3.6直线和圆的位置关系 达标练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.6直线和圆的位置关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为（   ） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 2．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连结AC，则∠A的度数是(       ) A．15° B．30° C．35° D．45° 3．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（  ） A． B． C． D． 5．如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，PA、PB分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在线段上（不与、重合），若为的内心，则不可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2， 点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．2 9．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 10．如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 11．已知和直线相交，圆心到直线的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（　　）． A．10cm B．6cm C．12cm D．以上都不对 12．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　） A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 13．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为 °． 14．如图，于点O，，的半径是2，将绕点O按顺时针方向旋转，当与相切时，旋转的角度为 ． 15．已知，是射线上的一点，且．若以为圆心，为半径的圆与射线有两个不同的交点，则的取值范围是 ．    16．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ． 17．如图所示，两个同心圆的半径之比为，是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切，若，则 ． 三、解答题 18．圆的直径是，如果圆心与直线的距离分别是： （1）；（2）；（3）． 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？ 19．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 20．在中，，O是上的一点，，⊙的半径为r，当r与m满足怎样的关系时， （1）与⊙相交？ （2）与⊙相切？ （3）与⊙相离？ 21．如图，是的直径，是的弦，于点，交于，与过点的直线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 22．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23．如图，在中，，是的内切圆，连接交于点D，延长交于点E，则E为与的切点． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)根据题中规律可得，当时，__________； (2)猜想：当（是大于的自然数）时，请用含的代数式表示，并给出证明过程． 24．如图，的半径为，是的两条弦， ，．以点为圆心作一个圆与相切，则这个圆的半径是多少？它与具有怎样的位置关系？为什么？ 《3.6直线和圆的位置关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D A B B A A A B 题号 11 12 答案 C A 1．A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l与相交，则；直线l与相切，则；直线l与相离，则，根据上述方法即可求解． 【详解】直线l与相离， ， 又圆心O到直线l的距离为， ， 故选：A． 2．C 【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°，利用四边形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案． 【详解】 连接OC， ∵BD、CD分别是过⊙O上点B，C的切线， ∴OC⊥CD，OB⊥BD， ∴∠OCD=∠OBD=90， ∵∠BDC=110， ∴∠BOC=360−∠OCD−∠BDC−∠OBD=70， ∴∠A=∠BOC=35. 故选C. 【点睛】本题考查切线的性质. 3．D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 4．A 【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=. 故选A. 5．B 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ． 故选：B． 6．B 【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°， ∴∠ADB=65°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-65°=115°． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB． 7．A 【分析】根据三角形的内心定义和三角形内角和定理得∠AOC=160º-∠OAC=160º﹣∠DAC，由∠DAC的变化范围得到∠AOC的变化范围即可解答． 【详解】∵中，， ∴∠BAC=180º﹣∠B﹣∠C=100º， ∵为的内心， ∴∠OAC=∠DAC，∠ACO=∠ACB=20º， ∴∠AOC=180º﹣∠OAC﹣∠ACO=160º﹣∠DAC， ∵点在线段上（不与、重合）， ∴0º﹤∠DAC﹤100º，即0º﹤∠DAC﹤50º， ∴110º﹤∠AOC﹤160º， 故∠AOC不可能是100º， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的内心定义，解答的关键是理解三角形的内心定义，确定∠DAC的变化范围． 8．A 【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=4， ∴AB=OA=8， ∴OP=， ∴PQ=． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 9．A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 10．B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论是解题的关键． 11．C 【分析】若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：和直线相交， cm， cm， 只有选项符合条件， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离． 12．A 【分析】连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误； 由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即可判断④. 【详解】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z， ∵OD=OB， ∴∠ABD=∠ODB， ∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD， ∵∠AOD=2∠ABC， ∴∠ABC=∠ABD， ∴弧AC=弧AD， ∵AB是直径， ∴CD⊥AB， ∴①正确； ∵CD⊥AB， ∴∠P+∠PCD=90°， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC=∠P， ∴∠PCD+∠OCD=90°， ∴∠PCO=90°， ∴PC是切线，∴②正确； 假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC， ∴3∠ABC=90°， ∴∠ABC=30°， 已知没有给出∠B=30°，∴③错误； ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵EF⊥BC， ∴AC∥EF， ∴弧CF=弧AG， ∴AG=CF， ∵OQ⊥CF，OZ⊥BG， ∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG， ∴OZ=CQ， ∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°， ∴△OCQ≌△BOZ， ∴OQ=BZ=BG， ∴④正确． 故选A． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关知识点. 13．40 【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接CO， ∵CD切⊙O于点C， ∴CO⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵∠BCD=50°， ∴∠OCB=90°-50°=40°， ∵CO=BO， ∴∠ABC=∠OCB=40°． 故答案为：40． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠OCB的度数是解题关键． 14．或 【分析】分两种情况求解：当与相切于C点时和当与相切于D点时，作图求解即可． 【详解】解：当与相切于C点时 如图，连结，则 ∵，， ∴ ∴ 当与相切于D点时，如图，同样可得到 ∴ ∴当与相切时，旋转的角度为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和相交⇔ ；直线l和相切⇔ ；直线l和相离⇔ ． 15． 【分析】根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．若,则直线与圆相交;若,则直线于圆相切;若,则直线与圆相离． 【详解】解：由图可知，的取值范围在半径和之间．    在直角三角形中，，， 则； 则的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及直角三角形的性质，解答本题的关键是要画出图形,利用数形结合可轻松解答，注意:当等于半径时,有一个交点,故> 16．． 【详解】试题分析：首先判断当AB与⊙O相切时，PB的值最大，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，由CA⊥AB，DB⊥AB，得到AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，证得CF=AB=6，在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解． 试题解析：当AB与⊙O相切时，PB的值最大， 如图，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB， 过点C作CF⊥PB于F， ∵CA⊥AB，DB⊥AB， ∴AC∥OE∥PB， 四边形ABPC是矩形， ∴CF=AB=6， ∵CO=OP， ∴AE=BE， 设PB=x，则PC=2OE=2+x，PF=x-2， ∴（x+2）2=（x-2）2+62， 解得；x=， ∴BP最大值为：． 考点：直线与圆的位置关系． 17． 【分析】设弦与小圆相切于点，连接，，为大圆的直径，，故为的中位线；，即可知，两个同心圆的半径之比为，可求得大圆半径，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：设点是与小圆相切的切点， ∵为大圆的直径， ∴， ∵大圆的弦BC与小圆相切， ∴， ∵，过圆心， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∵两个同心圆的半径之比为， ∴大圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质及垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握切线的性质． 18．（1）相交，两个；（2）相切，一个；（3）相离，无 【分析】直线和圆的位置关系： ① 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；② 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；③ 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 【详解】解：圆的半径为＝6.5（cm）． （1）∵6.5 cm＞4.5 cm，∴直线与圆相交，有两个公共点． （2）∵6.5cm ＝6.5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点． （3）∵8cm＞6.5 cm，∴直线与圆相离，无公共点． 【点睛】考核知识点：直线与圆的位置关系．理解直线与圆的位置关系的条件是关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 20．（1）；（2）；（3） 【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：如图，过点O作于， ，， ， ， ∴， ∴， ∴（1）当时，与相交； （2）当时，与相切； （3）当时，与相离． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键． 21．(1)详见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等腰三角形的性质，对顶角的性质得出，，由垂线的性质得出，进而得出，即可证明是的切线； （）先由勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是直径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为， ∴，， ∵，， ∴8， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 22．（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线； （2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是的切线； （2）， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得（舍去）， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键． 23．(1)； (2)，证明详见解析． 【分析】本题考查了余弦的定义，切线的性质，图形类规律探究； （1）根据题中的规律，直接写出的值； （2）过点作于点．根据是的内切圆，分别求得的长，进而根据，余弦的定义，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，当时， 故答案为：． （2）． 证明：如图，过点作于点． ∵， ∴设，则， ∴．     ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 24．所作的圆的半径是,所作的圆与相交，理由见解析． 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，过点作于点，作于点，连结，由垂径定理可得， ，，由勾股定理可得，，进而由即可判断所作圆与的位置，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，连结， 则， ，， 由勾股定理得， ， ∴所作的圆的半径是． ∵， ∴所作的圆与相交． 学科网（北京）股份有限公司 $