精品解析：湖南省岳阳市岳阳楼区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025年下期期末九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共三部分，24小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 2. 反比例函数大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k满足的条件是（ ） A B. C. D. 6. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠是身体健康的衡量标准之一．岳阳市某校为了解全校900名九年级学生的睡眠时间，从18个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是100 C. 18个班级是抽取的一个样本 D. 900名九年级学生是总体 7. 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学的重要专著，其记载：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其意为：今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，若中能容纳的正方形的边长为，如图，则满足的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，y的最大值是3 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. 与是位似图形 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则______． 13. 湖南省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加2025年11月举办的第十五届全国运动会，教练把他们的10次训练成绩做了统计：平均成绩都是9.6环，方差分别是，，，根据统计结果，你建议选运动员_____参加全运会． 14. 若，则的值是_____． 15. 如图，等边内接于，点在上，连接，．则_____． 16. 定义：若的内部存在一点，满足，称点是的勃罗卡点．如图，在中，，点为的勃罗卡点，若．则： （1）的值为_____； （2）线段的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，合计72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中满足方程． 19. 在中，点是的中点，以点为圆心，为半径作，恰好经过的中点，如图，若． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 20. “湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 （1）表中的值为_____； （2）这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； （3）前13轮长沙队每场进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 21. “电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． （1）求A商品每次降价的百分率； （2）该网红店A商品进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? 22. 如图①是一款简易家用可调节高矮的熨衣架实物图．图②是其放置在地面上的正面示意图．是熨衣台面，支撑杆与交于点．根据需要可调控支点的位置，调控时始终保持．现测得，． （1）当时，求台面离地面的距离； （2）当由调整为时，如图③，台面离地面高度会上升多少？ 23. 已知二次函数的部分对应值如下表： （1）求与的值； （2）将二次函数的图象先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到新的抛物线，直线与抛物线交于点，(点在的右侧)． ①请在给出的平面直角坐标系中画出抛物线的图象； ②若正比例函数经过点，点是线段上一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； （3）若动点与都位于轴左侧抛物线上，且动点在直线上方，动点在直线下方，直线交直线于点，连接与，且在运动过程中，总保持．求与的数量关系． 24. 【问题背景】 已知矩形中，点分别在与边上，连接，，，如图， ． 【初步感知】 （1）求证：． 【探索运用】 （2）若平分，与交于点，与交于点． 如图，求的值； 如图，连接与交于点，若，点为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期期末九年级数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共三部分，24小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内； 3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项．） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 反比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选：C． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求正切值．根据正切函数的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 4. 如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式是解题关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：C． 6. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠是身体健康的衡量标准之一．岳阳市某校为了解全校900名九年级学生的睡眠时间，从18个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 该校采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是100 C. 18个班级是抽取的一个样本 D. 900名九年级学生是总体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计调查中的基本概念，需明确全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一分析选项得出结论． 【详解】解：∵该校从900名学生中随机抽取100名学生调查，属于抽样调查，∴A选项错误； ∵样本容量是样本中个体的数目，本题抽取的学生数为100，∴样本容量是100，B选项正确； ∵样本是抽取的100名学生的睡眠时间，而非18个班级，∴C选项错误； ∵总体是全校900名九年级学生的睡眠时间，而非900名学生本身，∴D选项错误， 故选：B． 7. 已知二次函数的顶点坐标为，若点在函数图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的性质，比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在函数图象上，且 ∴； 故选：D． 8. 《九章算术》是我国古代数学的重要专著，其记载：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？其意为：今有，其勾（）长为5步，股（）长为12步，若中能容纳的正方形的边长为，如图，则满足的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，证明是解题的关键． 先证明，再根据正方形的性质以及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 当时，y的最大值是3 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 10. 在中，作图如下：①以点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与，交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，与交于，与的延长线交于，如图．已知，，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. 与是位似图形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，位似图形的定义．根据作图，即可判断A选项，根据平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质即可得出，即可判断B，根据得出，得出，即与是关于的位似图形，根据相似三角形的性质，得出，即可求解． 【详解】解：由作法得平分，所以A选项正确，不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，所以B选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴ 又∵与相交于一点， ∴与是位似图形 ，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，即自变量x的取值范围是． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将代入得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 湖南省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加2025年11月举办的第十五届全国运动会，教练把他们的10次训练成绩做了统计：平均成绩都是9.6环，方差分别是，，，根据统计结果，你建议选运动员_____参加全运会． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，平均成绩相同，方差越小表示成绩越稳定． 【详解】甲、乙、丙三名运动员的平均成绩均为9.6环，方差分别为，，， 方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，成绩越稳定， ∵乙的方差最小，为0.45， ∴建议选运动员乙参加全运会， 故答案为：乙． 14. 若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质求值，将已知方程变形为，然后求解． 【详解】解：由，可得，则， 故答案为：． 15. 如图，等边内接于，点在上，连接，．则_____． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键． 由等边三角形的性质可得，再根据圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵等边内接于， ∴，四边形是的内接四边形， ∴． 故答案：120． 16. 定义：若的内部存在一点，满足，称点是的勃罗卡点．如图，在中，，点为的勃罗卡点，若．则： （1）的值为_____； （2）线段的长为_____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件是解题的关键． （1）先判断为等腰直角三角形得到，从而得到的值； （2）设，根据点O为的勃罗卡点得到，则利用三角形内角和可计算出，然后可证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长． 详解】解：（1）∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）设， ∵点O为的勃罗卡点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，合计72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、二次根式的性质、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、零次幂化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程．先根据分式的混合运算进行计算化简，再根据因式分解法解一元二次方程，根据分式有意义的条件选择的值，代入计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 解方程： ∴ ∴或， 解得：，， 时，分式无意义， ， 当时，． 19. 在中，点是的中点，以点为圆心，为半径作，恰好经过的中点，如图，若． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握证明切线的方法是解题的关键． （1）如图：连接，证明，由等腰三角形的性质求解即可； （2）证明，再根据切线的判定定理即可证明结论． 小问1详解】 解：如图：连接， ∵是的直径，， ， ， ． 【小问2详解】 证明：，， 是的中位线． ． ， ， 点在上， 是的切线． 20. “湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 （1）表中的值为_____； （2）这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； （3）前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【答案】（1）19 （2）24 （3）①，；②答案不唯一，合理即可 【解析】 【分析】本题主要考查了列式计算、方差、中位数、众数，熟练掌握相关定义列式计算是解题的关键． （1）先利用方程组求得：胜1场得3分，平1场得1分，负得0分，则可得郴州队：胜4，平7，负2，则积分；岳阳队：胜5，平4，负4，积分，据此即可解答； （2）依据题意，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27，故可得第4、5个数的平均数为其中位数，然后计算即可解答； （3）①依据题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5，根据众数的定义可得；先求得缺少的数据，再将永州队进球个数从小到大排：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4，则中位数是第7个：，进而可以得解；②依据题意，分别从平均数、中位数、方差的角度分析判断即可解答． 【小问1详解】 解：设胜1场得x分，平1场得y分，负得z分， 由题意可得：，解得：， ∴胜1场得3分，平1场得1分，负得0分， ∴以郴州：胜4，平7，负2，则积分； 岳阳队：胜5，平4，负4，积分， ∴． 故答案为：19． 【小问2详解】 解：由题意知，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27， ∵共8个数， ∴中位数是第4、5个数的平均数：中位数． 故答案为：24． 【小问3详解】 解：①由题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5， ∴2出现5次，此时最多，即众数为； 又∵永州队共比赛13场，总进球数为24，而题干文字部分只给出12个进球数据，其和为23， ∴永州队缺失的一个进球数据为. ∴永州队13场比赛的进球数据排序后为：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4， ∴中位数是第7个，即． ②“永州胜长沙纯属偶然”不同意．理由如下： ∵长沙队平均数 2，永州队平均数， ∴两队平均进球非常接近． ∵中位数都是 2， ∴说明两队中间水平一样． ∵永州队方差大于长沙队， ∴永州队发挥波动更大，更容易打出高比分． 又∵单场淘汰赛偶然性本来就存在，但从数据看，两队进攻能力在同一档次， ∴永州队并非完全没有赢球可能．故不能说纯属偶然． 21. “电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． （1）求A商品每次降价的百分率； （2）该网红店A商品进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为 （2）为使两次降价销售的总利润不少于17400元．第一次降价后至少要售出商品300件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程或不等式求解． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件”建立方程求解； （2）设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件，表示出第一次降价后的单件利润为：（元/件），第二次降价后的单件利润为：（元/件），再由“总利润不低于17400元”建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，或（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件， 第一次降价后的单件利润为：（元/件） 第二次降价后的单件利润为：（元/件）． 依题意得：， 解得：． 答：为使两次降价销售的总利润不少于17400元，第一次降价后至少要售出商品300件． 22. 如图①是一款简易家用可调节高矮的熨衣架实物图．图②是其放置在地面上的正面示意图．是熨衣台面，支撑杆与交于点．根据需要可调控支点的位置，调控时始终保持．现测得，． （1）当时，求台面离地面的距离； （2）当由调整为时，如图③，台面离地面高度会上升多少？ 【答案】（1）台面离地面的高度为 （2）台面离地面高度上升了 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用解直角三角形解决实际问题是解题的关键． （1）如图②：连接，过点作，交于点，先证明是等腰直角三角形可得，再解直角三角形可得即可解答； （2）如图③：过点作于点，由等边三角形的性质可得是等边三角形，即；再解直角三角形可得，然后再结合（1）即可解答． 【小问1详解】 解：如图②：连接，过点作，交于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ， 台面离地面的高度为． 【小问2详解】 解：如图③：过点作于点， ，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 台面离地面的距离是，…… 由（1）可知，当时，台面离地面的距离是， 台面离地面高度上升了． 23. 已知二次函数的部分对应值如下表： （1）求与的值； （2）将二次函数的图象先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到新的抛物线，直线与抛物线交于点，(点在的右侧)． ①请在给出的平面直角坐标系中画出抛物线的图象； ②若正比例函数经过点，点是线段上一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值； （3）若动点与都位于轴左侧的抛物线上，且动点在直线上方，动点在直线下方，直线交直线于点，连接与，且在运动过程中，总保持．求与的数量关系． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）从表格中任取两点代入即可得解； （2）①根据平移的性质得出新的抛物线为，再画出图象即可； ②先求出直线的解析式，表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先证明，分别过点，作，于点，，再利用，建立等式即可． 【小问1详解】 解：分别将，与，代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）可得二次函数的表达式为， 将二次函数的图象先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到新的抛物线为， 则其图象如图： ②∵直线相交抛物线于点， 点的横坐标为方程的解， ， 点在的右侧， ， 点的坐标为； 设的函数表达式为， 以点代入：， 解得， 直线为， 设点的横坐标为，则， 轴， 点坐标为， 有最大值，当时，的最大值为； 【小问3详解】 设与中，、边上的高分别为，， ， 在运动过程中，总保持 平分， ， 分别过点，作，于点，， 根据动点与的坐标可得：，， ，，，， ，即 ， 整理得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、平移变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值问题、正切的定义等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 24. 【问题背景】 已知矩形中，点分别在与边上，连接，，，如图， ． 【初步感知】 （1）求证：． 【探索运用】 （2）若平分，与交于点，与交于点． 如图，求的值； 如图，连接与交于点，若，点为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明，根据可证明； （2）如图，连接，证明，得出，证明，则可得出结论； 如图，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ，， ，， ， ， 在和中， ． 解：（2），理由如下： 如图，连接， ，， ， 平分，， ， ， ． ， ， ， ． ． ． ， 点是线段的中点． ， ． 如图，连接，，，， ，． ， ，，． ， ． ， ． 即， ， ． ． ，． ． ， ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $