2026年中考数学专题突破：分式与分式方程（广东省适用）

2026年中考数学专题突破：分式与分式方程（广东省适用） 一、选择题 1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数中自变量x的取值范围是（　　） A．x≠-1 B．x＞-1 C．x≠1 D．x≠0 3．下列分式变形正确的是（　　) A． B． C． D． 4．若分式方程有增根，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D． 5．关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是 ) A．a<-3 B．a<3 C．a<-3且a≠-7 D．a<3且a≠1 6．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B． C． D． 7．绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 8．全程平均速度均为v千米/小时的成都东到西安北的某趟动车经停绵阳站，具体信息如表，现已知绵阳到西安北的时间t2比成都东到绵阳的时间t1多3.2小时，则根据该关系可列出关于v的方程是（　　） 区间段 区间近似里程（千米） 区间平均速度（v千米/小时） 相应时间（小时） 成都东﹣绵阳 110 v 绵阳﹣西安北 540 v A． B． C． D． 9．关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（　　） A． B．18 C． D．9 10．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后含项的系数为（　　） A．12 B． C．60 D． 二、填空题 11．若分式 的值为0，则a的值为　 　. 12．函数 中自变量x的取值范围是　 　． 13． 已知 则代数式 的值为　 　. 14．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为　 　. 15．如图，标号为①，②，③，④的四个长方形以不重叠的方式围成长方形．已知①和②全等，③和④全等，且这四个长方形的面积都是6．设，，且．则为　 　． 16．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是　 　． 三、解答题 17．解方程： （1） （2） 18．先化简，再从，，1中选一个合适的数作为x的值代入求值． 19．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则　 　，　 　； （2）若，是方程的两根，求，的值； （3）已知两个不同的实数，满足，，求的值． 20．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 21．根据以下信息，探索完成任务： 素材1 采荷中学组织七年级学生开展茶文化研学活动，准备租用、两种型号的客车，其中型车每辆租金500元，型车每辆租金400元 素材2 4辆型车和3辆型车坐满后共搭载200人，3辆型车和4辆型车坐满后共搭载185人． 素材3 该年级计划租用、两种型号的客车共20辆，且型车的数量不少于型车的数量的7倍． 问题解决： （1）每辆、型车坐满后分别可以搭载几人？ （2）请设计一种最佳租车方案，使租车的总租金最少，并求出相应的最少租金． （3）若该年级准备只租用型车若干辆，且要求每辆车的乘客人数相等．若每辆车搭载18名学生，则有5名学生未能上车；若安排1辆车搭载教师，则所有的学生正好能平均搭乘到其他各车上．求该年级租用多少辆型车？有多少名学生参加研学活动？ 22．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有　 　（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； （3）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】1 12．【答案】且 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）解：方程两边乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴分式方程的解是； （2）解：方程两边乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 18．【答案】解： ， 若使分式有意义，则，， 解得，， 只能取， 原式． 19．【答案】（1）； （2）解：∵，是方程的两根∴， ∴，． （3）解：∵两个不同的实数，满足，，∴，，，可看作方程的两根， ∴，， ∴， 即的值为． 20．【答案】（1）答：、； （2）解： ∵， ∴； （3）解： ， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 21．【答案】（1）解：设每辆A型车坐满后可以搭载x人，每辆B型车坐满后可以搭载y人， 根据题意可列方程组，得：， 解这个方程组，得：， 答：每辆A型车坐满后可以搭载35人，每辆B型车坐满后可以搭载20人. （2）解：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意可列不等式为：a≥7（20-a）， 解这个不等式，得：a≥17.5， ∵a为整数， ∴a的值为18，19，20， 设租车的总租金为w元， 则w=500a+400（20-a）=100a+8000， 当a=18时，w=100×18+8000=9800（元）， 当a=19时，w=100×19+8000=9900（元）， 当a=20时，w=100×20+8000=10000（元）， 9800＜9900＜10000， 答：当租用18辆A型车、2辆B型车时，租金最少，最少租金为9800元. （3）解：设租用B型车m辆，共有n名学生， 根据题意可知，n=18m+5，且n是m-1的整数倍， 即是整数，且由（2）可知，B型车最多搭载20人， ∴m=24， 经检验，m=24是原分式方程的解， ∴n=18×24+5=437（名）， 答：该年级租用24辆B型车，有437名学生参加研学活动. 22．【答案】（1）①③ （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 学科网（北京）股份有限公司 $