1.1三角形内角和定理同步培优讲义（5知识点+6大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步培优讲义

1.1三角形内角和定理同步培优讲义 （5知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 三角形内角和定理的证明】 5 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 8 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 10 【题型4 三角形内角和定理的应用】 13 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 15 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 18 · 理解三角形内角和定理的内涵，牢记定理内容（三角形三个内角的和等于180°），能准确表述定理的文字语言和符号语言。 · 掌握三角形内角和定理的两种核心推导方法（剪拼法、推理证明法），能结合平行线的性质，完成简单的推理证明过程。 · 能熟练运用三角形内角和定理，解决基础计算题（求三角形未知内角的度数），杜绝计算、推理步骤不规范等基础错误。 · 理解三角形外角的定义、性质，牢记多边形内角和、外角和公式，能准确运用公式进行基础计算。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前学段知识，铺垫定理推导） 1. 三角形的基础概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，三角形有三个顶点、三条边、三个内角。 2. 平角的性质：平角的度数为180°；平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（定理证明的核心依据）。 3. 小学阶段初步认识：通过剪拼、测量的方法，知道三角形三个内角的和大约是180°，本节课重点通过几何推理，严谨证明这一定理，实现从“感知”到“证明”的提升，贴合八下几何推理的核心要求。 4. 引入：三角形的三个内角之间存在固定的数量关系，我们通过观察、猜想、验证、证明，得出这一关系——三角形内角和定理，它是后续几何推理、角度计算的核心依据；在此基础上，我们进一步学习三角形外角、多边形内角和与外角和的相关知识，完善几何知识体系。 知识点1：三角形内角和定理 1. 定理内容 文字语言：三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：如图，在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（规范表示，后续推理需严格使用）。 补充说明：无论三角形的形状（锐角、直角、钝角三角形）、大小如何，其三个内角的和始终是180°，这是三角形的固有性质。 2. 定理推导（重点+难点，体会“转化思想”，掌握证明方法） 北师大版教材重点要求掌握“剪拼法”（直观验证）和“推理证明法”（严谨证明），两种方法均围绕“将三角形三个内角转化为一个平角（180°）”展开，具体如下： （1）直观验证：剪拼法（贴合小学认知，帮助快速回顾，铺垫证明思路） 步骤：① 剪下△ABC的三个内角（∠A、∠B、∠C）；② 将三个内角的顶点重合，一条边依次拼接在一起；③ 观察发现，三个内角恰好组成一个平角，因此∠A + ∠B + ∠C = 180°。 注意：剪拼法是“直观验证”，不能作为严谨的证明方法，八下学段重点要求掌握“推理证明法”，培养几何推理能力。 （2）严谨证明：结合平行线的性质，完成推理（教材核心方法，必须掌握） 特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 3. 直角三角形： 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 知识点2：三角形外角 1. 定义（核心，精准识别外角） 文字语言：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 符号语言：如图，延长△ABC的边BC至点D，则∠ACD是△ABC的一个外角；同理，延长AB至点E，∠CBE是△ABC的外角，延长AC至点F，∠BCF是△ABC的外角。 补充说明：一个三角形有6个外角，但两两相等（如∠ACD与∠BCF相等），因此我们通常研究三角形的3个外角（每个顶点对应1个外角）；外角位于三角形的外部，且与相邻的内角互为邻补角。 2. 核心性质（重点，由三角形内角和定理推导） · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（核心性质，高频考点）。 · 推导：如图，在△ABC中，∠ACD是外角，∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角定义），且∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（等量代换）。 · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（由性质1推导）。 · 推导：由∠ACD = ∠A + ∠B，可知∠ACD ＞ ∠A，∠ACD ＞ ∠B（两个正数相加，和大于其中任意一个加数）。 · 性质3：三角形的外角和为360°（3个不相等的外角之和，后续可结合多边形外角和理解）。 知识点3：三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360° 知识点4：多边形内角和 1. 基础概念铺垫 多边形：由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（n≥3，n为正整数）；分为凸多边形和凹多边形，北师大版八下重点研究凸多边形（每个内角都小于180°）。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线；一个n边形从一个顶点出发，有（n-3）条对角线，可将n边形分成（n-2）个三角形（推导内角和的核心依据）。 2. 多边形内角和公式 推导思路（转化思想）：将n边形通过作对角线，转化为（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，因此n边形内角和 = （n-2）×180°（n≥3，n为正整数）。 具体推导：以五边形为例，从五边形一个顶点出发，作2条对角线，将五边形分成3个三角形（5-2=3），五边形内角和 = 3×180° = 540°，同理可推导n边形内角和公式。 公式表示：n边形内角和 = （n-2）×180°（如：三角形n=3，内角和=（3-2）×180°=180°，与三角形内角和定理一致，验证公式正确性）。 知识点5：多边形外角和 1. 定义 多边形的每个内角相邻的外角，叫做多边形的一个外角；与三角形外角类似，一个n边形有2n个外角，两两相等，通常研究n个外角（每个顶点对应1个外角）。 2. 核心性质（重点，与边数无关） 核心性质：任意多边形的外角和都等于360°（与边数n无关，n≥3，n为正整数）。 推导思路：以三角形、四边形为例，三角形外角和=360°，四边形外角和=360°，无论n取何值（n≥3），多边形外角和始终为360°；也可通过“n边形内角和+外角和=180°×n”推导（每个顶点的内角与外角互为邻补角，和为180°，n个顶点总和为180°n），即外角和=180°n -（n-2）×180°=360°。 易错点汇总 · 1. 三角形内角和定理相关：① 证明易错（辅助线不规范、推理不标注依据）；② 计算易错（加减错误、忽略内角和为180°）；③ 概念易错（误认为内角和随形状变化）。 · 2. 三角形外角相关：① 识别易错（混淆内角与外角、遗漏边的延长线）；② 性质应用易错（混淆相邻与不相邻内角）；③ 误将外角当作大于所有内角。 · 3. 多边形内角和相关：① 公式记错（误记为n×180°、（n-3）×180°）；② 分三角形个数错误；③ 正多边形内角度数计算遗漏除以n；④ 求边数时解方程出错。 · 4. 多边形外角和相关：① 误认为外角和随边数变化；② 混淆内角和与外角和公式；③ 正多边形外角度数计算错误；④ 综合题型中未能灵活结合内角和与外角和公式。 04 题型•汇总 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【典例1】．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 跟随训练1-1．证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点作，根据平行线性质得出，再根据平角的定义以及等量代换即可解答． 【详解】解：求证：． 证明：如图，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 跟随训练1-2．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例2】．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 跟随训练2-1．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 跟随训练2-2．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【答案】各方法证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键． 对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出． 对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出． 【详解】证明： 对于①，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于②，作， 可得，，， ∵平角度数为，所以 即． 对于③：作， 则， ， ， ， 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例3】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 跟随训练3-1．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D ． 跟随训练3-2．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 【题型4 三角形内角和定理的应用】 【典例4】．如图，已知，，，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． 故选：D． 跟随训练4-1．如图，点D是内一点，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得到，再根据等量代换即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 跟随训练4-2．单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 【典例5】．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 跟随训练5-1．如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 跟随训练5-2．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及翻折性质、三角形外角性质等知识，熟记翻折性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 先由翻折性质得到，再由外角性质得到，，从而得，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 将沿直线翻折，点落在点的位置， ， ，， ， ∴， ， ， 解得， 故选：D． 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 【典例6】．如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的定义：三角形的一个内角的邻补角即为该三角形的外角，据此即可求解． 【详解】解：外角的是和， 故选：B． 跟随训练6-1．请将图中的三个角、、按照大小关系排列 （用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，，进而得出结论． 【详解】解：如图， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 故答案为：． 跟随训练6-2．如图，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，和交于点，和交于点，根据三角形外角得到，，结合已知条件和三角形内角和可得，解方程即可． 【详解】解：设和交于点，和交于点， ∴是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 05 过关•检测 1．如图，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的性质，的度数等于与它不相邻的两个内角的和，据此即可解答． 【详解】解：根据三角形外角的性质，， 故选：． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补是本题的关键．由于平行，，已知，可得的度数，又因，可得的度数，对顶角相等，可得的度数． 【详解】解：由于平行，， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．根据平行线的性质可求出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图为可调节式露营椅的示意图．当各个角度调节至如图所示的位置时体验感最佳，则此时的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质． 利用三角形内角和定理结合对顶角相等求得，利用三角形的外角性质求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D． 5．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 6．如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．根据三角形外角的性质，得出，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 7．如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质计算即可． 本题考查了三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：110． 8．如图，在中，点在的延长线上，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 9．如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据点在射线上的不同位置，分情况讨论，利用平行线性质和翻折性质建立角度关系求解． 先在中求出的度数；再根据，分两种情况求出的度数． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 沿DE翻折得到， ∴ ， ∴设， 分两种情况讨论： 情况一：在线段CB上． ∵ ， ∴ . ∴ . 在中，． 情况二：在CB的延长线上. ∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴，解得． 故答案为：或． 10．如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 11．某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长交于点即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 12．一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键． 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴ ， ∵这个零件， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 13．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明根据全等三角形的性质即可得证； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【详解】（1）证明： 又， ， 在和中， ， ∴； （2）解： ， 又，，， ． 14．如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可得证； （2）根据三角形外角的定义及性质得，再根据全等三角形的性质得，最后根据角的和差可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义及性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一．如图②，伞圈沿着伞的柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且．如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，证明出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：因为伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 因为伞的边缘，与点在同一直线上，，平分， 所以， 又因为， 所以． 因为， 所以． 16．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． （1）如图1所示，判定直线平行直线的依据是：__________； 类比： （2）如图2，若三角形的角的顶点放在上，且，_______； （3）如图3，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； （4）如图4，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系________． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的性质，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，由图形关系即可得到答案； （2）由得到，由题意，数形结合得到，从而得到，解方程即可得到答案； （3）由得到，再由三角形外角性质即可得到与之间的数量关系； （4）过点作，如图所示，由平行线的判定得到，再由平行线的性质得到，从而得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示： 判定直线平行直线的依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：如图所示： ， ， ，， ， ， 解得， 故答案为：； （3）解：与之间的数量关系为： 理由如下： 如图所示： ， ， 是的一个外角， ， 则； （4）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)在负半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了一次函数综合问题，一次函数与坐标轴的交点问题，等边对等角，三角形的外角的性质，勾股定理； （1）根据题意求得，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先联立两直线解析式，求得点，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）作B关于轴的对称点，连接和，根据题意得出则，根据勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令得 ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为：， 把和代入得 ，解得， 直线的函数表达式为：： （2）联立解得 与轴交于点 或 （3）解：如图，作B关于轴的对称点，连接和， 则， 即 ． ． 18．【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】见解析 【结论应用】 【应用拓展】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1三角形内角和定理同步培优讲义 （5知识点+6大题型+过关检测） 【题型1 三角形内角和定理的证明】 5 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 6 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 7 【题型4 三角形内角和定理的应用】 8 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 8 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 9 · 理解三角形内角和定理的内涵，牢记定理内容（三角形三个内角的和等于180°），能准确表述定理的文字语言和符号语言。 · 掌握三角形内角和定理的两种核心推导方法（剪拼法、推理证明法），能结合平行线的性质，完成简单的推理证明过程。 · 能熟练运用三角形内角和定理，解决基础计算题（求三角形未知内角的度数），杜绝计算、推理步骤不规范等基础错误。 · 理解三角形外角的定义、性质，牢记多边形内角和、外角和公式，能准确运用公式进行基础计算。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接前学段知识，铺垫定理推导） 1. 三角形的基础概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，三角形有三个顶点、三条边、三个内角。 2. 平角的性质：平角的度数为180°；平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（定理证明的核心依据）。 3. 小学阶段初步认识：通过剪拼、测量的方法，知道三角形三个内角的和大约是180°，本节课重点通过几何推理，严谨证明这一定理，实现从“感知”到“证明”的提升，贴合八下几何推理的核心要求。 4. 引入：三角形的三个内角之间存在固定的数量关系，我们通过观察、猜想、验证、证明，得出这一关系——三角形内角和定理，它是后续几何推理、角度计算的核心依据；在此基础上，我们进一步学习三角形外角、多边形内角和与外角和的相关知识，完善几何知识体系。 知识点1：三角形内角和定理 1. 定理内容 文字语言：三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：如图，在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°（规范表示，后续推理需严格使用）。 补充说明：无论三角形的形状（锐角、直角、钝角三角形）、大小如何，其三个内角的和始终是180°，这是三角形的固有性质。 2. 定理推导（重点+难点，体会“转化思想”，掌握证明方法） 北师大版教材重点要求掌握“剪拼法”（直观验证）和“推理证明法”（严谨证明），两种方法均围绕“将三角形三个内角转化为一个平角（180°）”展开，具体如下： （1）直观验证：剪拼法（贴合小学认知，帮助快速回顾，铺垫证明思路） 步骤：① 剪下△ABC的三个内角（∠A、∠B、∠C）；② 将三个内角的顶点重合，一条边依次拼接在一起；③ 观察发现，三个内角恰好组成一个平角，因此∠A + ∠B + ∠C = 180°。 注意：剪拼法是“直观验证”，不能作为严谨的证明方法，八下学段重点要求掌握“推理证明法”，培养几何推理能力。 （2）严谨证明：结合平行线的性质，完成推理（教材核心方法，必须掌握） 特别说明：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 3. 直角三角形： 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 特别说明：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 知识点2：三角形外角 1. 定义（核心，精准识别外角） 文字语言：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 符号语言：如图，延长△ABC的边BC至点D，则∠ACD是△ABC的一个外角；同理，延长AB至点E，∠CBE是△ABC的外角，延长AC至点F，∠BCF是△ABC的外角。 补充说明：一个三角形有6个外角，但两两相等（如∠ACD与∠BCF相等），因此我们通常研究三角形的3个外角（每个顶点对应1个外角）；外角位于三角形的外部，且与相邻的内角互为邻补角。 2. 核心性质（重点，由三角形内角和定理推导） · 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（核心性质，高频考点）。 · 推导：如图，在△ABC中，∠ACD是外角，∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角定义），且∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（等量代换）。 · 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角（由性质1推导）。 · 推导：由∠ACD = ∠A + ∠B，可知∠ACD ＞ ∠A，∠ACD ＞ ∠B（两个正数相加，和大于其中任意一个加数）。 · 性质3：三角形的外角和为360°（3个不相等的外角之和，后续可结合多边形外角和理解）。 知识点3：三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 特别说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．可以理解为一周为360°，所以外角和为360° 知识点4：多边形内角和 1. 基础概念铺垫 多边形：由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做n边形（n≥3，n为正整数）；分为凸多边形和凹多边形，北师大版八下重点研究凸多边形（每个内角都小于180°）。 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线；一个n边形从一个顶点出发，有（n-3）条对角线，可将n边形分成（n-2）个三角形（推导内角和的核心依据）。 2. 多边形内角和公式 推导思路（转化思想）：将n边形通过作对角线，转化为（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，因此n边形内角和 = （n-2）×180°（n≥3，n为正整数）。 具体推导：以五边形为例，从五边形一个顶点出发，作2条对角线，将五边形分成3个三角形（5-2=3），五边形内角和 = 3×180° = 540°，同理可推导n边形内角和公式。 公式表示：n边形内角和 = （n-2）×180°（如：三角形n=3，内角和=（3-2）×180°=180°，与三角形内角和定理一致，验证公式正确性）。 知识点5：多边形外角和 1. 定义 多边形的每个内角相邻的外角，叫做多边形的一个外角；与三角形外角类似，一个n边形有2n个外角，两两相等，通常研究n个外角（每个顶点对应1个外角）。 2. 核心性质（重点，与边数无关） 核心性质：任意多边形的外角和都等于360°（与边数n无关，n≥3，n为正整数）。 推导思路：以三角形、四边形为例，三角形外角和=360°，四边形外角和=360°，无论n取何值（n≥3），多边形外角和始终为360°；也可通过“n边形内角和+外角和=180°×n”推导（每个顶点的内角与外角互为邻补角，和为180°，n个顶点总和为180°n），即外角和=180°n -（n-2）×180°=360°。 易错点汇总 · 1. 三角形内角和定理相关：① 证明易错（辅助线不规范、推理不标注依据）；② 计算易错（加减错误、忽略内角和为180°）；③ 概念易错（误认为内角和随形状变化）。 · 2. 三角形外角相关：① 识别易错（混淆内角与外角、遗漏边的延长线）；② 性质应用易错（混淆相邻与不相邻内角）；③ 误将外角当作大于所有内角。 · 3. 多边形内角和相关：① 公式记错（误记为n×180°、（n-3）×180°）；② 分三角形个数错误；③ 正多边形内角度数计算遗漏除以n；④ 求边数时解方程出错。 · 4. 多边形外角和相关：① 误认为外角和随边数变化；② 混淆内角和与外角和公式；③ 正多边形外角度数计算错误；④ 综合题型中未能灵活结合内角和与外角和公式。 04 题型•汇总 【题型1 三角形内角和定理的证明】 【典例1】．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．证明：三角形的内角和等于． 已知：如图，． 求证：___________． 证明： 跟随训练1-2．我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【题型2 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例2】．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 跟随训练2-2．在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论． 如图，已知，，是的内角，求证： 小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明． 请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． 【题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例3】．如图，在中，，，，则的值为（    ） A．135 B．140 C．145 D．150 跟随训练3-1．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【题型4 三角形内角和定理的应用】 【典例4】．如图，已知，，，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 跟随训练4-1．如图，点D是内一点，，，则的度数为 ． 跟随训练4-2．单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则 ． 【题型5 三角形折叠中的角度问题】 【典例5】．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-2．如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6 三角形的外角的定义及性质】 【典例6】．如图所示，是外角的是（   ） A．和 B．和 C．和， D．以上说法都不对 跟随训练6-1．请将图中的三个角、、按照大小关系排列 （用“<”连接） 跟随训练6-2．如图，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．如图，的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 4．如图为可调节式露营椅的示意图．当各个角度调节至如图所示的位置时体验感最佳，则此时的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 6．如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，若，则的度数为 ． 8．如图，在中，点在的延长线上，，，则 ． 9．如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为 ． 10．如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为 ． 11．某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为 度． 12．一个零件的形状如图，按规定，，判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 13．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，则_____． 14．如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一．如图②，伞圈沿着伞的柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且．如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘，与点在同一直线上，若，，求的度数． 16．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． （1）如图1所示，判定直线平行直线的依据是：__________； 类比： （2）如图2，若三角形的角的顶点放在上，且，_______； （3）如图3，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； （4）如图4，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系________． 17．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)在负半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $