教考衔接二十六 教材命题点探源突破卷（04）-2026届高三数学二轮复习

教考衔接二十六 教材命题点探源 高三数学 突破卷04 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足（i为虚数单位），则( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知向量，，且，求( ) A. B. C. D. 5.若随机变量，且，则的最大值为（   ） A．9 B． C．24 D．27 6.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 10. 已知函数在区间上单调递减，直线为函数图象的一条对称轴，点为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 D. 若在上有且仅有个极值点，则 11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前n个数中的最大值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知,,则_______________. 13.已知数列满足对任意，都有，且，则使的前k项的积大于的k的最大值为_______________. 14．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）设数列满足，其中. （1）证明：是等比数列； （2）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n的值. 16.（15分）如图，在中，，，D是AC中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且，将沿EF折起，点B折至点P的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面PAC. （2）若，二面角是直二面角，求线段AP的中点M到平面PEC的距离； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 17．（15分）已知抛物线，椭圆过点与有相同的焦点是与的等差中项． （1）求和的方程； （2）如图所示，曲线是由抛物线的一部分和椭圆的一部分构成的封闭图形．在曲线上，点为上的动点．过点的直线与交于两点． （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）若的面积为，当时，求直线的方程． 18. （17分）已知函数的定义域为，，导函数，设是曲线在点处的切线. （1）求的最大值： （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围. 19.（17分）随机游走在空气中的烟雾扩散，股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）记第n秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知，求，以及； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知，证明：该粒子是常返的. 学科网（北京）股份有限公司 $ 教考衔接二十六 教材命题点探源 高三数学 突破卷04 （分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足（i为虚数单位），则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，， 所以，所以，所以， 故选：C 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知集合，，所以. 故选：A. 3.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 又，. 故选：D． 4.已知向量，，且，求( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，所以，， 由得，，则有，解得或， 因为，所以，即. 故选：C 5.若随机变量，且，则的最大值为（   ） A．9 B． C．24 D．27 【答案】A 【解析】由题意可得，则，所以， 易知当时，的最大值为. 故选：A. 6.用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得， 所以，所以该椭圆的离心率， 故选：D. 7．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径 ，，故外接球表面积为， 故选;A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 8．若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， 所以的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的定义域为，对任意正实数，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，令，，则在上单调递增， 此时，所以不一定成立，所以A错误； 对于B，令，因为函数在上单调递增， 所以，即，所以B正确； 对于C，令，因为是增函数， 所以， 所以 ，所以，所以，所以C正确； 对于D，令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； 令，因为是增函数， 所以， 所以； …… 令，因为是增函数， 所以， 所以， 所以， 所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数在区间上单调递减，直线为函数图象的一条对称轴，点为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数 D. 若在上有且仅有个极值点，则 【答案】BCD 【解析】因为函数在区间上单调递减， 且直线为函数图象的一条对称轴， 则函数在上取得最小值，则①， 因为点为函数图象的一个对称中心，则②， ②①可得，故， 设函数的最小正周期为，则，可得，故， 又因为且，故， 所以，故， 又因为，所以，故， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，因为， 故点是函数的图象的一个对称中心，B对； 对于C选项，将的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为 ， 故所得函数为偶函数，C对； 对于D选项，，且， 当时，， 因为在上有且仅有个极值点，则， 解得，即，D对. 故选：BCD. 11．某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前n个数中的最大值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】选项A：表示第一个数的最大值，即该数本身； 表示第一个数的最小值，也即该数本身； 所以，，A正确； 选项B：表示输出的前3个数的最大值为3， 即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：； 所有数均的概率：. 所以，B正确； 选项C：表示输出的前3个数的最小值为3， 即需满足“输出的每个数，且至少有一个数为3”. 所有数均的概率：； 所有数均的概率：. 所以，C错误； 选项D：记为事件A，即前4个数最大值为6， 为事件B，前4个数最小值为3.则. 表示前4个数最大值为6且最小值为3， 即所有数均在3到6之间（含3和6）， 所以. 故，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知,,则_______________. 【答案】 【解析】,,所以即 原式 ,原式. 故答案为：. 13.已知数列满足对任意，都有，且，则使的前k项的积大于的k的最大值为__________. 【答案】4 【解析】在中取，，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以.记的前n项的积为，则由，得，故，又，，， 所以使的前k项的积大于的k的最大值为4. 14．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为 ． 【答案】 【解析】对于函数，有，可得，解得， 故函数的定义域为， 由求得，，则法线斜率为， 则在点处的法线方程为， 即， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 即，由“公法线”得，， 这两个等式相加得，即， 令，则， 故函数在上为增函数， 又因为，所以函数有且只有唯一的零点， 解方程组，可得或，， 又因为，故，故要舍去，即，， 所以“公法线”方程为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）设数列满足，其中. （1）证明：是等比数列； （2）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】（1）证明：. 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，即， 所以，则，① ，② ，得 ， 所以. 所以， 所以为单调递增数列. 因为，， 所以使成立的最大正整数n的值为6. 16.（15分）如图，在中，，，D是AC中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且，将沿EF折起，点B折至点P的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面PAC. （2）若，二面角是直二面角，求线段AP的中点M到平面PEC的距离； （3）当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）证明：在四棱锥中，， 又平面，平面PAC， 所以平面PAC. （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，，. 因为二面角是直二面角， 所以平面平面EFC，平面平面，，平面，平面EFC. 因为平面EFC，所以， 以FE，FC，FP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面PCE的一个法向量为， 则令，得， 故所求点面距离为. （3）以直线CA和CB分别为x轴，y轴，过点C作平面ACFE的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 设，，，，，显然， 所以，，，解得， 所以，所以. 因为点P与其在直线FC上的射影及点F围成以线段PF为斜边的直角三角形， 则，即，且，，所以. 因为平面ABC的一个法向量为， 设直线PE与平面ABC的所成角为， 所以， 所以 . 令，函数在上单调递减，， 所以，所以，解得， 所以直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围是. 17．（15分）已知抛物线，椭圆过点与有相同的焦点是与的等差中项． （1）求和的方程； （2）如图所示，曲线是由抛物线的一部分和椭圆的一部分构成的封闭图形．在曲线上，点为上的动点．过点的直线与交于两点． （i）求直线的斜率的取值范围； （ii）若的面积为，当时，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）或 【解析】（1）过点，，又是与的等差中项， ,解之得，， 椭圆的方程为：；焦点，又与有相同的焦点，； （2）（i）联立与，， 解之得，， 设的方程为：，联立， 则直线与相切时，，得， 则切线斜率，所以； 又， 直线的斜率的范围是； （ii）设，，． ，由对称性，不妨取， 设，由（i）得， 由弦长公式得， 设点到直线的距离为， ， 解之得，由椭圆的对称性，另一个解为，， 由（i）得斜率的范围是符合， 综上可得直线的方程为：或． 18. （17分）已知函数的定义域为，，导函数，设是曲线在点处的切线. （1）求的最大值： （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为， 所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增， 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以，， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以，， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为， ，. 所以 ， 由（1）知，当时，， 所以，所以. 19.（17分）随机游走在空气中的烟雾扩散，股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）记第n秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知，求，以及； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知，证明：该粒子是常返的. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i），， （ii）证明见解析 【解析】（1）粒子在第2秒末可能移动到点，，，，，，，，的位置， 则X的所有可能取值为：，0，2， ，，， 所以X的分布列为： X 0 2 P . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故，粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑： （a）每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； （b）每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形. 于是. 第2n秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动步，向下移动步， 故 ， 故. （ii）证明：由， 可知：， 于是， 令，，则， 故在上单调递增，则， 于是，从而有：， 即为不超过x的最大整数，则对任意实数， 当时，，于是， 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 学科网（北京）股份有限公司 $