专题01三角形内角和定理寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化题型突破)2025-2026学年北师大版数学八年级下册

专题01三角形内角和定理寒假预习核心讲义 1.吃透1个核心定理：掌握三角形内角和恒为180°的本质，摆脱图形依赖，用纯逻辑理解定理普适性（与三角形大小、形状无关）。 2.解锁2个“秒杀”推论：熟练运用直角三角形“两锐角互余”及“两角互余→直角三角形”的快捷结论，跳过繁琐计算步骤，直击解题关键。 3.掌握2种无图推导法：不依赖画图，仅凭平行线性质+平角定义，完成定理的两种严谨逻辑证明，提升几何转化思维。 4.秒杀3类中考高频题型：精准搞定“直接求内角”“直角三角形锐角计算”“角平分线角度推导”，实现预习即接轨考点。 5.避开3个经典易错坑：彻底分清“内角和与三角形大小无关”“内角vs外角”“推论vs定理的优先使用场景”，预习不留知识盲点。 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04 三角形内角和定理的应用 题型05 三角形折叠中的角度问题 题型06 三角形的外角的定义及性质 强化巩固题型通关(11题) 【知识点01.核心定理:三角形内角和定理】 1.定理内容：任意三角形三个内角和为180°。 2.关键说明：适用于所有三角形（锐角、直角、钝角），内角和恒为180°，与边长、面积、形状无关。 【知识点02.定理的两种纯逻辑证明】 证法1：延长边作平行线，结合平行线性质与平角定义推导 1.辅助线逻辑：任意三角形中，延长一条边至某点，从该边一端作射线，使射线与三角形另一条边平行。 2.角度转化依据： 两直线平行，内错角相等（三角形一内角与射线形成的角相等）； 两直线平行，同位角相等（三角形另一内角与延长线和射线形成的角相等）。 3.推导链条：延长线与原边构成平角（180°），通过等量代换，平角对应三角形三个内角和。 证法2：过顶点作平行线，结合平行线性质与平角定义推导 1.辅助线逻辑：任意三角形中，过一个顶点作直线，使直线与对边平行。 2.角度转化依据：两直线平行，内错角相等（三角形两个底角分别与直线和侧边形成的角相等）。 3.推导链条：过顶点的直线构成平角（180°），通过等量代换，平角对应三角形三个内角和。 【知识点03.定理的两个核心推论】 推论1：直角三角形的两个锐角互余 前提：三角形是直角三角形（有一个内角为90°）。 推导：由内角和定理，180°−90°=90°，即两锐角和为90°。 结论：直角三角形两锐角互余，可快速求锐角度数。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 前提：三角形中有两个内角和为90°（互余）。 推导：由内角和定理，180°−90°=90°，即第三个角为90°。 结论：两角互余的三角形是直角三角形，可快速判断三角形类型。 【知识点04.中考高频题型解题公式与步骤】 题型类型 已知条件 解题公式/步骤 直接求三角形内角. 已知两个内角度数（∠1、∠2） 未知内角=180°−∠1−∠2 直角三角形求锐角 已知一个锐角（∠α） 另一个锐角=90°−∠α（用推论1快速计算） 角平分线角度计算 已知一个内角（∠A），另两个内角平分线交成∠D 1.另两个内角和=180°−∠A； 2.分角后和=1/2×（另两个内角和）；3. ∠D=180°−分角后和 【知识点05.易错点提醒】 误区1：认为“大三角形内角和比小三角形大”——纠正：所有三角形内角和恒为180°，与大小、形状无关。 误区2：混淆内角与外角——纠正：内角是三角形三条边围成的内部角；外角是三角形一条边与另一条边延长线组成的角，外角与相邻内角互补（和为180°）。 误区3：直角三角形求锐角仍用内角和定理繁琐计算——纠正：优先用推论1“两锐角互余”，直接用90°减已知锐角即可，简化步骤。 预习小结 本章节核心是“三角形内角和180°”的定理及应用，预习重点要掌握：1. 定理的纯逻辑推导思路，理解“平行线转化内角为平角”的核心思想；2. 两个推论的直接套用场景，实现解题提速；3. 三类高频题型的解题步骤，对接中考考点。记住“内角和恒不变、推论优先用、题型套步骤”三个关键，就能扎实掌握本部分知识。 【题型1.三角形内角和定理的证明】 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【题型2.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 【题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：是的一条角平分线， ， 又， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，理解折叠性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理和外角性质求得，由折叠性质和平角定义求得，然后利用三角形的内角和定理求得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵分别是、平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠使点A落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 【典例】如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和为来进行计算． 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为，已知其中一个角为，可求出的度数． 【详解】解：因为三角形内角和为，在图中的三角形里，已知一个角是，所以． 移项可得． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，相交于点E，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与等腰三角形、三角形外角定理的应用，掌握全等三角形的对应边、对应角相等，结合等腰三角形性质和外角定理求解角度是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到边和角的关系，再结合等腰三角形的性质和三角形外角定理求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【题型5.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，先求出，再利用翻折变换的性质求出，再根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 沿向内折叠得到， ，，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角的性质得，， ∵，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则 ° 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 1．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 2．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 3．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 【答案】 【分析】设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， ，利用三角形外角性质表示，的关系，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：设的交点为M，的交点为Q，连接并延长到点N， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 6．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 解答题 7．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，关键在于熟练的利用三角形全等的判定定理； （1）根据题意利用角边角判定定理，证明即可； （2）若，再证明，即可计算的度数 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 8．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 9．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 11．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形内角和定理寒假预习核心讲义 1.吃透1个核心定理：掌握三角形内角和恒为180°的本质，摆脱图形依赖，用纯逻辑理解定理普适性（与三角形大小、形状无关）。 2.解锁2个“秒杀”推论：熟练运用直角三角形“两锐角互余”及“两角互余→直角三角形”的快捷结论，跳过繁琐计算步骤，直击解题关键。 3.掌握2种无图推导法：不依赖画图，仅凭平行线性质+平角定义，完成定理的两种严谨逻辑证明，提升几何转化思维。 4.秒杀3类中考高频题型：精准搞定“直接求内角”“直角三角形锐角计算”“角平分线角度推导”，实现预习即接轨考点。 5.避开3个经典易错坑：彻底分清“内角和与三角形大小无关”“内角vs外角”“推论vs定理的优先使用场景”，预习不留知识盲点。 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04 三角形内角和定理的应用 题型05 三角形折叠中的角度问题 题型06 三角形的外角的定义及性质 强化巩固题型通关(11题) 【知识点01.核心定理:三角形内角和定理】 1.定理内容：任意三角形三个内角和为180°。 2.关键说明：适用于所有三角形（锐角、直角、钝角），内角和恒为180°，与边长、面积、形状无关。 【知识点02.定理的两种纯逻辑证明】 证法1：延长边作平行线，结合平行线性质与平角定义推导 1.辅助线逻辑：任意三角形中，延长一条边至某点，从该边一端作射线，使射线与三角形另一条边平行。 2.角度转化依据： 两直线平行，内错角相等（三角形一内角与射线形成的角相等）； 两直线平行，同位角相等（三角形另一内角与延长线和射线形成的角相等）。 3.推导链条：延长线与原边构成平角（180°），通过等量代换，平角对应三角形三个内角和。 证法2：过顶点作平行线，结合平行线性质与平角定义推导 1.辅助线逻辑：任意三角形中，过一个顶点作直线，使直线与对边平行。 2.角度转化依据：两直线平行，内错角相等（三角形两个底角分别与直线和侧边形成的角相等）。 3.推导链条：过顶点的直线构成平角（180°），通过等量代换，平角对应三角形三个内角和。 【知识点03.定理的两个核心推论】 推论1：直角三角形的两个锐角互余 前提：三角形是直角三角形（有一个内角为90°）。 推导：由内角和定理，180°−90°=90°，即两锐角和为90°。 结论：直角三角形两锐角互余，可快速求锐角度数。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 前提：三角形中有两个内角和为90°（互余）。 推导：由内角和定理，180°−90°=90°，即第三个角为90°。 结论：两角互余的三角形是直角三角形，可快速判断三角形类型。 【知识点04.中考高频题型解题公式与步骤】 题型类型 已知条件 解题公式/步骤 直接求三角形内角. 已知两个内角度数（∠1、∠2） 未知内角=180°−∠1−∠2 直角三角形求锐角 已知一个锐角（∠α） 另一个锐角=90°−∠α（用推论1快速计算） 角平分线角度计算 已知一个内角（∠A），另两个内角平分线交成∠D 1.另两个内角和=180°−∠A； 2.分角后和=1/2×（另两个内角和）；3. ∠D=180°−分角后和 【知识点05.易错点提醒】 误区1：认为“大三角形内角和比小三角形大”——纠正：所有三角形内角和恒为180°，与大小、形状无关。 误区2：混淆内角与外角——纠正：内角是三角形三条边围成的内部角；外角是三角形一条边与另一条边延长线组成的角，外角与相邻内角互补（和为180°）。 误区3：直角三角形求锐角仍用内角和定理繁琐计算——纠正：优先用推论1“两锐角互余”，直接用90°减已知锐角即可，简化步骤。 预习小结 本章节核心是“三角形内角和180°”的定理及应用，预习重点要掌握：1. 定理的纯逻辑推导思路，理解“平行线转化内角为平角”的核心思想；2. 两个推论的直接套用场景，实现解题提速；3. 三类高频题型的解题步骤，对接中考考点。记住“内角和恒不变、推论优先用、题型套步骤”三个关键，就能扎实掌握本部分知识。 【题型1.三角形内角和定理的证明】 【典例】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【跟踪专练1】如图，，，为三角形的内角，求： ． 【跟踪专练2】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【题型2.与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【跟踪专练2】在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题】 【典例】如图，在中，是的一条角平分线，，，则 ． 【跟踪专练1】如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【题型4.三角形内角和定理的应用】 【典例】如图，（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，相交于点E，若，则的度数是 ． 【跟踪专练2】如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 【题型5.三角形折叠中的角度问题】 【典例】如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【跟踪专练1】如图，在中，，，点E、F在边上，沿向内折叠得到，则图中等于（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，沿将此三角形折叠，又沿再一次折叠，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【题型6.三角形的外角的定义及性质】 【典例】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则 ° 【跟踪专练2】如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 2．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 3．如图，若，则，，，，之间的关系为 ． 4．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 6．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 解答题 7．如图，在中，，垂足为D，E为上一点，分别交和的延长线于点F，G，． (1)求证：； (2)若，求和的大小． 8．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 9．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 11．如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $