1.4线段的垂直平分线同步培优讲义（5知识点+3大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步培优讲义

1.4线段的垂直平分线同步培优讲义 （5知识点+3大题型+过关检测） 【题型1 线段垂直平分线的性质】 4 【题型2 线段垂直平分线的判定】 7 【题型3 作垂线（尺规作图）】 14 · 理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线，明确其“垂直于线段”且“平分线段”的双重特征。 · 牢记线段垂直平分线的核心性质，能直接运用性质判断线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离关系。 · 掌握线段垂直平分线的判定方法，能根据“点到线段两端点距离相等”判定该点在线段的垂直平分线上。 · 掌握用尺规作图作线段垂直平分线的规范步骤，能独立完成作图，明确作图的依据。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.2、1.3知识点，铺垫本节课内容） 1. 等腰三角形的性质与判定：等边对等角、等角对等边，三线合一（线段垂直平分线与等腰三角形“三线合一”密切相关，是本节课核心衔接点）。 2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、勾股定理（尺规作图中可辅助验证作图准确性，综合题型中可结合运用）。 3. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形（线段是轴对称图形，其垂直平分线是它的对称轴）。 4. 引入：线段垂直平分线是一种特殊的直线，它既垂直于线段，又平分线段，具备独特的性质；本节课重点学习线段垂直平分线的定义、性质、判定，掌握尺规作图方法，结合指定题型巩固应用，衔接前序几何知识，提升几何推理与作图能力。 知识点1：线段垂直平分线的定义 1. 文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。 2. 符号语言：如图，直线l经过线段AB的中点O，且l⊥AB（l垂直于AB），则直线l是线段AB的垂直平分线。 3. 关键补充（双重特征，缺一不可）： ① 垂直性：直线必须垂直于对应的线段（夹角为90°）； ② 平分性：直线必须经过线段的中点（将线段分成两条长度相等的线段）； ③ 易错点：仅满足“垂直于线段”或“经过线段中点”其中一个条件，误判定为线段的垂直平分线；例如：经过线段中点但不垂直于线段的直线，不是线段的垂直平分线。 4. 补充说明：线段的垂直平分线是一条直线，不是线段或射线；一条线段有且只有一条垂直平分线。 知识点2：线段垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 知识点3：线段垂直平分线的判定 1. 核心内容（性质的逆用） 文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点4：尺规作图——作线段的垂直平分线 1. 作图工具：圆规、直尺（无刻度，仅用于画直线、连接线段）。 2. 规范作图步骤（以作线段AB的垂直平分线为例） ①分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； ②作直线 CD，CD 为所求直线 3. 作图依据 ① 圆的性质：同圆或等圆的半径相等（以A、B为圆心，同样半径画弧，可得AC = AD = BC = BD）； ② 线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上（点C、D都到A、B两点距离相等，因此C、D都在AB的垂直平分线上）； ③ 两点确定一条直线：连接C、D，即可得到AB的垂直平分线。 4. 易错点与注意事项 ① 易错点：圆规的半径小于或等于$\frac{1}{2}$AB，导致两弧无法交于两点，作图失败；作图时仅在线段AB的一侧画弧，无法确定两个交点； ② 注意事项：作图时弧的半径要适当大一些，确保两弧能在AB两侧各有一个交点；连接C、D时，要画成直线（延伸到线段AB两侧），不能画成线段；作图痕迹要清晰，保留弧的交点和作图线条。 知识点5：线段垂直平分线的拓展性质 1. 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线（也可理解为线段本身所在直线，但本节课重点关注垂直平分线）； 2. 三角形三边垂直平分线的交点：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（该点叫做三角形的外心，后续将详细学习）； 3. 线段垂直平分线与等腰三角形的关系：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，都与底边上的垂直平分线重合（呼应等腰三角形“三线合一”性质）。 04 题型•汇总 【题型1 线段垂直平分线的性质】 【典例1】．如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，由线段垂直平分线的性质推出，得到，，由三角形的外角性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：如图，点D是延长线上一点， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 跟随训练1-1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，由作图可知，是的垂直平分线，可得，，由的周长为，可得，所以，然后通过的周长，从而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：． 跟随训练1-2．如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，根据即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵，， ∴的周长是． 故选：B． 跟随训练1-3．如图，是线段的垂直平分线；交于点，连接和．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，先证明，，进一步证明即可． 【详解】证明：∵是线段的垂直平分线； ∴，， ∵， ∴． 【题型2 线段垂直平分线的判定】 【典例2】．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，从而可得的长． 【详解】解：如图，连接交于点G， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：6． 跟随训练2-1．如图，在中，，平分． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图（作线段的垂直平分线）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是（1）掌握线段垂直平分线的尺规作图方法；（2）利用垂直平分线的性质得到，结合角的等量代换证明，再利用角平分线和全等三角形证明． （1）以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为的垂直平分线，分别交、、于点、、，保留作图痕迹； （2）由是的垂直平分线，得，故；结合，得，进而推出，即；再利用平分，结合、，证明，得，从而证明垂直平分． 【详解】（1）解：作的垂直平分线如图所示 分别交，，于点，，． （2）证明：是的垂直平分线， ，． ． ， ． ， ． ． 平分， ． 在和中， （） ． 垂直平分 跟随训练2-2．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 跟随训练2-3．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，M是的中点，P是射线上的点，且，设，则称k为勾股比． (1)如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证：． (2)①如图（2），当，且时，求与的数量关系． ②当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角三角形，直接写出与的数量关系．（用含勾股比k的表达式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；②仍然成立，证明见解析；③ 【分析】（1）由是的中点，得，而，，即可根据""证明，则； （2）①证明垂直平分，得到，证明是等腰直角三角形，进而可证明是等腰直角三角形，得到，由，得，则，则，结合，即可得到答案；②延长到H，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，则可证明，进而可证明，设，，则，，由勾股定理可证明，，即可证明；③设，则，由勾股定理得，，，则；同理可证明，则，据此可得结论。 【详解】（1）证明：是的中点， ， 于点，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． （2）解：①，是的中点， ，， ，垂直平分， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ． ②结论仍然成立，证明如下： 如图（1）所示，延长到H，使得，连接， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 设，， 则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 在中，由勾股定理得 ∴， ， ， ． ③如图（1）所示，由（1）得， 设，则， ∵于E，于D， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定定理，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式是解题的关键． 【题型3 作垂线（尺规作图）】 【典例3】．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 跟随训练3-1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，进而判断各选项即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，， 无法判断． 故选：A． 跟随训练3-2．按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合角平分线的尺规作图步骤进行作答即可． （2）结合过直线外一点作已知直线的垂线作图步骤进行作答即可． 【详解】（1）解：作的平分线，如图所示： （2）解：过点作直线的垂线，如图所示： 跟随训练3-3．教材呈现：华东师大版八年级新教材上册课本92页有这样一道思考题： 如图12.3.8所示，我们还曾利用尺规作图过点作出已知直线的垂线．当点在直线上时，垂线即是平角的平分线所在的直线，那么当点在直线外时，你能证明所作的直线确实是直线的垂线吗？ (1)如图2，请用无刻度的直尺和圆规过直线外一点作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)写出已知、求证并进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图作垂线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据要求写出已知，求证和证明过程即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：已知：按如图所示的尺规作图． 求证：． 证明：如图所示，连接，设交于点O， 由作图知，． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 在中， ， （三线合一）， 即． 05 过关•检测 1．如图，以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，连接交、于点、点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图与性质，以及三角形周长的计算． 解题的关键是利用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），将三角形的边长进行转化． 【详解】解： 由作图可知，是线段的垂直平分线， 因此，且． 已知的周长为，将替换为，可得 ． 的周长为． 故选D． 2．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出再用角平分线求出，由线段垂直平分线得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，最后用外角性质求出． 【详解】解：根据尺规作图痕迹知，平分，是线段的垂直平分线， ， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 3．如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，，则，，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，分别以的顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交边于点E；再分别以的顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线，交边于点F，连接，．若，，，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，证明，，为等边三角形，可得，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵，，， ∴，， 由作图知，分别是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是. 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得出，，则可求出的周长等于，从而可求出的周长． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长． 故选：B． 6．如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题．连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：A． 7．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为28，则的周长等于 ． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴ ∴的周长为18， 故答案为：18． 8．如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质是解决问题的关键． 利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用三角形周长的定义和等线段代换得到的值即可． 【详解】解：由题意，得垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴的周长为． 故答案为：9． 10．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 11．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高，解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 本题连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可解题． 【详解】解：连接，如图所示：   是等腰三角形，点是边的中点， ， ， ， 解得， 是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为， 的长为的最小值， 的周长的最小值为． 故答案为：7． 12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图、垂直平分线的性质、勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据作图可知，是线段的垂直平分线，得到，再利用勾股定理求得，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵由题意得，是线段的垂直平分线， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理：， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，作的垂直平分线交于D，则点D即为所求； （2）连接，证明可得，进而求出，，再过点作交于点，可得，利用勾股定理得 再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点为所求的点． （2）连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点， ， 在Rt中，，由勾股定理得： 14．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________． 【答案】（1）见解析 （2）（a）见解析 （b） 【分析】本题主要考查了尺规作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，射线与直线交于点，点即为所求作的点； (2)(a)分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、； (b)因为点关于、的对称点、，，，所以可得：的周长． 【详解】(1)解：如下图所示， 作的平分线， 则射线上的点到的两边距离相等， 作线段的垂直平分线， 则直线上的点到、的距离相等， 射线与直线交于点， 点即为所求作的点； (2)(a)解：如下图所示： 分别作出点关于、的对称点、， 连接，分别交、于点、； (b)解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， ， 的周长． 故答案为：． 15．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，由勾股定理列出关于x的方程． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，而，因此A、P都在的垂直平分线上，判定为的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：连接，， ∵，的垂直平分线，交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴A、P都在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17【模型引入：2倍角转化】如图1，在中，，，D为延长线上一点． 小明针对此图形展开如下探究： 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 根据上述过程，小明归纳得出如下结论：等腰三角形顶角的邻补角等于一个底角的2倍． 启发：此模型搭建了“角”与“2倍角”的转化桥梁，在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形，将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 【模型应用】 在中，，垂足为点D． (1)如图2，已知，试说明； (2)如图3，已知，，E为延长线上一点，连接，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了中垂线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握中垂线的性质、等腰三角形的判定和性质是关键． （1）作的中垂线交于点E，连接，则．证明．得到．证明．得到，即可得到结论； （2）作的中垂线交于点F，连接，则．证明．在中，由勾股定理，得．解得．即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作的中垂线交于点E，连接，则． 所以． 因为，所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （2）如图，作的中垂线交于点F，连接，则． 所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以． 所以． 在中，由勾股定理，得． 即． 解得． 即的长为3． 18．综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】 任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】[任务学习] ，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；任务1：13；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题考查轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征、完全平方公式的应用和平方根的定义等知识，熟练掌握轴对称性质求最短距离是解答的关键． [任务学习]根据线段垂直平分线的性质求解即可； 任务1：作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，，则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H，然后利用勾股定理，结合已知数值求解即可； 任务2：作C关于平面镜的对称点，连接，，分别交于，，则线段即为所求； 任务3：先根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再根据题干中方法，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接，根据勾股定理可得，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度，过A作交延长线于F，然后利用勾股定理求解，然后解方程即可． 【详解】解：[任务学习] 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线的性质）． ， ．（等量代换） 故答案为：，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等； 任务一：如图2，作A关于河边l的对称点，连接交河边l于点P，连接，， 则线段的长是将军每天走的路程之和最短值，过B作于H， 由题意，，， 在中，， ∴， 即将军每天走的路程之和最短值为13； 任务2：如图3，线段即为所求； 任务3：存在． ∵点为一次函数图像上一点，且点在第一象限， ∴，即，，， 如图，取线段，在线段上取一点C，设，，构造，，使，且，，连接， 则， ，， ∴，当A、C、E共线时取等号，此时的值最小，即的值最小，最小值为的长度， 过A作交延长线于F， 则，，， ∴， ∴的最小值为10． 即． 由得，则， 代入得， ∴， 两边平方,整理得, 再两边平方,整理得,即, ∴,解得,此时, ∴点P的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段的垂直平分线同步培优讲义 （5知识点+3大题型+过关检测） 【题型1 线段垂直平分线的性质】 4 【题型2 线段垂直平分线的判定】 5 【题型3 作垂线（尺规作图）】 6 · 理解线段垂直平分线的定义，能准确识别线段的垂直平分线，明确其“垂直于线段”且“平分线段”的双重特征。 · 牢记线段垂直平分线的核心性质，能直接运用性质判断线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离关系。 · 掌握线段垂直平分线的判定方法，能根据“点到线段两端点距离相等”判定该点在线段的垂直平分线上。 · 掌握用尺规作图作线段垂直平分线的规范步骤，能独立完成作图，明确作图的依据。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接1.2、1.3知识点，铺垫本节课内容） 1. 等腰三角形的性质与判定：等边对等角、等角对等边，三线合一（线段垂直平分线与等腰三角形“三线合一”密切相关，是本节课核心衔接点）。 2. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、勾股定理（尺规作图中可辅助验证作图准确性，综合题型中可结合运用）。 3. 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形（线段是轴对称图形，其垂直平分线是它的对称轴）。 4. 引入：线段垂直平分线是一种特殊的直线，它既垂直于线段，又平分线段，具备独特的性质；本节课重点学习线段垂直平分线的定义、性质、判定，掌握尺规作图方法，结合指定题型巩固应用，衔接前序几何知识，提升几何推理与作图能力。 知识点1：线段垂直平分线的定义 1. 文字语言：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。 2. 符号语言：如图，直线l经过线段AB的中点O，且l⊥AB（l垂直于AB），则直线l是线段AB的垂直平分线。 3. 关键补充（双重特征，缺一不可）： ① 垂直性：直线必须垂直于对应的线段（夹角为90°）； ② 平分性：直线必须经过线段的中点（将线段分成两条长度相等的线段）； ③ 易错点：仅满足“垂直于线段”或“经过线段中点”其中一个条件，误判定为线段的垂直平分线；例如：经过线段中点但不垂直于线段的直线，不是线段的垂直平分线。 4. 补充说明：线段的垂直平分线是一条直线，不是线段或射线；一条线段有且只有一条垂直平分线。 知识点2：线段垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 知识点3：线段垂直平分线的判定 1. 核心内容（性质的逆用） 文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：点P满足PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点4：尺规作图——作线段的垂直平分线 1. 作图工具：圆规、直尺（无刻度，仅用于画直线、连接线段）。 2. 规范作图步骤（以作线段AB的垂直平分线为例） ①分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； ②作直线 CD，CD 为所求直线 3. 作图依据 ① 圆的性质：同圆或等圆的半径相等（以A、B为圆心，同样半径画弧，可得AC = AD = BC = BD）； ② 线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上（点C、D都到A、B两点距离相等，因此C、D都在AB的垂直平分线上）； ③ 两点确定一条直线：连接C、D，即可得到AB的垂直平分线。 4. 易错点与注意事项 ① 易错点：圆规的半径小于或等于$\frac{1}{2}$AB，导致两弧无法交于两点，作图失败；作图时仅在线段AB的一侧画弧，无法确定两个交点； ② 注意事项：作图时弧的半径要适当大一些，确保两弧能在AB两侧各有一个交点；连接C、D时，要画成直线（延伸到线段AB两侧），不能画成线段；作图痕迹要清晰，保留弧的交点和作图线条。 知识点5：线段垂直平分线的拓展性质 1. 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线（也可理解为线段本身所在直线，但本节课重点关注垂直平分线）； 2. 三角形三边垂直平分线的交点：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（该点叫做三角形的外心，后续将详细学习）； 3. 线段垂直平分线与等腰三角形的关系：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，都与底边上的垂直平分线重合（呼应等腰三角形“三线合一”性质）。 04 题型•汇总 【题型1 线段垂直平分线的性质】 【典例1】．如图，点O是三条边的垂直平分线的交点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-3．如图，是线段的垂直平分线；交于点，连接和．求证：． 【题型2 线段垂直平分线的判定】 【典例2】．如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则长为 ． 跟随训练2-1．如图，在中，，平分． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若，证明：垂直平分． 跟随训练2-2．如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 跟随训练2-3．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，M是的中点，P是射线上的点，且，设，则称k为勾股比． (1)如图（1），过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证：． (2)①如图（2），当，且时，求与的数量关系． ②当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角三角形，直接写出与的数量关系．（用含勾股比k的表达式表示） 【题型3 作垂线（尺规作图）】 【典例3】．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，作的平分线； (2)如图2，过点作直线的垂线． 跟随训练3-3．教材呈现：华东师大版八年级新教材上册课本92页有这样一道思考题： 如图12.3.8所示，我们还曾利用尺规作图过点作出已知直线的垂线．当点在直线上时，垂线即是平角的平分线所在的直线，那么当点在直线外时，你能证明所作的直线确实是直线的垂线吗？ (1)如图2，请用无刻度的直尺和圆规过直线外一点作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)写出已知、求证并进行证明． 05 过关•检测 1．如图，以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，连接交、于点、点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中边的垂直平分线交的平分线于F，若，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以的顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交边于点E；再分别以的顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线，交边于点F，连接，．若，，，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D． 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为28，则的周长等于 ． 8．如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为 ． 9．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 10．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为 ． 11．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 12．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线交于点．若线段，，则 ． 13．如图，在中，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． 14．（1）如图（1），已知和线段，求作一点，使，并且点到的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）： （2）如图（2）， （a）分别作出点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、， （b）若，则的周长为___________． 15．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，求的度数． 16．如图，在中，，的垂直平分线，交于点．连接，交于点． (1)求证：为的垂直平分线； (2)若，则__________． 17【模型引入：2倍角转化】如图1，在中，，，D为延长线上一点． 小明针对此图形展开如下探究： 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 根据上述过程，小明归纳得出如下结论：等腰三角形顶角的邻补角等于一个底角的2倍． 启发：此模型搭建了“角”与“2倍角”的转化桥梁，在解题中，若遇2倍角问题，可通过构造等腰三角形，将2倍角转化为该等腰三角形顶角的邻补角，进而求解相关问题． 【模型应用】 在中，，垂足为点D． (1)如图2，已知，试说明； (2)如图3，已知，，E为延长线上一点，连接，，求的长． 18．综合与实践 【任务背景】17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务学习】证明反射路径最短 如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物C关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点E，连接，则为入射光线，为反射光线． 求证：最短．请在空白的横线上填写相应的内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ______，（______）． ， ．（等量代换） 【任务解决】 任务1：帮助将军求解最短行程 如图2，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点宿营，如果点到河边l的距离，点到河边l的距离，、两点间的横向水平距离，则将军每天走的路程之和最短是多少？ 任务2：尺规作图，开孔凿光 如图3，光线从点射出，经平面镜I反射后通过挡板上的小孔落到挡板上，已知挡板上的线段为反射光线投射到的区域范围，请你仅利用圆规和无刻度直尺在图中找出挡板上的小孔． 任务3：数形应用，解决问题 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图4；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图5． 请结合对本题材料的阅读理解解决下面问题： 已知点为一次函数图像上一点，且点在第一象限，则是否存在这样的点，使得代数式的值最小，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $