第3章 6 第1课时 切线的性质-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第三章圆☑ 6直线和圆的位置关系 第1课时切线的性质 (教材P8991练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 5.(徐州中考)如图，AB是⊙O的弦，点C在过 知识点一：直线和圆的位置关系 点B的切线上，OC⊥OA,OC交AB于点P. 若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于() 1.(湘西州中考)已知⊙O的半径为5cm,圆心 A.75° B.70° C.65° D.609 O到直线l的距离为5cm,则直线1与⊙O的 D 位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 2.在平面直角坐标系xOy中，以点（一3,4）为圆 心，4为半径的圆( 第5题图 第6题图 A.与x轴相交，与y轴相切 6.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直 B.与x轴相离，与y轴相交 径，直线AE是⊙O的切线，CD平分 C.与x轴相切，与y轴相交 ∠ACB,若∠CAE=21°，则∠BFC的度数为 () D.与x轴相切，与y轴相离 A.66°B.111°C.114°D.119 3.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm, 7.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=15°，BC是 BC=3cm,以点C为圆心、r为半径的圆与 ⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交 AB有什么位置关系？说明你的理由. BC于点C,若BC的长为2，则DC的长 (1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm. 是 B C 第7题图 第8题图 8.[运算能力]（泰州中考）如图，PA与⊙O相切 知识点二：圆的切线的性质及其应用 于点A,PO与⊙O相交于点B,点C在AMB 4.(镇江中考)如图，∠BAC=36°，点O在边AB 上，且与点A,B不重合.若∠P=26°，则∠C 上，⊙O与边AC相切于点D,交边AB于点 的度数为 E,F,连接FD,则∠AFD=() 9.如图，DB与⊙O相切于点B,连接OD交 B ⊙O于点A,BC∥OA,OC∥AB.若⊙O的半 径为2，则线段BD的长为 A.27° B.29° C.35° D.37° D 做神龙题得好成绩81 ☑同行学案学练测九年级数学下BS 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 AD的延长线于点E. 10.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为 (1)求证：AE=AB. 1,则直线y=x一√2与⊙0的位置关系 (2)若AB=10,BC=6,求CD的长 是() A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三种情况都有可能 B 第10题图 第11题图 11.如图，AB为⊙0的直径，C为⊙O外一点， 过点C作⊙O的切线，切点为B,连接AC 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>>[难度等级综合题 交⊙O于D,∠C=38°.点E在AB右侧的 15.如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮 半圆上运动（不与A,B重合），则∠AED的 ⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C 大小是() A.62°B.52° C.38° D.289 着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D, 连接AD,BD. 12.[推理能力]如图，在Rt△ABC中，∠C= (I)求证：∠ADC=∠DBC. 90°，∠B=30°，AC=2,以C为圆心，r为半 径作圆.若该圆与线段AB只有一个交点， C2)若测得a∠BDC=手，CD=2.4m,求 则r的取值范围为 车轮⊙O的半径长， 第12题图 第13题图 13.[模型观念]如图，在Rt△AOB中，OA= OB=4√2.⊙O的半径为2，点P是AB边 上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点 Q为切点)，则线段PQ长的最小值为 14.[推理能力]（深圳中考）如图，AB为⊙O的 直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线 互相垂直，垂足为点D.连接BC并延长，交 2 做神龙题得好成绩1.5(cm).设OM=xcm,∴.ON=MN-OM=(3.5-x)cm 13.(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .OM2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,..OM2+MD2 ∴∠ADE=∠ABC.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. =0N2+BN2,.x2+22=(3.5-x)2+1.52,∴.x=1.5, ∠ACB=∠ADB,∠ADB=∠ADE.(2)解：如图， .OM=1.5cm,∴.OD=√OMf+MD=√1.52+2= 连接CO并延长交⊙O于点F,连接BF,则∠FBC=90° 2.5(cm),.纸杯的直径为2.5×2=5(cm). 在R△BCF中，CF=4,BC=3,nF-器-是 '∠F=∠BAC,Sin∠BAC= 4 B 4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.A3.70°4.13° 5.C6.28°7.60°8.C9.D10.B11.D12.4 13.30° 14.(1)证明：C是BD的中点，.CD=BC.AB是⊙0 14.(1)解：点A,B,C,D都在⊙0上，OC⊥AB,.AC= 的直径，且CF⊥AB,.BC=BF,.CD=BF,∴.CD BC.:∠ADC=30°，∴.∠AOC=∠BOC=2∠ADC= [∠F=∠CDG 60°，∴∠BOC的度数为60°.(2)证明：AC=BC, BF.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC, AC=BC.,∠BOC的度数为60°，BO=CO,∴.△BOC BF=CD 为等边三角形，.BC=BO=CO.AO=BO,.AO= ∴.△BFG≌△CDG(AAS).(2)解：方法一：如图①，连 BO=AC=BC,∴.四边形AOBC是菱形. 接OF,设⊙O的半径为r.在Rt△ADB中，BD2=AB2 15.(1)证明：如图，易知AB=AD,∠1=∠2，.在△ADF和 AD2,即BD2=(2r)2-22.在Rt△OEF中，OF2=OE2+ (AD-AB D △ABE中，∠1=∠2，∴.△ADF≌ EF,EF=r2-(r-2)2..CD=BC=BF,..BD= DE=BE CF,.BD=CF,∴.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,即 △ABE(SAS).(2)解：由(1)知E (2r)2-22=4[r2-(r-2)2],解得r=1(舍去)或3， △ADF≌△ABE,.AF=AE,DF= B ∴.BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12,.BF=23. BE,∠3=∠4.在正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAF+∠3=90°，∠BAF+∠4=90°，.∠EAF= 90°，∴△EAF是等腰直角三角形，EF2=AE2+AF2, ∴.EF2=2AE2,.EF=√2AE,即DE-DF=√2AE, .DE-BE=√2AE.(3)BE-DE=√2AE. 第2课时直径所对的圆周角、圆内接四边形 1.C2C3149m5安6B7A 0 ② 8.证明：A,D,C,B四点共圆，∴∠A=∠BCE.BC= 方法二：如图②，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于 BE,∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴AD=DE,即 点H,连接AC,BC.·CD=BC,∠HAC=∠BAC. △ADE是等腰三角形. CE⊥AB,.CH=CE.AC=AC,.Rt△AHC≌ 9.D10.45或135°11.C Rt△AEC(HL),∴AH=AE.,CH=CE,CD=CB, 12.解：如图，连接OA,OC.:∠ABC= .Rt△CDH≌Rt△CBE(HL),.DH=BE=2,∴.AH= 45°，OA=OC=2,∴.∠AOC=90°，易 AE=2+2=4,∴.AB=4+2=6.AB是⊙O的直径， 得AC=2√2.过点A作AE⊥AC,交 ∴∠ACB=90°，∠CEB=∠ACB=90°.∠EBC= CD于点E,过点E作EA'⊥BC于点 A',过点A'作A'N'⊥AC于点N. ∠CBA.△BCn△BCA,÷-.BC ,CD平分∠ACB交⊙O于点D, D BA·BE=6X2=12,∴.BF-BC=2√3 ∴点A与点A'关于直线CD对称，A'N'的长即为MA 培优专题9：圆心角、弧、弦之间关系的应用 +MN的最小值，AC=A'C=2√2.，∠ACB=60°， 1.A2.A3.(1)70°(2)60 AN=AC,0=22X5=后，即MA+MN的最小值 4.C5.C6.B 2 7.解：作点B关于直线MN的对称点B',则点B'必在⊙O 是v6. 上，且BN=NB'.连接OB,OB',由已知得∠AON=60°， :点B是AN的中点，∠B'ON=∠BON=2∠AON 5确定圆的条件 =30°，∠AOB=90°.连接AB交MN于点P',则点P 1.D2.B3.(-1,-2)4.5 即为所求的点.此时AP'+BP'=AP'+P'B'=AB'= 5.解：(1)作法：如图，①连接AC;②作AC的垂直平分线，交 CD所在直线于点O,则点O就是此残片所在圆的圆心. √2OA,即AP十BP的最小值为√2. (2)连接OA,设OA=OC=xcm.,CD⊥AB,AB 培优专题10：圆中的等腰三角形与全等三角形 24cm,CD=8cm,∴.AD=12cm,OD=(x-8)cm.在 1.A2.22.53.30°4.4 Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2十OD2,即x2= 5.证明：(1)如图，连接BD.:AB=CD, 122+(x一8)2，解得x=13,.所作圆的半径为13cm. .∠ADB=∠CBD,.AD∥BC. (2)如图，设OC与BD相交于点F. .'BC=CD,..BC=CD,BF=DF.A ∠DFE=∠BFC,∠EDF=∠CBF, .△DEF≌△BCF(ASA),.DE=BC.由(1)知AD∥ BC,四边形BCDE是平行四边形.又·BC=CD,∴.四 6.A7.69°8.429.5√5或5√210.D 边形BCDE是菱形. 6.(1)解：四边形OBAD是菱形，理由如下：如图，作AS⊥ 1.C12B1B.8cm2或32cm21410,5 3 DE于点S,作AT⊥BC于点T.OP平分∠MON,∴.AS 15.(1)证明：AE=DE,OC是半径，∴.CD=AC,∴∠CAD =AT,∠AOD=∠AOB.在Rt△ASD与Rt△ATB中， =∠CBA.(2)解：：AB是直径，∴∠ACB=90 AD=ABR△ASD≌R△ATB(H,SD=TB. (AS-AT ,AE=DE,∴.OC⊥AD,.∠AEC=90°，.∠AEC= ∠ACB.又：∠EAC=∠CBA,.△AECD△BCA, 在Rt△AS0与R△A70中，AS=AT AO-AORAAS0 器-0号-8cR-60-AB=5 Rt△ATO(HL),∴.S0=TO,.SO-SD=TO-TB,即 ..OE=0C-CE=5-3.6=1.4. OD=OB.'AD∥OM,∴.∠AOB=∠OAD.∠AOD= 16解：602 (2)如图，Rt△ABC的外接圆是它的最小覆 ∠AOB,∠AOD=∠OAD,.AD=OD,∴.AD=AB= OD=OB,.四边形OBAD是菱形.(2)证明：如图，连接 盖圆。 ,(3)6 2 4 FE,'AS LDE,AT LBC,.SD-SE-DE,TB-TC -BC.SD-TB,.DE-BC.OD-OB,OD+ DE=OB+BC,即OE=OC.在△OEF与△OCF中， [OE=OC N ∠EOF=∠COF,.△OEF≌2△OCF(SAS),∴.∠OEF= 6直线和圆的位置关系 OF=OF 第1课时切线的性质 ∠OCF.CF⊥OM,∠OEF=∠OCF=90°.，AS⊥ 1.B2.C DE,DG⊥ON,∴.∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°，∴.DG 3.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在AN SA/E,S-梁=-1AG=AR Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=5cm. 根据三角形面积公式有CD=AC·BC AB 2.4cm,即圆心C到AB的距离C d=2.4cm.(1)当r=2cm时，有d>r,因此⊙C与AB 相离.(2)当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C与AB相 M 切.(3)当r=3cm时，有d<r<4,因此⊙C与AB相交. 培优专题11：圆周角定理及其推论的综合应用 4.A5.B6.C7.4-258.32°9.2√3 1.A2.A3.15°4.128°5.13°6.15 10.B11.C12.r=√3或2<r≤2√313.2√3 7.25829A10号 14.(1)证明：如图，连接AC,OC.CD为切线，∴.OC⊥CD. ,CD⊥AD,∴.OC∥AD,.∠OCB=∠E.,OB=OC, 同行学案学练测·19· ∴∠OCB=∠B,∠B=∠E,AE =AB.(2)解：AB为直径， 2BC.:0D=0B,0E=0E,△D0E≌△B0E ∴∠ACB=90°，.AC=√102-62= (SSS),∴∠ODE=∠ABC=90°，∴.OD⊥DE,.DE是 ⊙O的切线.(2)解：，∠ABC=90°，∴.∠ABD十 8..'AB=AE=10,ACLBE,..CE= ∠DBC=90°.由(1)知∠BDC=90°，BC=2DE,∴.∠C+ C=6:2CD·AE=专AC· ∠DBC=90°，BC=2DE=10,∴.∠C=∠ABD.在 CE,∴CD=8X6_24 10-5 R△Ac中Ac=C-里-要0A=0B,E= 5 15.(1)证明：连接OD,,CD是⊙O的切线，∠ODC=90°. AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，OA=OD, CE,∴0E=2AC-5 ∴∠OAD=∠ODA.:∠DBC=∠ADB+∠OAD=90° 培优专题12：圆的切线的证明方法 +∠OAD.又，∠ADC=∠ODC+∠ODA=90°+ 1.证明：如图，连接OB.AC是⊙O的直径，∴∠ABC= ∠ODA,∴∠ADC=∠DBC.(2)解：由题意，得∠BDC 90°，∠C+∠BAC=90°.OA=OB,.∠BAC=∠OBA. =∠OAD,:tan∠BDC=4, an∠0AD=台0 :∠PBA=∠C,∴.∠PBA+∠OBA=∠C+∠BAC= 90°，即PB⊥OB.又：OB是⊙O的半径，∴.PB是⊙O的 =台（可得△CBD△CDA,是-瓷-职 切线 CD=2.4m,AC-3m,BC=1.92m,AB-AC -BC=1.08m,.⊙0的半径长0.54m. 第2课时切线的判定 1.证明：，BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.OB=OC, ∠OBC=∠OCB,∴.∠OCB=∠DBC,.OC∥BD. 2.证明：如图，作直径AE,连接EC.AD是∠BAC的平分 BD⊥CD,∴.OC⊥CD.又点C为⊙O上一点，.CD 线，∠DAB=∠DAC.PA=PD,∴.∠PAD= 为⊙O的切线. ∠PDA,∴∠PDA=∠PAC+∠DAC.'∠PDA=∠B+ 2.证明：如图，连接OD,OA,过点O作 ∠DAB,∴∠PAC=∠B.∠B=∠E,∴∠PAC=∠E. OE⊥AC于点E.,AB切⊙O于点D, ,AE是⊙O的直径，.∠ACE=90°，.∠EAC十∠E= ∴.OD⊥AB,∴.∠ODB=∠OEC=90°. 90°.∴∠EAC+∠PAC=∠OAP=90°，.PA与⊙O 又，O是BC的中点，.OB=OC. 相切. .AB=AC,.∠B=∠C,△OBD≌ △OCE(AAS),'.OE=OD,OE是⊙O的半径，.AC与 ⊙O相切. 3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.D10.< ‘D--1 E 11.(1)证明：如图，连接OD.:△ABC是等边三角形，∠C =∠A=60°.OC=OD,∴.△OCD是等边三角形， 3.(1)证明：如图，连接OD,OA,过点O作OE⊥AB于点E. :AB=AC,O为BC的中点，∴.∠CAO=∠BAO.OD ∴∠CDO=∠A=60°，∴.OD∥AB.DF⊥AB, ⊥AC,OE⊥AB,.OD=OE.∴.OE是⊙O的半径..AB ∴.∠FDO=∠AFD=90°，.OD⊥DF.OD为⊙O的 半径，.DF是⊙O的切线. 是半圆O所在圆的切线.(2)解：由cos∠ABC= 3.AB (2)解：：OD∥AB,OC=OB, =12,得OB=8.由勾股定理，得AO-√AB2-OB2= .OD是△ABC的中位线. ∠AFD=90°，∠A=60°， 45.SAm=合AB·0E=号OB·A0,0E= ∴∠ADF=30°.AF=1,.CD OB·AO85 =OD=AD=2AF=2.在 AB ,即半圆0所在圆的半径是85 31 D Rt△ADF中，由勾股定理，得DF =√AD一AFz=√5.在Rt△ODF中，由勾股定理，得 OF=√OD+DF=√2+3=√7，∴.线段OF的长为√7. 12.(1)证明：连接OD.,AB为⊙O的直径，.∠BDC= ∠ADB=90°.，点E为BC的中点，.DE=BE=CE=4.证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.,∠ACB=90°， ·20·同行学案学练测 .OC⊥AC.又.AO平分∠CAB,∴.OM=OC,.OM为 培优专题13：圆中常见的辅助线 半圆O的半径，∴.AB为半圆O的切线. 1.B2.A3.6 4.45[解析]如图，连接OA,OB,OE.,四边形ABCD是 正方形，∴AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.，在 (OA=OB R△AD0和R△BC0中，AD=BC,R△ADO≌ Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.:四边形 0 B ABCD是正方形，.AD=DC.设AD *7切线长定理 1.(1)A(2)C2.A3.A4.405.57i -acm,则0D=0C=号C=号AD 6.证明：如图，连接AO,OB.PA,PB 为⊙O的切线，.PA=PB,∠OAP= 2acm在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA=OB=OE ∠OBP=90°.又.OA=OB, 6 .△OAP≌△OBP(SAS),∴.∠AOC Qcm.小正方形EF0G的面积为16cm2,EF= =∠BOC.又，OC=OC,OA=OB, PC=4m在R△0FE中，由勾股定理，得（气a)广=+ ∴.△ACO≌△BCO(SAS),∴.AC=BC. 7.B8.c9.B10.D11.212.3 (分a十4°，解得a=-4(舍去)或8，则5。 a=45,.该 13.解：(1)AB为⊙O的直径，∠DAB=∠ABC=90°， 半圆的半径是4v5cm. ∴.DA,CB都是⊙O的切线.，CD与⊙O相切于点E, 5.2√6 .'.DE=DA=2,CE=CB=6,..CD=DE+CE=8. 6.(1)证明：如图，连接AO.FE⊥BC,∠CEM=90°， (2)∠ABC=90°，EF⊥AB,.EG∥BC,∴.△DEG∽ .∠ECM+∠CME=90°.FA=FM,∴.∠FAM= △DCB,器-器即g-号解得G=是 ∠FMA=∠CME..'OA=OC,∴.∠ECM=∠OAC, (3)如图，过点D作DH⊥BC于H,则四边形DABH为 ∴∠FAM+∠OAC=90°，∠OAF=90°，.OA⊥AB. 矩形，∴.BH=AD=2,∴.CH=BC-BH=4,∴.DH= OA是半径，∴.直线BF与半圆O相切.(2)解：如图， √CD2-CH=4√5，∴.AB=DH=4√5.，∠DAB= 连接AD.CD是直径，∴∠DAC=90°，∠ACD+ ∠ABC=90,EFLAB,∴AD/EG/C器-器即 ∠ADC=90°.∠BAO=90°，∴.∠BAD+∠OAD=90°. OA=OD,∠OAD=∠ODA,∠BAD+∠ADC= 得-号e得0-38 90°，.∠BAD=∠ACD.∠B=∠B,.△BADn △BCA00BD:B-AB=8 B 7.(1)证明：方法一：如图①，连接BD,AB是⊙O的直径， 14.(1)证明：如图，连接OA,则OA⊥AP.,MN⊥AP, ∴∠ADB=90°.：∠ADC-∠BDC=∠ADB,∠BDC= ∴.MN∥OA.OM∥AP,∴.四边形ANMO是矩形， ∠BAC,∴.∠ADC-∠BAC=90°.方法二：如图②，连接 ∴.OM=AN.(2)解：如图，连接OB,则OB⊥BP. BC,,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°.∠PBC= .OA=MN,OA=OB,OM∥AP,∴.OB=MN,∠OMB ∠BAC+∠ACB,.∠PBC-∠BAC=90°.，四边形 =∠NPM,.△OBM≌△MNP(AAS),.OM=MP.设 ABCD为⊙O的内接四边形，∴.∠ADC+∠ABC=180° OM=x,则NP=9-x,在Rt△MNP中，有x2=32+(9 ,∠PBC+∠ABC=180°，.∠ADC=∠PBC,∴.∠ADC -x)2,.x=5,即OM=5. -∠BAC=90°.(2)解：如图②，由题(1)可得∠ADC= ∠PBC.:∠ACP=∠ADC,∠PBC=∠ACP. ∠BPC=∠CPA,APC△rCA,说-货 .PC2=PA·PB.⊙O的半径为3，AB=6,.PA= PB十6.，CP=4,∴.4=(PB+6)·PB,解得PB=2或