第06讲 分式方程（复习讲义，2命题点+9题型+2重难）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程与不等式 第02讲 分式方程 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 12 命题点一 分式方程定义及解分式方程 题型01分式方程的定义 题型02解分式方程 题型03分式方程无解的问题 题型04已知分式方程有增根求参数 题型05根据分式方程解的性质求参数 题型06分式方程的错解问题 题型07定义新运算与分式方程综合 命题点二 分式方程的应用 题型01根据题意列分式方程 题型02分式方程的实际应用 05·重难突破·思维进阶 31 突破一 新定义分式方程 突破二 分式方程与函数综合 06·优题精选·练能提分 41 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解分式方程 浙江卷T18 浙江卷T9 杭州卷T17 嘉兴卷T17 丽水卷T17 了解分式方程的概念，知道分式方程是分母中含有未知数的方程 能解可化为一元一次方程的分式方程，掌握去分母、解整式方程、检验等基本步骤 理解检验的必要性，会检验分式方程的解，能识别增根并说明其产生的原因 分式方程的应用 / / 台州卷T21 温州卷T22 绍兴卷T17 能根据现实情境理解分式方程的意义，能针对具体问题列出分式方程，建立数学模型 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性，判断解是否符合现实情境 能运用分式方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，提升数学建模与问题解决能力 命题预测 近三年浙江中考分式方程考点呈现明显命题变化，2023 年各地市自主命题时，解分式方程和应用均为常考点，解分式方程多见于解答题，多地市同步考查，应用则结合工程、平均量等实际场景出现在解答题中，注重建模能力；2024-2025 年全省统一命题后，侧重考查解分式方程，2024 年为填空题、2025 年为解答题，均聚焦基础解法，分式方程应用未单独命题，整体考查难度偏低，核心强调去分母步骤和增根检验的必要性，分值稳定在 4-8 分。2026年中考将延续省卷命题基调，解分式方程仍为必考点，题型大概率为解答题，仍会重视检验步骤的考查，不排除设置简单增根问题；分式方程应用大概率回归，将结合行程、工程、销售等生活化场景，侧重建模列方程，难度保持基础；整体分值无大幅变化，不考复杂分式方程运算，备考需夯实基础解法，强化检验意识和实际问题的建模能力。 考点一 解分式方程 1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程的解法步骤： ①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程 ②解出对应的整式方程 ③验根 3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1.（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 2.（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 3.（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 4.（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 化系数为1，得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验． 5.（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 6.（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 7.（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 8.（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答． 【详解】解：解，可得， 的方程的解为非负数， ， 解得， ， ， 即， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键． 9.（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 考点二 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 1.（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 3.（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量， 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 4.（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 5.（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 6.（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解． 【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得： 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 7.（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 【答案】3 【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验． 【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得 去分母，得 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：3 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根． 8.（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，由此即可得； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元， 答：新能源车的每千米行驶费用为元． （2）解：①由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得， 答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键． 命题点一 分式方程定义及解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 【典例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． ►题型02 解分式方程 【典例2】（2024·广东清远·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，通过观察分母关系，将方程化简为整式方程求解，并验证分母不为零，即可得到答案． 【详解】解：， 原方程可化简为：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是原方程的解． 故选：C． 【变式2-1】（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，再去括号，移项合并同类项后解出方程的解，再验根，最终确定方程的解． 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 解得或， 检验：当时，， 当时，， 原方程的解为． 故选：C ． 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验． 将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零． 【详解】解： 原方程化为， 两边同乘，得． ∴， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 故选：B． 【变式2-3】（2026·陕西西安·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先方程两边同乘，去分母转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． ►题型03 分式方程无解问题 【典例3】（2022·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 【变式3-1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 【变式3-2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解，即化为整式方程后，整式方程无解，或者整式方程的解是分式方程的增根，分情况讨论即可．注意考虑整式方程的解是分式方程增根的情况，属于易错题． 【详解】解：方程的增根为， 当时，化为整式方程，等号两边同时乘， 得：， 若原分式方程无解，则： ①无解， ，解得， 时，方程无解； ②的解是增根， 把代入， 得：， 时，方程无解； 的值为1或． 故选：C． 【变式3-3】（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 【变式3-4】（2022·湖南郴州·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程无解的条件． 把分式方程化为整式方程，求增根，代入整式方程，即可得的值． 【详解】解： 去分母得， ∵关于的方程无解， ∴， 解得， 把代入， 可得， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 ►题型04 已知分式方程有增根求参数 【典例4】（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式方程有增根的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故的值是3， 故选：B． 【变式4-1】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【变式4-2】（2023·湖北黄石·一模）若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求分式方程的增根，根据分式方程的增根是使整式方程成立，使最简公分母为0的未知数的值，进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 当时，则：或， 当时，，即：，整式方程不成立； 故不是整式方程的解， 故不是分式方程的增根； 当时，，解得：， ∵方程有增根，故，是原方程的增根； 故答案为： 【变式4-3】（2023·甘肃天水·一模）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 ►题型05 根据分式方程解的性质求参数 【典例5】（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 【变式5-1】（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 【变式5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 【变式5-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 方程的解为非正数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是． 故选：B． 【变式5-4】（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据解为正数，求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． ►题型06 分式方程的错解问题 【典例6】（2024·浙江金华·二模）小汪解答“解分式方程： ”的过程如下： 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 解：去分母得：…①， 去括号得：…②， 移项得：…③， 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤， 经检验，是原分式方程的解． 【答案】第①步开始错，正解见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程等知识点，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【变式6-1】（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，从第①步开始错，，解答过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】解：不正确，从第①步开始错，正确步骤如下： 原方程去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 【变式6-2】（21-22八年级上·河北沧州·期末）已知分式方程有解，其中“■”表示一个数． (1)若“■”表示的数为7，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是－1或0，试确定“■”表示的数． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据分式方程的解法即可得； （2）分别解方程和方程，根据这个分式方程有解进行判断即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 方程两边同乘以去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解． （2）解：若“■”是，则方程为， 方程两边同乘以去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 则此时方程无解，与题意不符； 若“■”是0，则方程为， 方程两边同乘以去分母，得， 移项，得， 经检验，是分式方程的解，符合题意； 综上，“■”表示的数是0． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． ►题型07 定义新运算与分式方程综合 【典例7】（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 【变式7-1】（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 【变式7-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 【变式7-3】（2024·四川泸州·二模）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式，先根据新定义解分式方程，求出x的值，再根据题意将x的值代入到不等式中，解不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 将代入中可得， 解得：， 故答案为：． 【变式7-4】（2023·四川内江·二模）对于实数，，定义运算“”如下：，例如．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 已知等式利用题中的新定义化简，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：已知等式变形得：，即， 解得：， 经检验是分式方程的解， 则的值为． 故答案为：． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 根据题意列分式方程 【典例1】（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设实际每小时包x个，原计划每小时包个，根据实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相等，据此列方程． 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 【变式1-1】（2017·山东青岛·一模）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出汽车的速度为千米/小时，则骑自行车的时间为小时，汽车的时间为小时，再根据骑自行车的时间比汽车的时间多20分钟，即小时建立方程即可得． 【详解】解：设骑车学生的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时， 由题意得：骑自行车的时间为小时，汽车的时间为小时， 则所列方程是，即， 故选：C． 【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“新工艺比原工艺少用9小时”这一等量关系列出方程． 【详解】解：设采用新工艺前每小时加工千克梨干， 因此根据题意，列方程为：， 故选：B． 【变式1-3】（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． ►题型02 分式方程的实际应用 【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【答案】所用时间为分秒，能拿到满分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该女生的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程求出速度，进而求出跑步时间，并与满分标准比较做出判断，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该女生的平均速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵(秒)分秒分秒， ∴这名女生本次测试能拿到满分， 答：该女生本次测试所用时间为分秒，本次测试能拿到满分． 【变式2-1】（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是50千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系． 设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度是50千米/小时． 【变式2-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【答案】中巴车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设中巴车的速度为，则大巴车的速度为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设中巴车的速度为，则大巴车的速度为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 答：中巴车的速度为． 【变式2-3】（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 【变式2-4】（2025·广东江门·三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 【变式2-5】（25-26九年级上·云南·月考）某传统文化文创店为了推广国学经典与古典艺术，特意购进以“千里江山图”为元素的团扇和以“兰亭序”为元素的折扇两种商品．据采购记录，每把团扇的进价比每把折扇的进价贵10元．某次进货时，该商店购进团扇、折扇两种商品，用350元购进团扇的数量，恰好等于用300元购进折扇的数量．请你算一算，团扇、折扇每件的进价分别是多少元？ 【答案】团扇每件的进价是70元，折扇每件的进价是60元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设团扇每件的进价是x元，则折扇每件的进价是元，可得：，解方程并检验可得团扇每件的进价是70元，则折扇每件的进价是60元． 【详解】解：设团扇每件的进价是x元，则折扇每件的进价是元， 由题可得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 即团扇每件的进价是70元，折扇每件的进价是60元． 【变式2-6】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 突破一 新定义分式方程 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”．例如：当，时，关于的分式方程的解是，并且，所以成立，因此数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． 1 2 3 17 17 (1)请判断数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，并说明理由． (2)若数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”，请求出与的数量关系． (3)在（2）的条件下，填写上表；然后根据上述表格，小明提出了关于的值的一些猜想，请从以下猜想中选出正确的一个，并进行证明． ①的最小值是8； ②当时，随着值逐渐增大，的值逐渐减小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)填表见解析，猜想①正确，理由见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的解，分式的值，进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）根据（2）的结论，进行求解即可，根据，以及完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：当时，化为， 解得； 经检验是原方程的解； ∵， ∴， 故数对是关于的分式方程的“友好数对”； （2）解：当时，化为， 解得， ∵数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”， ∴， ∴。 ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 填表如下： 1 2 3 8 17 17 8 由表格可知时的值小于时的值， 故②错误； 猜想①正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故的最小值是8；故①正确． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． （1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解； （2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解； （3）把原方程变形为，再结合运用十字分式方程的解得到，，代入式子根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． （2）解∶∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ． （3）解：关于的十字分式方程可化为， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为8． 【变式1-2】（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 【答案】(1)或 (2) (3)满足条件的实数k的值有或或或或 【分析】（1）解一元一次方程可得，再根据题意取的值即可； （2）先解分式方程可得，，再解一元一次不等式组可得，根据解集依次取的值，找出所以满足为整数的的值，再相加即可解题； （3）根据题意分①当方程为一元二次方程时，②当方程为一元一次方程时，先将原方程根据平方差公式，完全平方公式化为，得到或，进而得到，再找出所以满足解为整数的整数的值，进而得到的值，以及根据二次项系数为零，一次项系数不为零求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 为“完美”方程， 或； （2）解：（，且a为整数）是“完美”方程， 解得：， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至多有3个整数解， 当其有一个整数解时，即y取，则，解得：，将代入得：，不是整数，故不满足条件； 当其有两个整数解时，即y取、，则，解得：，为整数，故不满足条件； 当其有三个整数解时，即y取、、，则，解得：，将代入得：，是整数，满足条件； 综上，符合条件的所有整数a的和为； （3）解：①当方程为一元二次方程时， ， 或， 或， 且， 是“完美”方程， 和为整数， 又，， ， 即， 整理后得， ，为整数，且，不为， 或， 即（舍去）或或或， 或或， 满足条件的实数k的值有或或； ②当方程为一元一次方程时， ， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，满足条件的实数k的值有或或或或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，解分式方程，解一元一次不等式组，以及分式整除的情况，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 突破二 分式方程与函数综合 【典例2】（22-23八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)8 【分析】（1）把代入解得，得到，把代入得到函数值； （2）由反比例函数图象经过一、三象限，则，在每个象限内，y随着x的增大而减小，可判断出点，是第一象限内的点，则，，，即可得到，，，则； （3）由反比例函数图象经过一、三象限．得到，在每个象限内，y随着x的增大而减小，则反比例函数位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，根据已知条件得到当时，；当时，，则，，得到，解得：（不合题意，舍去）或，得到，则，，由得到，即可求得x的值； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 当时，， 即当时的函数值； （2），理由如下： ∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点，是第一象限内的点， ∴，，， ∴，，， ∴； （3）∵反比例函数图象经过一、三象限． ∴，在每个象限内，y随着x的增大而减小， 反比例函数位于第二、四象限， 在每一象限内随的增大而增大， 又∵，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是， 当时，；当时，， ∴，， ，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴， ∴，， 由得到， 解得， 经检验，是原方程的根， 当时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象分别位于一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当时，反比例函数图象分别位于二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大．熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东泰安·月考）如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； (2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， ， (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题；用待定系数法得到函数解析式是解决本题的基本思路；利用数形结合的思想解决问题是常用的解题方法． （1）利用待定系数法把代入一次函数与反比例函数中，可解出、的值，进而可得解析式，求点坐标，就是把两函数解析式联立，求出、的值； （2）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数大于或等于反比例函数的函数值，即可作答．． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为， 一次函数为常数）的图象经过点， ， ， 一次函数解析式为， ∵， 由， 解得：，， 经检验，，是的根， 当时，， 时，， 两个函数的交点坐标是：， ∵ ； （2）解：由图象可以看出，当或时，则． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知B点的纵坐标为 (1)求反比例函数解析式与点A的坐标； (2)点T为第二象限内反比例函数图象上一点，的面积为，求T点的坐标； (3)如图2，将双曲线第四象限的分支沿射线平移使其经过点A，平移后的曲线与双曲线第二象限的分支另一个交点为C，求的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求出B点坐标，然后再求反比例函数的解析式，再联立方程组求点A的坐标； （2）先联立方程组求点B的坐标，分别过点A，点B作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，构建矩形，用矩形的面积减去外的三个三角形的面积，通过列方程求解即可； （3）根据平移规律写出平移后的解析式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B点的纵坐标为， 把代入直线得，， 解得， 点B的坐标为， 点B在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组，消去y得，， 解得，， ， 把代入，得， 点A的坐标为； （2）解：分别过点A，点B作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，构建矩形， 如图： 由（1）得，， ， 点T为第二象限内反比例函数图象上一点，设点， ，， ，，，，，， ，，， ， ， 解得，，舍去， 的坐标为， （3）解：将双曲线第四象限的分支沿射线平移使其经过点A，即双曲线向上平移5个单位，再向左平移5个单位得到双曲线， 联立方程组， 消去y得， 解得，，， ， 把代入，得， 点C的坐标为，      【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的交点，平移，解方程组，通过解方程组求交点坐标是解题的关键． 1.（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：12分钟， 设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意，得：． 故选：D． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项和交叉相乘求解分式方程，并验证分母不为零． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 验证：当 时，分母 且 ，成立. ∴ 方程的解为 ， 故选：B． 3.（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 4.（2019·辽宁本溪·一模）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球，采用新技术前，生产时间为天，采用新技术后，生产时间为天，再根据一共用了21天完成任务即可列出对应的方程． 【详解】解：设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球， 由题意得，， 故选：B． 5.（2025·甘肃·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程． 先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得． 经检验，当 时，分母， 所以原方程的解为． 故答案为：． 6.（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 7.（2025·北京海淀·模拟预测）方程的解为 【答案】 【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以，将分式方程化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合原方程即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得 ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 8.（2023·江苏苏州·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 即分式方程的解是． 9.（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 1.（2024·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意，得：， 整理得． 故选：． 2.（2025·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．求的汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了．等量关系为：原来时间现在时间2． 【详解】解：设汽车原来的平均速度是， 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， 所以，汽车原来的平均速度是． 故选：B． 3.（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 由不等式组有且只有两个奇数解，得到， 解得：， 即整数，3，4，5，6，7，8，9， 分式方程去分母得：， 解得：， 由分式方程解为非负整数， 得到，6，8，之和为16， 故选：B． 4.（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 5.（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查定义新运算，解分式方程，根据新定义的法则，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解，且满足题意； 故答案为：． 7.（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元 (2)当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为a元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台，列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半，列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元， 根据题意得： 解得． 经检验∶ 是原方程的解且符合题意． 此时 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元． （2）解：根据题意得， 解得， 由题意得： ∵， ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w取得最小值，最小值为12800， 答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元． 8.（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【答案】八年级（1）班平均每人捐款5元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元，根据八年级（1）班比八年级（2）班多2人列方程求解． 【详解】解：设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元， 由题意得：， 解这个方程得：， 经检验：是原方程的解，符合题意， 答：八年级（1）班平均每人捐款5元． 9.（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 1.（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 2.（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 3.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 4.（2025·湖北武汉·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．先将分式方程化为整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 所以原方程的解为， 故答案为：． 5.（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 6.（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 7.（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【答案】模型A每小时能处理数据 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，根据“模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 8.（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第02讲 分式方程 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 12 命题点一 分式方程定义及解分式方程 题型01分式方程的定义 题型02解分式方程 题型03分式方程无解的问题 题型04已知分式方程有增根求参数 题型05根据分式方程解的性质求参数 题型06分式方程的错解问题 题型07定义新运算与分式方程综合 命题点二 分式方程的应用 题型01根据题意列分式方程 题型02分式方程的实际应用 05·重难突破·思维进阶 31 突破一 新定义分式方程 突破二 分式方程与函数综合 06·优题精选·练能提分 41 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解分式方程 浙江卷T18 浙江卷T9 杭州卷T17 嘉兴卷T17 丽水卷T17 了解分式方程的概念，知道分式方程是分母中含有未知数的方程 能解可化为一元一次方程的分式方程，掌握去分母、解整式方程、检验等基本步骤 理解检验的必要性，会检验分式方程的解，能识别增根并说明其产生的原因 分式方程的应用 / / 台州卷T21 温州卷T22 绍兴卷T17 能根据现实情境理解分式方程的意义，能针对具体问题列出分式方程，建立数学模型 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性，判断解是否符合现实情境 能运用分式方程解决简单的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，提升数学建模与问题解决能力 命题预测 近三年浙江中考分式方程考点呈现明显命题变化，2023 年各地市自主命题时，解分式方程和应用均为常考点，解分式方程多见于解答题，多地市同步考查，应用则结合工程、平均量等实际场景出现在解答题中，注重建模能力；2024-2025 年全省统一命题后，侧重考查解分式方程，2024 年为填空题、2025 年为解答题，均聚焦基础解法，分式方程应用未单独命题，整体考查难度偏低，核心强调去分母步骤和增根检验的必要性，分值稳定在 4-8 分。2026年中考将延续省卷命题基调，解分式方程仍为必考点，题型大概率为解答题，仍会重视检验步骤的考查，不排除设置简单增根问题；分式方程应用大概率回归，将结合行程、工程、销售等生活化场景，侧重建模列方程，难度保持基础；整体分值无大幅变化，不考复杂分式方程运算，备考需夯实基础解法，强化检验意识和实际问题的建模能力。 考点一 解分式方程 1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程的解法步骤： ①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程 ②解出对应的整式方程 ③验根 3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1.（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2.（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 3.（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4.（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 5.（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 6.（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为 ． 7.（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 8.（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 9.（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 考点二 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 1.（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 4.（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6.（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ） A． B． C． D． 7.（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 8.（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 命题点一 分式方程定义及解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 【典例1】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 解分式方程 【典例2】（2024·广东清远·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·内蒙古·模拟预测）方程的解为（    ） A．或 B． C． D．无解 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·陕西西安·一模）解方程：． ►题型03 分式方程无解问题 【典例3】（2022·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【变式3-1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【变式3-2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【变式3-3】（2024·四川宜宾·模拟预测）关于分式方程无解，则的值为 ． 【变式3-4】（2022·湖南郴州·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为 ． 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 ►题型04 已知分式方程有增根求参数 【典例4】（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 【变式4-1】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【变式4-2】（2023·湖北黄石·一模）若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【变式4-3】（2023·甘肃天水·一模）关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 ►题型05 根据分式方程解的性质求参数 【典例5】（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式5-1】（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【变式5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式5-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式5-4】（2023·内蒙古包头·一模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． ►题型06 分式方程的错解问题 【典例6】（2024·浙江金华·二模）小汪解答“解分式方程： ”的过程如下： 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 解：去分母得：…①， 去括号得：…②， 移项得：…③， 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤， 经检验，是原分式方程的解． 【变式6-1】（2024·浙江杭州·三模）小汪解答解分式方程：“”的过程如下： 解：去分母得：…① 去括号得：…②， 移项得：…③． 合并同类项得：…④， 系数化为1得：…⑤ 经检验，是原分式方程的解． 你认为他的解题过程正确吗？若正确，请检验；若不正确，请指出错误（从第几步开始错），并写出正确的解答过程． 【变式6-2】（21-22八年级上·河北沧州·期末）已知分式方程有解，其中“■”表示一个数． (1)若“■”表示的数为7，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是－1或0，试确定“■”表示的数． ►题型07 定义新运算与分式方程综合 【典例7】（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【变式7-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为，，若，则 ． 【变式7-3】（2024·四川泸州·二模）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围为 ． 【变式7-4】（2023·四川内江·二模）对于实数，，定义运算“”如下：，例如．若，则的值为 ． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 根据题意列分式方程 【典例1】（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2017·山东青岛·一模）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）某果干加工坊要加工千克梨干，本次加工采用了新工艺，工效提高了，加工同样重量的梨干比原来就少用．求采用新工艺前每小时加工多少千克梨干？设采用新工艺前每小时加工千克梨干，则下列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·山东青岛·模拟预测）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． ►题型02 分式方程的实际应用 【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）年广东省中考体育考试中女生米项目的满分标准为分秒．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完米比这名男生跑完米所用时间少秒，求该女生本次测试所用的时间．按照中考考核标准，判断这名女生本次测试是否能拿到满分． 【变式2-1】（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 【变式2-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）某学校为开展社会实践活动共租用一辆大巴车和一辆中巴车，已知活动地点距离学校，大巴车和中巴车同时从学校出发，大巴车的速度是中巴车的1.2倍，结果大巴车比中巴车早到，求中巴车的速度． 【变式2-3】（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【变式2-4】（2025·广东江门·三模）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【变式2-5】（25-26九年级上·云南·月考）某传统文化文创店为了推广国学经典与古典艺术，特意购进以“千里江山图”为元素的团扇和以“兰亭序”为元素的折扇两种商品．据采购记录，每把团扇的进价比每把折扇的进价贵10元．某次进货时，该商店购进团扇、折扇两种商品，用350元购进团扇的数量，恰好等于用300元购进折扇的数量．请你算一算，团扇、折扇每件的进价分别是多少元？ 【变式2-6】（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 突破一 新定义分式方程 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”．例如：当，时，关于的分式方程的解是，并且，所以成立，因此数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． 1 2 3 17 17 (1)请判断数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，并说明理由． (2)若数对（，）是关于的分式方程的“友好数对”，请求出与的数量关系． (3)在（2）的条件下，填写上表；然后根据上述表格，小明提出了关于的值的一些猜想，请从以下猜想中选出正确的一个，并进行证明． ①的最小值是8； ②当时，随着值逐渐增大，的值逐渐减小． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）形如（不为零，且两个解分别为， （）的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（其中，），求的最大值． 【变式1-2】（22-23八年级下·湖南长沙·月考）我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 突破二 分式方程与函数综合 【典例2】（22-23八年级下·浙江杭州·月考）已知反比例函数图象经过一、三象限． (1)若函数过点，求当时的函数值y， (2)若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系，并说明理由； (3)设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，求x为何值时， ． 【变式2-1】（24-25九年级上·山东泰安·月考）如图，已知一次函数（为常数）的图象与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点． (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； (2)观察图象，写出使函数值的自变量x的取值范围． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知B点的纵坐标为 (1)求反比例函数解析式与点A的坐标； (2)点T为第二象限内反比例函数图象上一点，的面积为，求T点的坐标； (3)如图2，将双曲线第四象限的分支沿射线平移使其经过点A，平移后的曲线与双曲线第二象限的分支另一个交点为C，求的长度． 1.（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 4.（2019·辽宁本溪·一模）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·甘肃·一模）分式方程的解是 ． 6.（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为 ． 7.（2025·北京海淀·模拟预测）方程的解为 8.（2023·江苏苏州·一模）解方程：． 9.（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 1.（2024·福建·模拟预测）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 3.（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 4.（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 5.（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 6.（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）我们规定：对于任意的正数a、b的“”运算为， ，若，则 x 的值为 ． 7.（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 8.（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 9.（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 1.（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 2.（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是 ． 4.（2025·湖北武汉·中考真题）方程的解是 ． 5.（2025·陕西·中考真题）解方程：． 6.（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 7.（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 8.（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $