知识点分别化简每一项，注意符号和运算顺序；分别化简各项，代入原式合并同类项计算． 【详解】解： 【变式3-2】（2025·辽宁·一模）计算：； 【答案】7 【分析】本题考查二次根式的运算，涉及到零指数幂、算术平方根等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．根据算术平方根、绝对值、零指数幂分别求解后，进一步计算即可求解． 【详解】解：， ． 【变式3-3】（2025·山西·一模）计算：． 【答案】； 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解： ． ►题型04 二次根式的化简求值 【典例4】（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 【变式4-2】（2022·湖南郴州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算分式的乘法，再算减法，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式4-3】（2025·福建福州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 突破一 二次根式的大小比较 【典例1】（20-21九年级上·四川乐山·期中）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 【变式1-2】（2021·陕西西安·三模）比较大小：3 5．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】＜． 【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：3=，5=， ∵45＜50， ∴ ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键． 突破二 分母有理化 【典例2】（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化、无理数的大小估计，先将二次根式分母有理化，判断无理数部分的范围，然后根据不等式的性质，求出整个式子值的范围，求出其整数部分，最后即可求出其小数部分得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为0，小数部分为， 故选：A． 【变式2-1】（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，零指数幂，二次根式的性质化简，根据分母有理化，零指数幂的运算法则，二次根式的性质计算各项进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式2-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内减法，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 突破三 二次根式的规律运算探究 【典例3】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 【变式3-2】（2021·江苏苏州·一模）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； (2)用含（为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； (3)利用上述结果计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出，再裂项计算即可； 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ∴第⑤个式子是：； （2）第n个等式为； （3）原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． 【变式3-3】（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 突破四 二次根式的双重非负性 【典例4】（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 【答案】(1)-2 (2)x+y的值为2或8； (3)m+n的值为1． 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为-2； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值． 【详解】（1）解：∵， 且≥0，≥0， ∴a-1=0，且3+b=0， ∴a=1，b=-3， ∴a+b=-2； 故答案为：-2； （2）解：∵x2+9， ∴y-5≥0且5-y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y=5， ∴x2=9， ∴x=±3， 当x=3时，x+y=3+5=8； 当x=-3时，x+y=-3+5=2； 答：x+y的值为2或8； （3）解：∵|2m-4|+|n+2|++4=2m， ∴（m-3）n2≥0， ∴m≥3， ∴2m-4＞0， ∴|2m-4|+|n+2|++4=2m， 2m-4+|n+2|++4=2m， ∴|n+2|+=0， ∵|n+2|≥0，≥0， ∴n+2=0，（m-3）n2=0， ∴n=-2，m=3， ∴m+n=3-2=1． 【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川达州·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的运算，绝对值的非负性，三角形三边关系． （1）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性求出m，n的值，进而代入计算即可； （2）根据二次根式的非负性求出x，y的值，进而代入计算即可； （3）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方的非负性求出a、b、c的值，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴或 （3）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 突破五 二次根式的多重根号化简 【典例5】（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）； 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键。． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的a，b与m，n的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，，，均为正整数， ∴， 故答案为：，；   （3）∵， ∴，    ∴， ∴，   ∴． 1.（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 2.（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意得即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式 有意义， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A选项符合题意； B、，故不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、，故不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 4.（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分母有理化，根据题意利用平方差知识，分子分母同时乘以，继而得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 5.（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数非负，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为 ． 6.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）若，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的性质．根据平方差公式得出，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入， 则原式， ， ， ． 故答案为：． 7.（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 8.（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9.（2025·浙江·模拟预测）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，先由得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 10.（25-26九年级上·浙江金华·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】原式 ． 11.（24-25九年级下·浙江台州·期末）以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：     ．．．．．．第①步     ．．．．．．第②步     ．．．．．．第③步     ．．．．．．第④步 【任务】 (1)上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为______；（填“平方差公式”或“完全平方公式”） (2)上述解答过程，从第______步开始出错； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)完全平方公式； (2)③ (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答； （3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为， 故答案为：完全平方公式； （2）第3步计算错误， ， 故答案为：③； （3）解： 1.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 2.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3.（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∵为正整数，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∴ ， ∵为正整数且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴． ∴ ， 故答案为：． 4.（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 5.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 6.（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解： ． 1.（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 2.（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3.（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 4.（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 5.（2025·湖南·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6.（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 7.（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 8.（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 6 命题点一 二次根式的概念 题型01二次根式有无意义的条件 题型02二次根式的值 题型03最简二次根式 题型04同类二次根式 命题点二 二次根式的性质 题型01利用二次根式的性质求解 题型02二次根式的化简 命题点三 二次根式的运算 题型01二次根式的加减 题型02二次根式的乘除 题型03二次根式的混合运算 题型04二次根式的化简求值 05·重难突破·思维进阶 9 突破一 二次根式的大小比较 突破二 分母有理化 突破三 二次根式的规律运算探究 突破四 二次根式的双重非负性 突破五 二次根式的多重根号化简 06·优题精选·练能提分 13 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的概念与性质 浙江卷T21 / 金华卷T5 台州卷T3 概念理解：了解二次根式的定义，能区分二次根式与其他代数式；了解最简二次根式的概念，明确其满足 “被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式” 两个条件。 有意义条件：掌握二次根式有意义（被开方数a≥0）、无意义（被开方数a<0）的判断；若式子含多个二次根式或分母，需同时满足 “所有被开方数非负 + 分母不为 0”。 性质掌握：熟练运用二次根式的核心性质值. 二次根式的计算 / 浙江卷T17 金华卷T17 温州卷T17 衢州卷T17 绍兴卷T17 基本运算：了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则。 混合运算：掌握二次根式的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内），可结合整式乘法法则（如分配律）、乘法公式（平方差、完全平方）简化运算，运算结果需化为最简二次根式。 限制要求：不要求分母有理化（仅需将分母化为整数或最简形式，无需复杂有理化操作）。 命题预测 近三年浙江中考二次根式考点覆盖率约七成，合计分值 3-5分，聚焦基础应用。考察趋势为：概念与性质侧重二次根式有意义条件、估值（如介于 3-4 之间），多以选择/填空形式出现；计算类核心是二次根式化简与实数混合运算（结合绝对值、零指数幂等），均为解答题小题，不涉及复杂四则运算，强调运算准确性。2025 年新增二次根式近似计算，仍依托基础性质，未超纲。2026 年中考将延续这一趋势：分值保持3-5分，题型稳定“选择 / 填空（概念）+ 解答小题（混合运算）”；核心考点不变，重点考查最简二次根式化简、混合运算顺序；可能结合代数变形或简单实际情境设计题目，难度无提升，不涉及复杂分母有理化或高次运算。备考需夯实性质应用，规避符号、被开方数非负等易错点。 考点一 二次根式的概念与性质 1. 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4. 二次根式的性质： ① ② 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 5. 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6. 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.（2023·浙江金华·中考真题）要使有意义，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 2.（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 4.（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 5.（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 考点二 二次根式的计算 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 3. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5. 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·江苏泰州·中考真题）计算等于（    ） A． B．2 C．4 D． 3.（2020·上海·中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4.（2023·广东·中考真题）计算： ． 5.（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 6.（2023·浙江杭州·中考真题）计算： ． 7.（2021·山西·中考真题）化简计算： ． 8.（2021·甘肃兰州·中考真题）计算： 9.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 命题点一 二次根式的概念 ►题型01 二次根式有无意义的条件 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【变式1-2】（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是 ． 【变式1-3】（21-22八年级上·上海·期中）若有意义，则应满足 ． 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． ►题型02 二次根式的值 【典例2】（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 【变式2-2】（2020·浙江杭州·模拟预测）当时，二次根式的值为 ． ►题型03 最简二次根式 【典例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． ►题型04 同类二次根式 【典例4】（2025·河北唐山·三模）下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 命题点二 二次根式的性质 ►题型01 利用二次根式的性质求解 【典例1】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是 ． 【变式1-1】（2025九年级上·重庆·专题练习）已知，且，则 ． 【变式1-2】（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川眉山·期中）若，满足，则 ． ►题型02 二次根式的化简 【典例2】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）化简： ． 【变式2-1】（2025·山西吕梁·二模）计算： ． 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【变式2-3】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知，那么可化简为 ． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的加减 【典例1】（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·吉林辽源·三模）计算： ． 【变式1-2】（2022·江苏南京·中考真题）化简： ． 【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）计算： ． 【变式1-4】（2025·江苏南京·三模）计算的结果是 ． ►题型02 二次根式的乘除 【典例2】（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·贵州·模拟预测）计算的结果是 ． 【变式2-2】（2025·山西临汾·二模）计算： ． 【变式2-3】（2025·青海玉树·模拟预测）计算： ． ►题型03 二次根式的混合运算 【典例3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【变式3-1】（2025·内蒙古·一模）计算： 【变式3-2】（2025·辽宁·一模）计算：； 【变式3-3】（2025·山西·一模）计算：． ►题型04 二次根式的化简求值 【典例4】（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 【变式4-1】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式4-2】（2022·湖南郴州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式4-3】（2025·福建福州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 突破一 二次根式的大小比较 【典例1】（20-21九年级上·四川乐山·期中）比较大小： ． 【变式1-1】（2024·河北唐山·模拟预测）比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式1-2】（2021·陕西西安·三模）比较大小：3 5．（填“＞”、“＝”或“＜”） 突破二 分母有理化 【典例2】（2024·天津·模拟预测）的小数部分是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·全国·一模）计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【变式2-2】（2025·上海·模拟预测）计算： 【变式2-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 突破三 二次根式的规律运算探究 【典例3】（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【变式3-2】（2021·江苏苏州·一模）观察下列等式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子； (2)用含（为正整数）的等式表示上面各个等式的规律； (3)利用上述结果计算：． 【变式3-3】（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 突破四 二次根式的双重非负性 【典例4】（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 【变式4-1】（25-26八年级上·四川达州·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 突破五 二次根式的多重根号化简 【典例5】（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【变式5-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【变式5-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【变式5-3】（25-26九年级上·四川宜宾·月考）综合与探究： 【观察发现】： ． ； ， ． 【初步探索】： （1）化简：__________________． 【深入探究】： （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得_________，_________． （3）若，且，均为正整数，求的值． 1.（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2022·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）下列式子中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4.（22-23九年级下·浙江绍兴·自主招生）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 5.（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 6.（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）若，，则代数式 ． 7.（2025·浙江宁波·模拟预测） ． 8.（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ． 9.（2025·浙江·模拟预测）已知，则 ． 10.（25-26九年级上·浙江金华·月考）计算： 11.（24-25九年级下·浙江台州·期末）以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：     ．．．．．．第①步     ．．．．．．第②步     ．．．．．．第③步     ．．．．．．第④步 【任务】 (1)上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为______；（填“平方差公式”或“完全平方公式”） (2)上述解答过程，从第______步开始出错； (3)请写出正确的计算过程． 1.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简 ． 2.（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 3.（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 4.（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 5.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 6.（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 1.（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 3.（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 4.（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 5.（2025·湖南·中考真题）化简 ． 6.（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 7.（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 8.（2025·甘肃·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $