精品解析：河北省石家庄精英中学等校2025-2026学年高二上学期第五次调研考试（期末）数学试卷

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第五次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2 和18的等比中项为（ ） A. - 6 B. 6 C. 12 D. - 6或6 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为（ ）（参考数据：） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和为，，且则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015 7. 已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 8. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，第一次操作：取正方形 ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形 EFGH ；第二次操作：取正方形 EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直操作下去.若经过n次这样的操作后，使得所有正方形（包括正方形 ABCD）的面积之和大于49.95cm²，则n的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数n的最小值为24 11. 已知数列满足则下列说法正确的是（ ） A. 当时，（且n∈N⁺） B. 若数列为常数列，则 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为 ，若，则____________. 13. 已知点 P为抛物线 上一点，过点 P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为________. 14. 已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，，，，其前项的和为，则时的最大值为______. 参考公式： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 16. 已知等比数列的前n项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和. 17. 已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 （1）求双曲线C的标准方程； （2）若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 （1）分别求数列和的通项公式； （2）求数列 的前n项和； （3）若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第五次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2 和18的等比中项为（ ） A. - 6 B. 6 C. 12 D. - 6或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项定义即可得到答案. 【详解】2和18的等比中项为. 故选：D. 2. 已知函数在处可导， 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的极限定义求解即可． 【详解】由，有，有. 故选：B. 3. 用元购买某个基金个月，若以月收益率的复利计算收益，则个月后能获得的收益约为（ ）（参考数据：） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】根据每个月的本息和组成一个等比数列，公比为，再计算个月后获得收益可得. 【详解】因为每个月以月收益率的复利计算收益，所以每个月的本息和组成一个等比数列，公比为. 所以10个月后的收益为元. 故选：A 4. 抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，可得，又，故，，可得，进而可求得a+b的值. 【详解】由抛物线的准线方程为， 将点P代入抛物线C的方程，有，又，所以. 又由，有，又由a=b，可得a=8，a+b=16. 故选：C. 5. 已知，分别为等差数列，的前n项和， 且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】由. 故选：C. 6. 已知数列的前n项和为，，且则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可推得数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，再利用分组求和法求得，代入所求式计算得解. 【详解】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得. 故选：B. 7. 已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先用叠加法求出的通项公式，然后代入，裂项求和求解. 【详解】当时， ， 又由满足， 可得. 又由， 可得数列前99项的和为. 故选：D. 8. 如图，正方形ABCD的边长为5cm，第一次操作：取正方形 ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形 EFGH ；第二次操作：取正方形 EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直操作下去.若经过n次这样的操作后，使得所有正方形（包括正方形 ABCD）的面积之和大于49.95cm²，则n的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析正方形面积的等比数列规律，利用等比数列求和公式和对数运算求解不等式，确定的最小值. 【详解】第一个正方形面积，后续每个正方形的边长是前一个的倍，故其面积是前一个的， 故各正方形的面积依次构成首项为，公比为的等比数列. 经过次操作后，所有正方形（共个）的面积和为：， 解不等式，有，有，即， 又因单调递增，且，， 故可得，有，即的最小值为9. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数n的最小值为24 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，进而可判断A；进而可得中最大，可判断B；计算可得，进而计算可判断C；利用等差数列的前项和公式可求得，，可判断D. 【详解】对于A选项，由，可得， 可得数列的公差d小于0，故A选项正确； 对于B选项，由,可得中最大，故B选项正确； 对于C选项，由，可得数列的公差为，故C选项错误； 对于D选项，由，， 可得使得的n的最小值为23，故D选项错误. 故选：AB. 11. 已知数列满足则下列说法正确的是（ ） A. 当时，（且n∈N⁺） B. 若数列为常数列，则 C. 若数列为递增数列，则 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】令，可得，计算可判断A；令，则，求解可判断B；数列为递增数列，可求得或，进而分类讨论可得或时，数列为递增数列，可判断C；对，，两边取对数，利用等比数列求得，进而可求得判断D, 【详解】对于A选项，当时，，令，则，， 故，即，故A选项正确； 对于B选项，若数列为常数列，令，则， 解得或或，故B选项错误； 对于C选项，令，则， 若数列为递增数列，则数列为递增数列， 则，解得或. 当时，，且，且， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列； 当时，，且，且， 此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列； 当时，，， 此时数列为递增数列，即数列为递增数列. 综上，当或，即或时，数列为递增数列，故C选项错误； 对于D选项，令，则，， 两边同时取以2为底的对数，得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 即，故D选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为 ，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】先由等比数列的前n项和的性质可得，再由前n项和的性质计算可得. 【详解】设公比为q，由， 所以，可得， 同理. 故答案为：. 13. 已知点 P为抛物线 上一点，过点 P作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，点P的坐标为，有，利用两点间距离公式可求得的最小值，进而可得，可求得cos∠APB的最小值. 【详解】设，点P的坐标为，有. 由圆 ，可得圆心，半径， 所以. 由，有. 故的最小值为. 14. 已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，，，，其前项的和为，则时的最大值为______. 参考公式： 【答案】 【解析】 【分析】将数列表示为三角数阵的形式，计算出前行所有数的总和，以及时对应项数，即可得解. 【详解】将数列写成以下形式： 第行所有数的和为， 前行所有数之和为， 当时，， 若再加上第行第一个数，总和为， 加上第行前两个数，则总和大于， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【小问1详解】 由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. 【小问2详解】 ①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 16. 已知等比数列的前n项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）令求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得首项与公比，即得数列的通项公式； （2）结合（1）求得数列的通项，利用裂项相消法和分组求和法即可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， ①当时，由题意得方程无解，不合题意； ②当时，由题意得， 由①②，可得， 解得，代入①，解得，则， 故数列的通项公式为 【小问2详解】 因 . 则 . 17. 已知双曲线 C的渐近线方程为，且双曲线 C经过点 （1）求双曲线C的标准方程； （2）若点 A、B、D分别为双曲线C上不同的三个点，且 B、D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点 O，证明：原点 O到直线 AB的距离为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设双曲线C的方程为，代入点的坐标，计算可求得双曲线C的标准方程； （2）设A，B两点的坐标分别为，的外接圆的圆心坐标为 ，可得该圆的方程，将其与双曲线方程联立，可得，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立可得，进而推出，再由点到直线的距离公式化简计算即得. 【小问1详解】 由双曲线C的渐近线方程为，可设双曲线C的方程为. 代入点的坐标，有，可得. 则双曲线C的方程为，即. 【小问2详解】 设A，B两点的坐标分别为，可得点D的坐标为， 依题意，可设的外接圆的圆心坐标为 ，则该圆的方程为. 联立方程消去x后整理为， 则，解得或，且. 因直线AB的斜率不为0，可设其直线方程为， 联立，消去x后整理为， 则，且. 则有，可得. 则原点O到直线AB的距离为， 故原点O到直线AB的距离为定值. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； （3）当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 19. 已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 （1）分别求数列和的通项公式； （2）求数列 的前n项和； （3）若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，利用，进而得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意n∈N*恒成立，设，根据，分n为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 由，有，有. 则数列是公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 取n=1，由，有，解得， 当时，，则，即， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，经检验，n=1时该式成立， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由. 记， 有. 两式作差，得， 有，则. 所以. 【小问3详解】 不等式化为，即， 设，有， 当n=1时，；当时，， 所以在时单调递减， 当n为奇数时，，则， 由，得，即，解得， 当n为偶数时，，则，即， 由，得，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $