专题01 一元一次不等式重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题01 一元一次不等式重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 一元一次不等式的定义 题型四 不等式的解集 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 在数轴上表示不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 求一元一次不等式解的最值 题型九 列一元一次不等式 拓展训练一 判断不等式变形是否正确 拓展训练二 含参数不等式计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）若是一元一次不等式，则 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义可知，从而可求出n的值． 【详解】解：是一元一次不等式， ， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，根据不等式的解集即可解答，掌握不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值应该小于， 四个选项中只有小于， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时加6，再除以2即可． 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查不等式的解法，了解不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变时解题关键． 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）若不等式的解集为，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是含参数的一元一次不等式，掌握一元一次不等式的性质是解题的关键．先根据不等式的解集是，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴，解得． 故选：A． 2．（25-26七年级下·上海闵行·周测）写出不等式的一个解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解不等式，然后根据不等式的解集，写出其中的一个解即可． 【详解】解：解不等式 ， 得 ∴不等式的一个解为： ， 满足 ，故 是原不等式的一个解， 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 1．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用不等号表示出来的两个量之间的不相等性(如用<、>和≠分别表示“小于”、“大于”和“不等于”)的表达式叫不等式．据此分析即可. 【详解】解：①是代数式； ②是不等式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤是不等式； ⑥是不等式； 属于不等式的共3个， 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的定义，解题的关键是熟悉不等式的性质． 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，，， 故不恒成立，A错误； B选项：∵，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变， ∴，故B错误； C选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变， ∴，故C错误； D选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故D正确； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 由已知不等式，两边同除以（负数），不等号方向改变，得到；然后利用不等式的性质，分别判断与、与的大小关系即可． 【详解】解：， ． ，根据不等式性质，两边同乘正数，不等号方向不变， ，两边同乘，不等号方向改变， ； ∵两边同时加上，不等号方向不变， ∴． 故答案为：，． 1．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由数轴可知，，根据不等式的性质逐一推理即可． 【详解】A、由图可知，，，所以，，所以，故选项A错误，不符合题意； B、由图可知，，，所以，故选项B错误，不符合题意； C、由图可知，，所以，所以，故选项C错误，不符合题意； D、由图可知，，，所以，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【答案】 【分析】此题考查不等式的性质， （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，故， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 【经典例题三 一元一次不等式的定义】 【例1】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 【例2】（2025七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 3．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：因为该不等式中含有， 所以不是一元一次不等式； （2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式； （3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以不是一元一次不等式； （4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 【经典例题四 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 1．（2025·河北保定·模拟预测）已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【详解】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 3．（2025七年级·上海闵行·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．移项，系数化为1即可求出不等式的解集． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【例2】（2025七年级下·湖南郴州·模拟预测）若不等式的解是，则不等式的解为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了由不等式的解集求参数，解一元一次不等式，解题的关键是得到． 首先根据题意得到，，得到，，然后代入解不等式即可． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴，且 ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若的解集是，则必须满足是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据不等式解集求参数范围． 根据不等式解集的条件，确定系数符号并解方程即可． 【详解】解：∵原不等式为，解集为， ∴，， 即， 去分母得， 即， ∵， ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式， 先求出两个不等式的解集，再根据题意得出取值范围即可． 【详解】解：当时，的解集是，的解集是， ∵不等式的解也是不等式的解， ∴此种情况不符合题意； 当时，的解集是，的解集是， ∵不等式的解也是不等式的解， ∴， 解得， 所以常数a的取值范围是； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【经典例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）不等式的解集如图所示，则下列各数中，是该不等式的解的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数轴得出不等式的解集，根据解集即可解答． 【详解】由数轴可知不等式的解集为， ∴不等式的解可以是：， 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解的定义是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答． 【详解】解：解不等式， 可得， 根据数轴可得不等式的解集为， 可得方程， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值． 【详解】解：由， 得， 则． 由数轴，得不等式的解集为， ， 解得； 故选：A． 2．（2025·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】-5 【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可． 【详解】解： 2x-k≥3 x≥ ∵x≥-1 ∴=-1，解得k=-5． 故填-5． 【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键． 3．（25-26七年级下·上海闵行·周测）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），见解析（2），见解析 【分析】（1）首先去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集； （2）首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集． 【详解】解：（1）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·周测）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 1．（2025·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解有2个， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）学完不等式的解集后，小明说：“的解集是”小刚说：“是的一个解”小颖说：“的整数解有无数个”他们的说法中错误的是 ． 【答案】小刚 【分析】将不等式的系数为即可判断小明的说法；将不等式的系数化即可判断小刚的说法；根据小于的整数有无数个即可判断小颖的说法； 【详解】解：， 系数化得，， 故小明的说法正确； ， 系数化得，， ， 不是的一个解， 故小刚说法错误； 小于的整数有无数个， 的整数解有无数个， 故小颖的说法正确； 综上，小刚的说法错误． 故答案为：小刚． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【答案】21 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，分x为奇数和x为偶数两种情况，分别列出不等式，求出x的值，再找出最小正整数即可． 【详解】解：当x为奇数时，根据题意，得， 解得， ∴正整数； 当x为偶数时，， 解得， ∴正整数， 综上，输入的最小正整数x是21． 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·月考）我市月日的气温是，请你用含的不等式表示该天某一时刻的气温为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是解题的关键．由题意可看出一天的最高气温是，最低气温是，则该天某一时刻的气温不得低于最低气温也不得高于最高气温． 【详解】解：∵气温是， ∴该天某一时刻的气温为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键． 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东中山·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 【答案】< 【分析】本题考查表示不等关系．注意数形结合． 设环形道的周长为x，因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有，即可求解． 【详解】解：设环形道的周长为x， 因为，由图可知，里程数为时，已超过一圈， 跑了2圈时还没有， 所以， 即当小颖跑了2圈时，她的运动里程数． 故答案为：<． 3．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，先判断出用电量是否超过400度，然后根据不等关系：七月份电费支出不超过200元，分和两种情况列不等式即可． 【详解】解： （元）． 因为，李叔叔家计划七月份的电费支出不超过200元， 所以用电量不超过400度， 根据题意，当时，得； 当时，得 综上，关于x的不等式为． 【拓展训练一 判断不等式变形是否正确】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知，则下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一分析各选项，即可求解． 【详解】解：选项A：∵， ∴，故A错误． 选项B：取反例，若，，满足，但，故B错误． 选项C：由，两边乘以得． 在不等式两边同时加，得，即． 进一步分析：由于（因与的差为，恒正），结合，可得，故C正确． 选项D：取反例，若，，满足，但，，显然，故D错误． 故选：C． 【例2】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质： （1）由x＞－3，得x＞－6； ； （2）由3＋x≤5，得x≤2； ； （3）由－2x＜6，得x＞－3； ； （4）由3x≥2x－4，得x≥－4. ． 【答案】 不等式的基本性质2 不等式的基本性质1 不等式的基本性质3 不等式的基本性质1 【分析】根据不等式的基本性质依次分析各小题即可得到结果． 【详解】（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6； （2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2； （3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3； （4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4. 故答案为：不等式的基本性质2；不等式的基本性质1；不等式的基本性质3，不等式的基本性质1． 【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）“由得到”，这个变形正确吗？请判断并运用不等式的基本性质说明理由． 【答案】变形不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了运用不等式的性质解一元一次不等式的问题，先根据不等式的性质1算出第一步，再根据不等式的性质2，注意同乘同除一个负数是要变号，解决此题的关键是熟练掌握不等式的性质． 【详解】解：变形不正确． 不等式的两边减5，得，即， 不等式的两边除以，得， 所以． 故变形不正确． 2．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 3．（24-25七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 【答案】(1)①   ② (2)3 【分析】本题围绕“等式与不等式的性质综合运用”展开，先考查等式基本性质是等式变形的依据，如移项、系数化为1等操作，可实现“用一个变量表示另一个变量”，为代入化简代数式做准备 ．再考查不等式基本性质（①不等式两边加/减同一个数，不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变 ）是推导变量取值范围的核心工具，通过对已知不等式变形，逐步缩小变量范围，结合整数等限定条件确定具体值 ． （1）①利用等式的基本性质实现变量代换，用表示，变形得， ②先把代入进行代换，得到；再由已知（即，解此不等式得），确定的范围是；最后由不等式基本性质，给的范围乘3再减8，推出（即 ）的范围：． （2）思维拓展，本题题型本质：先依据等式建立变量联系，再结合两个不等式条件确定的取值范围，利用“是整数”限定具体值，进而求出参数的值，考查等式变形、不等式求解、整数解筛选及代数式求值的综合运用 ． 【详解】解：（1）① ②：， ， ， ， ， ， ， ，即． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是整数， 为整数， ． 【拓展训练二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·重庆开州·期末）已知整式：，其中，，，⋯，，为正整数，满足且．下列说法： ①当时，时，满足条件的整式有且只有一个； ②当时，满足条件的整式的最高次项系数之和为16； ③满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． ①当且时，仅满足条件；②当时，得到，然后求出分别为3，4，5，4，所有满足条件的最高次项系数之和为16；③时，得到，然后分情况讨论得到有16个整式，时有4个整式，总20个． 【详解】解：①当，时，， ∵，且 ∴ ∴ ∴， ∴，只有一个整式，故①正确； ②当时，， ∵，且 ∴ ∴可能组合有或或或， ∴分别为3，4，5，4， ∴，故②正确； ③当时，且， ∴ ∴当时，，3，4，5，6，7，8，共7个； 当时，，4，5，6，7，共5个； 当时，，5，6，共3个； 当时，，共1个； 当时，由②可知共4个． ∴ ∴满足条件的整式共有20个，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是3． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解不等式． （1）先解关于x的一元一次方程，再根据解是正数，解不等式即可； （2）先解关于x的一元一次方程，再根据解不大于2，解不等式即可． 【详解】（1）解： ； 方程解是正数， ， ； （2）解：由（1）知； 方程解不大于2， ， ． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非负数可以列出不等式组，从而求出m的范围． （2）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出的范围，结合（1）中的范围，即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵为负数，为非负数， ， 解得：． （2）解：解不等式得， ， ， ， ， ∴． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 0 4 (1)求、的值； (2)若的值大于，求的最大整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键． （1）根据题意得出方程组，求出m、n的值即可； （2）根据的值大于，列出不等式，解不等式，然后求出最大整数值即可． 【详解】（1）解：根据表格可知：， 解得：； （2）解：∵的值大于，， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，不等式的解集，解题的关键是理解新定义运算，掌握一元一次不等式的解题步骤． 根据，计算出的值，然后根据解不等式的步骤，即可解出不等式的解集． 【详解】解：∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提． 根据新定义的运算可得，解得，再由数轴所表示的解集可得即可． 【详解】解：不等式，由新运算的定义可得，， 所以， 由数轴所表示的解集可知，， 解得：． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． A基础训练 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴, 不一定成立； B、，不成立； C、, 不成立； D、，成立； 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由，可得， 其解集在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 4．（2026七年级下·上海闵行·专题练习）定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）用符号表示下列不等关系，表示的不正确的是（    ） A．是非负数可以表示为： B．地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为： C．当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志  ，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则． D．两个数和的平方和大于5，可以表示为：． 【答案】D 【分析】根据乘方、非负性、列不等式、不等式的意义逐项排查即可解答． 【详解】解：A. 是非负数可以表示为：，正确，不符合题意； B. 地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为：，正确，不符合题意； C. 当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则，正确，不符合题意； D. 两个数和的平方和大于5，可以表示为：，错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了乘方、非负性、列不等式、不等式的意义等知识点，理解相关定义是解答本题的关键． B 提高训练 6．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】（答案不唯一，只需即可） 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：由，一定有， ∴， ∴的整数值可以为， 故答案为：．（答案不唯一，只需即可） 7．（24-25七年级下·吉林·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据，得到，结合，即可求出的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若关于的一元一次不等式只有2个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的特殊解，熟悉掌握不等式的运算方法是解题的关键． 化简，得到，根据只有2个正整数解列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次不等式只有个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 10．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． C 培优训练 11．（25-26七年级下·上海闵行·周测）解不等式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）移项、合并同类项然后系数化为1即可求解； （2）（3）先去分母，然后移项、合并同类项最后系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·上海宝山·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； (2)任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②四；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； (2)，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2； ②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：①不等式的基本性质 2 ；②四；不等式两边除以 时，不等号的方向没有改变； （2）解：任务二：， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 把解集表示在数轴上如图所示： 14．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证． （1）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解； （2）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 一元一次不等式的定义 题型四 不等式的解集 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 在数轴上表示不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 求一元一次不等式解的最值 题型九 列一元一次不等式 拓展训练一 判断不等式变形是否正确 拓展训练二 含参数不等式计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）若是一元一次不等式，则 ． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知，则下列哪个选项是不等式的解（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西梧州·期中）不等式的解集是 ． 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）若不等式的解集为，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海闵行·周测）写出不等式的一个解： ． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 1．（24-25七年级·上海闵行·假期作业）式子①；②；③；④；⑤；⑥，属于不等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件： ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）如果，那么 ， ．（填“＞”或“＜”） 1．（24-25七年级上·山东青岛·单元测试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【经典例题三 一元一次不等式的定义】 【例1】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2025七年级下·安徽·专题练习）当 时，不等式是一元一次不等式． 1．（24-25七年级下·山西运城·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号） 3．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海松江·月考）下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为 ． （2）当为实数时，的取值范围为 ． 1．（2025·河北保定·模拟预测）已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 3．（2025七年级·上海闵行·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·湖南郴州·模拟预测）若不等式的解是，则不等式的解为 ． 1．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若的解集是，则必须满足是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【经典例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）不等式的解集如图所示，则下列各数中，是该不等式的解的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 2．（2025·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·周测）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·周测）不等式的非负整数解为 ． 1．（2025·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）学完不等式的解集后，小明说：“的解集是”小刚说：“是的一个解”小颖说：“的整数解有无数个”他们的说法中错误的是 ． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【例2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值．     【经典例题九 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·月考）我市月日的气温是，请你用含的不等式表示该天某一时刻的气温为 ． 1．（24-25七年级下·江西南昌·期末）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东中山·期末）小颖沿着某公园的环形跑道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数 （填“>” “=”或“<” ）． 3．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 0.48 0.53 0.78 七月份是用电高峰期，李叔叔计划七月份电费支出不超过200元，请列出关于x的不等式． 【拓展训练一 判断不等式变形是否正确】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知，则下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·上海闵行·专题练习）说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质： （1）由x＞－3，得x＞－6； ； （2）由3＋x≤5，得x≤2； ； （3）由－2x＜6，得x＞－3； ； （4）由3x≥2x－4，得x≥－4. ． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）“由得到”，这个变形正确吗？请判断并运用不等式的基本性质说明理由． 2．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期末）代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形． 【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法： 解：． ． ， 即． (1)【启发应用】已知，且． ①用含的式子表示，则______； ②求的取值范围． (2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值． 【拓展训练二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·重庆开州·期末）已知整式：，其中，，，⋯，，为正整数，满足且．下列说法： ①当时，时，满足条件的整式有且只有一个； ②当时，满足条件的整式的最高次项系数之和为16； ③满足条件的整式共有20个． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）当m在什么范围内取值时，关于x的方程有： (1)正数解； (2)不大于2的解． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 0 4 (1)求、的值； (2)若的值大于，求的最大整数值． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为 ． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 2．（24-25七年级下·上海松江·期中）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：，例如：．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，求k的值． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． A基础训练 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．     4．（2026七年级下·上海闵行·专题练习）定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·期中）用符号表示下列不等关系，表示的不正确的是（    ） A．是非负数可以表示为： B．地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为： C．当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志  ，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则． D．两个数和的平方和大于5，可以表示为：． B 提高训练 6．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 7．（24-25七年级下·吉林·期末）已知，且，则的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若关于的一元一次不等式只有2个正整数解，则的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为 ． 10．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． C 培优训练 11．（25-26七年级下·上海闵行·周测）解不等式： (1)． (2)． (3)． 12．（24-25七年级下·上海嘉定·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 13．（24-25七年级下·上海宝山·月考）下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； (2) 任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $