第一章 直角三角形的边角关系（举一反三单元测试·培优卷）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系·培优卷 【北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，如图， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长为(　　)米 A． B． C． D． 6．（3分）（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 7．（3分）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 8．（3分）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 10．（3分）如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）    A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 12．（3分）（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 13．（3分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 14．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，为三角形内部一点，，，，则 ． 15．（3分）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 16．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算 (1) (2) 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 19．（8分）（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 20．（8分）（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 21．（10分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的边上找一点，使； (2)在图②中画的角平分线； (3)在图③中的边上画一点，使． 22．（10分）（2025·山西吕梁·二模）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点处，测得观景台正对岸处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，已知观景台高为10米，台面宽为16米（图中所有点均在同一平面内，三点共线），求此河段的宽．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 23．（12分）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 24．（12分）（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直角三角形的边角关系·培优卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 2．（3分）（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．由勾股定理得，进而利用三角函数定义即可得解． 【详解】解：如图， 根据勾股定理得，． ． 故选：C． 3．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，如图， ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．设，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据新定义，得出答案即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 4．（3分）（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长为(　　)米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据题意先求得，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意 ∵扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，过道与地面平行， ∴ ∵长为米， ∴ ∴ 在中，， 故选：B． 6．（3分）（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7．（3分）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 8．（3分）在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长． 【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E 由折叠可知： ，， ∵AN平分 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得： 故选：C 【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 10．（3分）如图，直线y=x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，设N的坐标是（x，x+3），得出DN=x+3，OD=-x，求出OA=4，OB=3，由勾股定理求出AB=5，由三角形的面积公式得出AO×OB=AB×OC，代入求出OC，根据sin45°=，求出ON，在Rt△NDO中，由勾股定理得出（x+3）2+（-x）2=()2，求出N的坐标，得出ND、OD，代入tan∠AON=求出即可． 【详解】过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，    ∵N在直线y=x+3上， ∴设N的坐标是（x，x+3）， 则DN=x+3，OD=-x， y=x+3， 当x=0时，y=3， 当y=0时，x=-4， ∴A（-4，0），B（0，3）， 即OA=4，OB=3， 在△AOB中，由勾股定理得：AB=5， ∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC， ∴3×4=5OC， OC=， ∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°， ∴∠MNO=45°， ∴sin45°=， ∴ON=， 在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2， 即（x+3）2+（-x）2=()2， 解得：x1=-，x2=， ∵N在第二象限， ∴x只能是-， x+3=， 即ND=，OD=， tan∠AON=． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出的正弦值，得出，然后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（3分）（2025·江苏南通·一模）在中，，为斜边上的中线，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查直线三角形斜边上中线等于斜边的一半以及余弦的定义．根据斜边上的中线等于斜边的一半以及余弦的定义：邻边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（3分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出，则，所以，然后在中利用的正弦可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（3分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，为三角形内部一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值，涉及了全等三角形的判定与性质，延长，交于，过作于，证得；根据可得，，即可求解； 【详解】解：延长，交于，过作于， ∵，， ∴； ∵ ∴； ∵， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 15．（3分）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 16．（3分）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【答案】(1)点P的纵坐标为8 (2) 【分析】 本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键． （1）由，可设，，利用勾股定理列方程，求出x的值即可． （2）由余弦的定义即可求解； 【详解】（1）如图，过点P作轴于点M， 则， ∵点P的横坐标为6， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负数舍去）， ， 点P的纵坐标为8． （2）由（1）知，， ， 故答案为：． 19．（8分）（2025·浙江衢州·三模）如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴在中，． （2）解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 20．（8分）（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 21．（10分）（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的边上找一点，使； (2)在图②中画的角平分线； (3)在图③中的边上画一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角函数的知识、等腰三角形三线合一的知识、相似三角形的知识． （1）线根据三角函数与边的关系得出，再代入即可得出答案． （2）根据等腰三角形的三线合一的知识，先构造等腰三角形，再找到底边中点连线即可． （3）根据相似三角形对应边成比例构造的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图所示： ∵，， ∴， 以点为顶点，构造等腰三角形， 根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线． （3）如图所示： 22．（10分）（2025·山西吕梁·二模）汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点处，测得观景台正对岸处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，已知观景台高为10米，台面宽为16米（图中所有点均在同一平面内，三点共线），求此河段的宽．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】该河段的宽约为米． 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质．过点作于点，过点作于点．设米，米，利用解直角三角形得到，以及，建立等式求出，进而求出，再根据求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 则四边形为矩形， 根据题意得，米， 米． 设米，米， 在中，， 即． 在中，， 即， ， 解得， ． 在中， （米）， 该河段的宽约为米． 23．（12分）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 24．（12分）（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $