期末复习01直角三角形的边角关系期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学讲义通过表格与框架图系统构建直角三角形边角关系知识体系，梳理锐角三角函数定义、特殊角值等六大知识点，用对比表格呈现函数表达式与重要结论，突出“定义-计算-应用”逻辑脉络，培养抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层题型设计，15类常考题型从基础的求正弦值到综合的仰角俯角应用，典例配跟踪专练强化数学思维。通过常见误区分析与解题步骤指导，帮助学生建立模型意识，支持教师实施分层教学，提升复习效率。

期末复习01直角三角形的边角关系期末冲刺必备讲义 期未复习目标 1.基础目标：理解锐角三角函数定义，分清边角对应关系；熟记特殊角三角函数值及核心性 质；规范使用计算器完成基础运算；熟练掌握勾股定理与三角函数结合的简单运算。 2.能力目标：能根据已知条件解直角三角形，实现“知二求三”；具备构造直角三角形转化 复杂图形问题的能力；能辨析常见误区并订正错题；解题时逻辑严谨、推理有据。 3应用月标：运用仰角、俯角、坡度知识解决实际测量问题；突破勾股定理与三角函数结合 的综合题型；建立直角三角形模型，用数学知识解决生活实际问题。 期末复习内容概览 期末必备 1.锐角三角函数的定义 2.特殊角的三角函数值 知识点梳理 3.解直角三角形 4.解直角三角形的应用 5.反三角函数与计算器的使用 6常见误区与易错点 1.求锐角的正弦值 2.已知正弦值求直角三角形边长 3.求锐角的余弦值 4.已知余弦值求直角三角形边长 常考题型 5.求角锐的正切值 6.已知正切值求直角三角形边长 精讲精炼 7.特殊直角三角形的三角函数值计算 8.特殊角三角函数值的混合运算 9.由特殊角的三角函数求对应角的度 10.解直角三角形的综合计算 数 11.三角函数的综合应用 12.方位角的三角函数应用 13.三角函数的其他拓展问题 14.仰角，俯角的三角函数实际应 用 15.坡度坡比的三角函数应用. 期末备考 压轴题(15) 压轴通关 3 期未必备知识点梳理 试卷第1页，共3页 【知识点01.锐角三角函数的定义】 在直角三角形中，一个锐角的三角函数值是其两条边的比值，与三角形的大小无 关，只与角的大小有关。 设直角三角形△ABC中，∠C-90o,∠A为一锐角，其对边为a,邻边为b,斜边 为c 函数名称英文缩写 表达式 文字定义 正弦 sin sinA=是 sinA=∠A的对边 斜边 余弦 COSA= C0SA=∠A的邻边 cos 斜边 正切 tan tanA-号 tanA=∠A的对边 乙A的第边 重要结论： 1.同角三角函数关系： sin2A+cos2A=1 tanA=sinA sinA 2.互余两角的三角函数关系： sinA=cos(90。-A) cosA=sin(90-A) tanA-tan (90-A)=1 【知识点02.特殊角的三角函数值】 这是本章的基础，必须熟练记忆。 角度a sina(对边/斜 cosa(邻边/斜 tan a (对边/ 边) 边) 邻边) 30° 12 要 3 45 竖 县 1 60° 县 5 记忆技巧： 正孩马号·吗 试卷第1页，共3页 余弦：互 (与正弦相反) 22 正切：15（何看作方尽 【知识点O3.解直角三角形】 在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角。由已知元素 求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 依据： 1.两锐角互余：∠A+∠B-90o 2.三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2 3.边角关系（三角函数）：sinA=是，cosA=,tanA号 解题类型 已知两条边：先用勾股定理求出第三边，再用三角函数求锐角。 已知一条边和一个锐角：先用互余关系求出另一个锐角，再用三角函数求另外两 条边。 【知识点04.解直角三角形的应用】 核心概念： 1.仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角。 2.俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角。 3.坡度(i):坡面的铅直高度h和水平宽度1的比，即i=。坡度也等于坡角a 的正切值，即i=tana。 4.方位角：从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 解题步骤 1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求目标。 2.建模：根据题意画出示意图，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边 角关系 3.求解：运用解直角三角形的知识（三角函数、勾股定理等）进行计算。 4.作答：检验计算结果是否合理，并按题目要求写出答案。 常见题型： 测量物体高度（如旗杆、建筑物、树） 试卷第1页，共3页 测量两点间距离（如河宽、山高） 航海与航空问题（触礁、避险） 工程设计问题（修路、挖河、建桥） 【知识点05.反三角函数与计算器的使用】 当已知一个三角函数值，需要求其对应的锐角时，就需要用到反三角函数。 若sinA=x,则∠A=arcsinx(计算器上为sin1) 若cosA=x,则∠A=arccosx(计算器上为cos-1) 若tanA=x,则∠A=arctanx(计算器上为tan~l) 注意事项： 使用计算器前，务必确认计算器的角度模式为DEG(度)，而不是RAD(弧度)或 GRAD(梯度)。 计算结果通常是近似值，注意题目对有效数字或精确度的要求。 【知识点O6.常见误区与易错点】 1.概念混淆：将仰角、俯角、方位角、坡度等概念混淆，导致画图错误。 2.三角函数用错：在直角三角形中，误将对边、邻边、斜边搞混，导致选择错误 的三角函数。 3.特殊角值记错：特别是30·和60。的正弦、余弦值容易记反。 4.计算器使用不当：忘记切换到角度模式(DEG),导致计算结果完全错误。 5.忽略实际意义：在应用题中，计算结果不符合实际情况（如长度为负），未进 行检验。 6.单位不统一：在坡度问题中，高度和宽度的单位不一致，直接进行计算。 常考题型精讲精练 【题型1.求锐角的正弦值】 【典例】如图，一个小球沿倾斜角为a的斜坡向下滚动了50cm时，垂直高度下降了30cm.则 sina=() 试卷第1页，共3页 A5 c. D.4 【跟踪专练1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，若AC=5,BD=7, tan∠ADC=l,则sinB的值为_ B D 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，直角三角板AOB按如图位置摆放，直角顶点与原点O 重合，点A在反比例函数y=《(x>0)的图像上，∠B=30°.若点B坐标为1，-3)，则k的 值是() A.-2 B. C.1 D.2 【题型2.已知正弦值求直角三角形边长】 【奥例】如图，在R△48C中，∠C=90,Sin1=号，8C=4,则B- B 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片ABC中，∠B=57°，∠C=38°，将纸片沿着过点A的 直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕AD交BC于点D;再将纸片沿着过点E的 直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F.下列结论成立的是() 试卷第1页，共3页 G A.DG=EG B.GE⊥AE C.∠DAE=42° D.DE =2GF 【跟踪专练2】如图，将一张宽为√5的矩形纸片折叠，若∠1=60°，则折痕EF的长为 /3 【题型3.求锐角的余弦值】 【典例】在Rt△ABC中，若∠B=90°，AB=3,AC=5,则cosA的值为() B c.3 D. 【跟踪专练1】如图，实线部分是一个正方体展开图，点A,B,C,D,E均在△MBN的边 上，则cosM的值为」 M B ----------------N 【跟踪专练2】如图，ABC的顶点在正方形网格的交点处，则cosA的值为() A.2 B. c. D. 25 5 5 试卷第1页，共3页 【题型4.已知余弦值求直角三角形的边长】 【典例】在R△ABC中，LC=90°，c0sA,AC=4,则AB=□ 【跟踪专练1】如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕CB与键盘BA所成夹角为110°，若屏 幕CB的长度为30cm,则上方边界C处到桌面的距离CD为() A A.30sin30°cmB.30cos20°cm C.30tan30°cm D.30 cm cos20 【跟踪专练2】.在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，点E在射线BC上，且 CEBC,连接EF,若AB三4AD6,B=60°，则an ZFEC的值为一 【题型5.求锐角的正切值】 【典例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则tanB的值为() B 4 3 A. 4 D.3 【跟踪专练1】如图，菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,∠ABD=a,则 tana D 【跟踪专练2】如图，矩形ABCD中AB=5,BC=4,E为AD边上一点，沿CE将△CDE对 折，使点D正好落在AB边上的点F处，tan∠AFE等于() 试卷第1页，共3页 F A 2 A. 3 B.3 C.5 D. 【题型6.己知正切值求直角三角形边长】 【奥们已知R48C中，∠C=0,4C=4，mB-子那么BC的长为 【紧专练1】图.4D走48C的中线，D=,am∠BD-}Sx=15,剥6C的 长为() B D A.35 B.65 C.2√10 D.410 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与y轴交于点C,与反比例函数 y=在第一象限内的图象交于点B,连接OB,若SAoc=8,an∠B0C=, 则m的值 是 VA 【题型7.特殊直角三角形的三角函数值计算】 1 【典例】若sin∠A=2,∠4+∠B=90°，则sin∠B的值为(） A.3 2 B.月 C.5 D.2 【跟踪专练1】如图，直线BC∥直线1，AB=AC,若∠BAC=120°，则 cosa 试卷第1页，共3页 a 【跟踪专练2】如图，Rt△ABC,∠B=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,DE垂直平 分AC,交AC于点E,则∠C的正切值为() A.3 B.② C.3 D.1 3 2 【题型8.特殊角三角函数值的混合运算】 【典例】2sin60°-tan45°= 【跟踪专练1】计算-1+tan60°+√5sin45°-2cos30°+π0结果是() A.2 B.√2 C.1 D.3 【跟踪专练2】若B为锐角，当tanB=1时，则cosB-15)+sinB+15)的值为 【题型9.由特殊角的三角函数值求对应角的度数】 【典例】在Rt△ABC中，∠a为锐角，且sin(a-15)= v2 ,则tana的值为() A.② B.V3 C.1 D.3 2 3 八2 【跟踪专练1】在ABC中，若sinA 3 cos =0(其中∠A,∠B为锐角)， 则ABC的形状是」 【跟踪专练2】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2√2，b=2√6，则下列结论不正确的是() A.c=42;B.tan B=3; C.sin2A+sin2B=1;D.B=30 【题型10.解直角三角形的综合计算】 【典例】如图，在ABC中、∠A=30°，∠B=45°，AC=4,则AB的长为· 试卷第1页，共3页 A30 45B 【鼠鉴专练1】如图，在ABC中，B=5,8C=3,o82,测∠C的度数为一 A.60° B.50° C.45° D.30° 【跟踪专练2】如图，ABC的两个顶点B、C在x轴正半轴上，∠ACB=90°，B(6,O).双 曲线y=在第一象限的分支过点A,且0C=2BC,sin∠A0C= 5,则k B 【题型11.三角函数的综合应用】 【典例】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC,其中AB=AC=25Cm,∠ABC=a ,则高AD可表示为() D A.25sinacm B.25cosacm C.25tanacm D. 25 cm tan a 【跟踪专练I】如图，点E是矩形ABCD中CD边上的一点，△BCE沿BE折叠为△BFE, 点F落在AD上.若LDFE的大小为a,且满足sina-cosa=-L, cosa+2 sina0,则ian∠BEC的值 为」 试卷第1页，共3页 期末复习01直角三角形的边角关系期末冲刺必备讲义 1.基础目标:理解锐角三角函数定义，分清边角对应关系；熟记特殊角三角函数值及核心性质；规范使用计算器完成基础运算；熟练掌握勾股定理与三角函数结合的简单运算。 2.能力目标:能根据已知条件解直角三角形，实现“知二求三”；具备构造直角三角形转化复杂图形问题的能力；能辨析常见误区并订正错题；解题时逻辑严谨、推理有据。 3.应用目标:运用仰角、俯角、坡度知识解决实际测量问题；突破勾股定理与三角函数结合的综合题型；建立直角三角形模型，用数学知识解决生活实际问题。 期末必备 知识点梳理 1.锐角三角函数的定义 2.特殊角的三角函数值 3.解直角三角形 4.解直角三角形的应用 5.反三角函数与计算器的使用 6.常见误区与易错点 常考题型 精讲精炼 1.求锐角的正弦值 2.已知正弦值求直角三角形边长 3.求锐角的余弦值 4.已知余弦值求直角三角形边长 . 5.求角锐的正切值 6.已知正切值求直角三角形边长 7.特殊直角三角形的三角函数值计算 8.特殊角三角函数值的混合运算 9.由特殊角的三角函数求对应角的度数 10.解直角三角形的综合计算 11.三角函数的综合应用 12.方位角的三角函数应用 13.三角函数的其他拓展问题 14.仰角,俯角的三角函数实际应用 15.坡度坡比的三角函数应用. 期末备考 压轴通关 压轴题(15) 【知识点01.锐角三角函数的定义】 在直角三角形中，一个锐角的三角函数值是其两条边的比值，与三角形的大小无关，只与角的大小有关。 设直角三角形△ABC中，∠C=90∘，∠A为一锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c。 函数名称 英文缩写 表达式 文字定义 正弦 sin sinA= sinA=​ 余弦 cos cosA= cosA= 正切 tan tanA= tanA=​ 重要结论： 1.同角三角函数关系： sin2A+cos2A=1 tanA= 2.互余两角的三角函数关系： sinA=cos(90−A) cosA=sin(90−A) tanA⋅tan(90−A)=1 【知识点02.特殊角的三角函数值】 这是本章的基础，必须熟练记忆。 角度α sinα（对边 / 斜边） cosα（邻边 / 斜边） tanα（对边 / 邻边） 30° 45° 1 60° 记忆技巧： 正弦：​,​,​ 余弦：,,,​ (与正弦相反) 正切：​,1, (可看作,1,) 【知识点03.解直角三角形】 在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角。由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 依据： 1.两锐角互余：∠A+∠B=90∘ 2.三边关系（勾股定理）：a2+b2=c2 3.边角关系（三角函数）：sinA=​,cosA=,tanA= 解题类型： 已知两条边：先用勾股定理求出第三边，再用三角函数求锐角。 已知一条边和一个锐角：先用互余关系求出另一个锐角，再用三角函数求另外两条边。 【知识点04.解直角三角形的应用】 这是本章的重点和难点，需要将实际问题转化为数学模型。 核心概念： 1.仰角：从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角。 2.俯角：从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角。 3.坡度 (i)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，即i=。坡度也等于坡角α的正切值，即i=tanα。 4.方位角：从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 解题步骤： 1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求目标。 2.建模：根据题意画出示意图，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角关系。 3.求解：运用解直角三角形的知识（三角函数、勾股定理等）进行计算。 4.作答：检验计算结果是否合理，并按题目要求写出答案。 常见题型： 测量物体高度（如旗杆、建筑物、树） 测量两点间距离（如河宽、山高） 航海与航空问题（触礁、避险） 工程设计问题（修路、挖河、建桥） 【知识点05.反三角函数与计算器的使用】 当已知一个三角函数值，需要求其对应的锐角时，就需要用到反三角函数。 若sinA=x，则∠A=arcsinx(计算器上为sin⁻¹) 若cosA=x，则∠A=arccosx(计算器上为cos⁻¹) 若tanA=x，则∠A=arctanx(计算器上为tan⁻¹) 注意事项： 使用计算器前，务必确认计算器的角度模式为DEG (度)，而不是 RAD (弧度) 或 GRAD (梯度)。 计算结果通常是近似值，注意题目对有效数字或精确度的要求。 【知识点06.常见误区与易错点】 1.概念混淆：将仰角、俯角、方位角、坡度等概念混淆，导致画图错误。 2.三角函数用错：在直角三角形中，误将对边、邻边、斜边搞混，导致选择错误的三角函数。 3.特殊角值记错：特别是30和60的正弦、余弦值容易记反。 4.计算器使用不当：忘记切换到角度模式 (DEG)，导致计算结果完全错误。 5.忽略实际意义：在应用题中，计算结果不符合实际情况（如长度为负），未进行检验。 6.单位不统一：在坡度问题中，高度和宽度的单位不一致，直接进行计算。 【题型1.求锐角的正弦值】 【典例】如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了时，垂直高度下降了．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，求一个角的正弦值，解题的关键是正确构造直角三角形． 记一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了，此时在点处，则，过点作于点，则，可得，然后在中，利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，记一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动了，此时在点处，则，过点作于点，则， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 【题型2.已知正弦值求直角三角形边长】 【典例】如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 【跟踪专练1】如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，将一张宽为的矩形纸片折叠，若，则折痕的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据正弦值求边长，根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，过点F作矩形纸片的一边与H，则，由平行线的性质得出，由折叠的性质和平角的定义得出，再根据正弦的定义即可求出． 【详解】解：过点F作矩形纸片的另一边于H，如下图： 则， ∵矩形纸片两边平行， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 故答案为：2 【题型3.求锐角的余弦值】 【典例】在中，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了余弦，正确掌握边角关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：∵在中，， ， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 设，则， ， 在中，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：取格点D，连接、，则，A、B、三点共线， 由网格可知，，， 在中，， ， ， 故选：． 【题型4.已知余弦值求直角三角形的边长】 【典例】在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了根据角的余弦值求边长，根据余弦函数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【跟踪专练1】如图所示，有一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为，若屏幕的长度为，则上方边界C处到桌面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，根据余弦的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】.在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可． 【详解】解：当点E在线段上时， ∵平行四边形中，F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时， 过点F作于点M， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数的计算，分类思想，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 【题型5.求锐角的正切值】 【典例】如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握正切的定义． 根据锐角的正切值即为锐角的对边与邻边的比值求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质及正切的定义．利用菱形的性质得出，，，再根据已知的对角线长度并结合对角线被平分的性质求出，的长度，最后根据正切的定义求出值． 【详解】解：记，的交点为O， ∵，是菱形的对角线， ∴，即，，， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 【题型6.已知正切值求直角三角形边长】 【典例】已知中，，，，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长． 【详解】在中，，， ∵，， ∴， 解得 ， 故答案为6． 【跟踪专练1】如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．首先根据直线求得点C的坐标，然后根据的面积求得的长，即可求得点C的坐标，进而求得一次函数解析式为，设，然后利用正切函数的定义求得的值，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图，作轴交于点D， ∵直线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数在第一象限内的图象交于点B， ∴． 故答案为：12． 【题型7.特殊直角三角形的三角函数值计算】 【典例】若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线直线l，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质及特殊角度的三角函数值．先根据，可得为等腰三角形，再由直线直线l，得到内错角相等，即可求得α的角度，进而求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵直线直线l， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 【题型8.特殊角三角函数值的混合运算】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的计算，关键是熟练应用知识点进行计算； 将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 故答案为： ． 【跟踪专练1】计算 结果是（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【跟踪专练2】若为锐角，当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据且为锐角，求出，再代入求解即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角，， ∴， ∴ ． 【题型9.由特殊角的三角函数值求对应角的度数】 【典例】在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，为锐角，， ， ， ． 故选：D． 【跟踪专练1】在中，若（其中，为锐角），则的形状是 ． 【答案】钝角三角形或等腰三角形 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．由非负数的性质求出 和 的值，再根据三角函数值确定角 和 的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ，为锐角， ∴，， ∴的度数是， 所以 是钝角三角形或等腰三角形， 故答案为：钝角三角形或等腰三角形． 【跟踪专练2】在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查有关解直角三角形的应用、解题的关键是掌握锐角三角函数．在中，利用勾股定理可判断A选项，利用锐角三角函数可判断B、C选项；利用特殊角的三角函数值可判断D选项． 【详解】解：在中，，， ，A选项结论正确，不符合题意； ，B选项结论正确，不符合题意； ，， 则，C选项结论正确，不符合题意； ，则，D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 【题型10.解直角三角形的综合计算】 【典例】如图，在中、，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的两个顶点B、C在轴正半轴上，，．双曲线在第一象限的分支过点，且，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 根据题意易得点，设点的坐标为，根据角的正弦值设，，利用勾股定理求出，得点，利用待定系数法求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴，即， 解得， ∴， ∴设点的坐标为， ∵， ∴设，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，即点的坐标为， 将点代入得：， 故答案为：12． 【题型11.三角函数的综合应用】 【典例】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰的高， ， 在中，， 又， ， 故选： A． 【跟踪专练1】如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【跟踪专练2】已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 【题型12.方位角的三角函数应用】 【典例】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 【答案】 【详解】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 【题型13.三角函数的其他拓展问题】 【典例】如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查是解直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 【跟踪专练1】校园安全体现在每个方面，校园安全无小事．校内相关部门提醒校内行车司机；为了安全请勿超速；并在进一步完善各类监测系统．如图，在校内某直线路段内限速16米/秒，为了检测车辆是否超速，在路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了14秒钟，已知米，则此车 （“有”或者“没有”）超速； 【答案】没有 【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键． 根据题意结合锐角三角函数关系得出的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案． 【详解】解：此车没有超速．理由如下： 过点作于点， ， ， ∵，米， 则， 解得：米， ， ∴车速为． ∵， ∴此车没有超速， 故答案为：没有． 【跟踪专练2】为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，且，则点与地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 【题型14.仰角.俯角的三角函数实际应用】 【典例】如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据） 【答案】铁塔的高度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于E，由题意可知，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， 由题意可知：，， 在中，， 在中，， ∴， 答：铁塔的高度为． 【跟踪专练1】综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 【答案】(1)线段的长为 (2)的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，根据，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴广告牌低端顶点D到地面的距离的长约为． 【跟踪专练2】小明携带无人机勘测某山体．如图，光轴线与水平线之间的夹角，最佳拍摄范围是光轴线为中心范围（，最佳拍摄范围是的边和内部区域），方向是水平方向．小明在点处竖直向上放飞无人机，无人机稳定后悬停在点，，相距．（参考数据：，，） (1)求．（结果保留根号） (2)该山体隧道长，小明到达隧道出口点后，控制无人机在光轴线与水平线夹角保持不变的情况下，从点竖直向上飞行至点，此时点恰好进入无人机最佳拍摄范围，若此时无人机与小明的距离为的4倍．求无人机距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，掌握特殊角的正切值和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据正切值求即可求解； （2）设，则无人机与小明的距离，再根据题意得，利用其正切值得到，进而在，应用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：，， ，，， ，解得， ，解得， ； （2）解：设，则无人机与小明的距离， 由题意可知， ，解得， ， 在中，， 即， 整理得：， 即， 解得或（舍去）， ， 无人机距离地面的高度为． 【题型15.坡度坡比的三角函数应用】 【典例】如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 【跟踪专练1】如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 【跟踪专练1】如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向前移至点时，才能确保山体不滑坡，求的长度．（参考数据：，，） (2)综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度． 【实践工具】测角仪等测量工具． 【实践活动】在办公楼顶端处安置一台测角仪，测得此时对的仰角，对的俯角． 【问题解决】借助已知中的数据计算求出办公楼的高度．（精确到） （参考数据：） 【答案】(1)长度为 (2)办公楼的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （2）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出，，根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【详解】（1）解：如图所示，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ， 斜坡的坡比为，， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ， ， 在中，， ， 长度为时，才能确保山体不滑坡． （2）设，则， ， ，，． ， 四边形为矩形． ，，， ，， ，即， 解得：， 经检验是分式方程的根， ， 故办公楼的高度为． 1．一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由于直角三角形两边长分别为6和8，未指明是直角边或斜边，需分6和8均为直角边和8为斜边两种情况，分别根据勾股定理和正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两边长为6和8， ∴ 有两种情况： ① 若6和8均为直角边，则斜边 ， 较小锐角对边为6， ∴ ； ② 若8为斜边，则另一直角边 ， ∵ ，即较小锐角对边为， ∴ ． ∴ 较小锐角的正弦值为 或． 故选C． 2．如图，在等腰三角形中，为边的中点，于点E，则 ． 【答案】/ 【分析】连接，，，，求得，，根据定义． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为边的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过O作于H，根据直角三角形斜边中线的性质求出，，在中，，当最大时，最大，而在中，，则的最大值为，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过O作于H， ∵，，E、F分别是和的中点， ∴，， 在中，， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当H、E重合时，取最大值，最大值为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，正弦，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．如图，将边长为的正方形绕点A旋转一周得到正方形，连接，，旋转过程中，若，则点到的距离为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解三角形的应用，解题关键求出利用解三角形求出． 分当点在下方或上方时，两种情况：连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于，于，即点E到BC的距离为，根据正方形的对角线平分每一组对角得出求出，进而求出，再解三角形求出， ，进而可得，从而可得，继而求出，由，即可求出． 【详解】解：当点在下方时，如图1，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于，于， 由旋转可知：， ∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为， 当点在上方时，如图2，连接，过点作，交延长线于点，过点作，交于，于， 同理可得： ，，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为， 综上所述：点到的距离为或。 故答案为：或． 5．如图，在等边中，，点E为AC边上一个动点，连接，将沿着翻折得到，则点F到距离的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，解直角三角形，垂线段最短，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，过点作于．解直角三角形求出，观察图形可知，当点落在上时，点到距离的最小． 【详解】解：如图，过点作于． 是等边三角形， ，， ，， ， ， 观察图形可知，当点落在上时，点到距离的最小，最小值为， 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，，P为线段AD上一个动点，过P做，垂足为G，连接BP，取的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，在动点问题中找出界点是解题关键．先根据题意确定最小时点的位置，随着动点而动，它的运动轨迹是平行于的直线，所以当垂直于时，即、、三点共线时的值最小，然后根据锐角三角函数求出相应线段的长即可解答． 【详解】解：延长至，使得，连接，如图： 易得， ，， 设， ，是定角， 在定直线上运动， ，， ，， 当最小时，有最小值， 当时，有最小值， ， ， ， ，解得， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，在中，于点M，于点N，P为边的中点，连接，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则为等边三角形；④若，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，可判断①正确；根据的三角函数，相似三角形的性质和判定，可判断②正确；根据的三角函数，可判断④正确；由③的条件可判断为等边三角形，若为等边三角形，则，则可证此时，因为于点M，P为边的中点，则，则此时也为等边三角形，则，但不一定为，则③错误． 【详解】解：①：，且， ∴ 则， 同理， 故，， ∴∽， ∴， 即， 则①正确； ②，且， ， 则， 同理， 故，， ∴∽， ， 即， 则②正确； ③∵于点N，P为BC边的中点， ∴， ∵， 则为等边三角形， ∴， 若为等边三角形， 则， 则， ∵于点M，P为边的中点， ， 则为等边三角形， 则， 但不一定为， 则③错误； ④∵于点N，P为BC边的中点， ， ， 则， ∵P为BC边的中点， ， 则④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，三角函数，等边三角形的性质和判定，三角形斜边上的中线，掌握相关知识是解决问题的关键． 8．如图，在中，，是边上的中点，连接，过点作交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形等面积法的应用．先根据锐角三角函数的定义求出，由是边上的中点，可得，，再由勾股定理可得，利用等面积法得到的长，然后由勾股定理得到的长，从而求出的长． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， 又是边上的中点， ，， ， ， ， 在中， ， ， 故选：． 9．如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，先证明，得到直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理，正弦函数解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正弦函数的应用，熟练掌握性质和定理，正弦函数的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 故， ∴， 故选：A． 10．如图，四边形中，，，E为的中点，F为上一点，且满足，则的长为  （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接，证明四边形是矩形，则，得到，则,证明，则，在中，设，则，得到，则，证明，则，得到，即可求出的长. 【详解】解：过点D作于点G，过点F作于点M，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 即的长为， 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造矩形和相似三角形是解题的关键. 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查的是分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值．先根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 12．综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现不是直角三角形，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题．比如连接格点、，可得，则，连接，即可变换到格点处，并且恰好在中．可以求出的值为_____． 【深入探究】 （2）如图2，在的正方形网格中，，，，为格点，交于点，求的值． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形网格中，，，，为格点，与相交于点，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了网格问题中求三角函数值，勾股定理，平移性质等知识． （1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，，根据勾股定理逆定理得到，即可求出，进而即可求出； （2）将平移至．设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， 从而证明是直角三角形，且，即可求出，证明，即可得到； （3）将平移到，连接，过点作于点．根据，得到，设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理得，，求出，结合求出，即可求出． 【详解】解：（1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图2，将平移至． 设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知， ， ∴，且， ∴是直角三角形，且． ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，将平移到，连接，过点作于点． ∵， ∴， ∴． 设网格中小正方形的边长为1， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 13．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图，，，是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得南环线的长度即可； （2）过点作的延长线于点可得和，设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小黄和小月两人同时到达景点，则步行时间相等，列出方程，求得和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：南环线的长度为； （2）解：过点作的延长线于点，如图所示： 、， 设小黄步行速度为，则小月步行速度为，两人步行时间为小时， ， 、， ， 在中，由勾股定理得，， 由于小黄与小月两人同时到达景点， 则， 整理得，， ， 解得， 因此北环线的长度为 答：北环线的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理、方位角，一元二次方程的应用，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 14．【问题提出】在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交于点，连接，试探究点D到线段的距离． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段的距离（用含的式子表示）； （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 【问题拓展】如图3，在等腰中，为中点，以D为顶点作，角的两边分别交直线于点，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；【问题拓展】 【分析】（1）解：根据“三线合一”可得，，，，证明点D到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）作于于N，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； 问题拓展：连接，作于P，设，则，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵为中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴D到线段的距离即为的长， ∵, ∴； （2）作于于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 问题拓展：， 连接，作于P，设， 则， ∵为中点， ∴，， ∵，是公共角， ∴， ， 由（2）得 ∴ 由（2）得 ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一般图形中． 15.．中，． (1)如图， 求证： ； (2)如图， 点位置如图所示，，连接，求证：； (3)如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）过点作于，得到为等腰直角三角形，进而得到，，结合，得到，为等腰直角三角形，即可求证， （2）在上取，由，，得到为等腰直角三角形，进而得到，，，，进而得到，，结合，即可求证， （3）在上取，连接，作，由，结合，得到， 结合，，，得到，，设，，结合，得到，由，，得到，，，代入解得：，，，，，结合即可求解， 本题考查了，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． 【详解】（1）证明：如图，过点作于，则， ∵，. ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取，连接，作于， ∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 设， 在中，， ∵，由（2）得， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，即：，即：， 整理得：，即：， ∴，解得：，或（舍）， ∴，，， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $