1.1 数列的概念 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 数列 互动设计 1.1 数列的概念 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解数列的概念，认识数列是一种特殊的函数。。。 返回主页 1 理解数列的概念，认识数列是一种特殊的函数掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的任意一项能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式了解数列的递推公式，理解递推公式与通项公式的区别与联系 2 经历从具体实例抽象出数列概念的过程，体会归纳推理的思想通过分析数列与函数的关系，培养类比迁移能力 情 境 引 入 情境一：生活中的数列 返回主页 情境一：生活中的数列 素材1：斐波那契兔子问题 ： 假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每月生一对小兔。如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年后可繁殖成多少对？ 分析：每月兔子对数依次为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 素材2：银行定期存款 ： 小明将10000元存入银行，年利率为2.25%，按复利计算，未来5年每年末的本利和依次为多少？ 计算：10000×1.0225, 10000×1.0225², 10000×1.0225³, 10000×1.0225⁴, 10000×1.0225⁵ 即：10225, 10455.06, 10690.30, 10930.83, 11176.77… 素材3：奥运会金牌数:中国代表团近五届夏季奥运会获得金牌数：32（雅典）、51（北京）、38（伦敦）、26（里约）、38（东京） 问题 设计意图 预设答案 观察以上四组数据，它们有什么共同特征？ 引出”有序性” 都是按一定顺序排列的一列数 这些数的排列顺序能否随意调换？ 强调顺序的重要性 不能，顺序改变意义就变了 与集合相比，这些数有什么特点？ 对比强化概念 数可重复，有顺序，而集合元素无序不重复 数列中的数与它的位置（序号）有什么关系？ 铺垫函数观点 每一个序号对应唯一的数，是一种函数关系 过渡语：像这样按一定顺序排列的一列数，就是我们今天要研究的数列。 互 动 设 计 探究活动一：数列概念的建构 返回主页 探究活动二：数列是特殊的函数 探究活动三：通项公式的探究 【互动探究4】终边相同的角 探究活动一：数列概念的建构 任务单： 请同学们举出生活中数列的3个例子，并思考： 这些数列的项是有限的还是无限的？ 2. 数列中的数可以重复吗？ 3. 数列中的数必须是实数吗？ 小组汇报后教师总结： 特征 说明 有序性 数列中的数按确定顺序排列，顺序至关重要 可重复性 同一数可以在数列中多次出现 可数性 数列可以是有限的（有穷数列），也可以是无限的（无穷数列） 同类型性 通常讨论实数数列，但也可以是复数、向量等（拓展） 核心概念： 数列：按照一定顺序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项（首项）、第2项、…、第n项、… 符号表示：数列的一般形式写成 ，简记为 。 关键强调： 表示整个数列， 表示数列的第 项，两者是不同的概念！ 探究活动二：数列是特殊的函数 几何画板演示：展示数列 的图像——抛物线 上横坐标为正整数的孤立点。 引导问题： 问题 函数观点 数列特征 数列的项 与序号 是什么关系？ 对应关系 是自变量， 是因变量 自变量 的取值范围是什么？ 定义域 （或有限子集） 这种对应关系有什么特点？ 离散性 定义域是离散的点，图像是孤立的点 探究活动三：通项公式的探究 问题情境： 已知数列 的前4项为：1, 3, 5, 7, … 第10项是多少？第100项呢？ 2. 能否用一个公式表示第 项 与 的关系？ 学生归纳： 教师追问： 有了通项公式，求任意一项是否方便？（代入即可） 通项公式是否唯一？（举例：1, 3, 5, 7, 1, 1, 1, … 前4项相同但后续不同） 核心概念： 通项公式： 如果数列 的第 项 与序号 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 探 求 新 知 一、数列的表示方法（系统梳理） 返回主页 二、通项公式的求法技巧（重点） 三、递推公式初步 一、数列的表示方法（系统梳理） 表示方法 形式 优点 缺点 列表法 直接列出各项 直观明了 难以表示无限项，规律不明显 图像法 坐标系中的孤立点 形象直观，便于观察趋势 不够精确，作图麻烦 通项公式法 便于计算任意项，利于理论研究 不直观，有些数列无简单通项公式 递推公式法 给出首项及相邻项关系 揭示数列内在生成规律 求某项需逐步计算，不够直接 二、通项公式的求法技巧（重点） 类型1：观察归纳法 数列前几项 观察角度 通项公式 1, 4, 9, 16, 25, … 平方数 2, 4, 8, 16, 32, … 指数增长 1, -1, 1, -1, 1, … 摆动规律 或 2, 0, 2, 0, 2, 0, … 周期规律 9, 99, 999, 9999, … 变形观察 分子分母分别看 类型2：变形转化法 原数列 变形 通项公式 3, 5, 9, 17, 33, … 各项减1：2,4,8,16,32,… 0, 3, 8, 15, 24, … 各项加1：1,4,9,16,25,… 分子2n，分母2n+1 技巧口诀：先看符号正负交替，再看分子分母规律，最后检查是否需要整体加减常数。 三、递推公式初步 定义：如果已知数列 的首项（或前几项），且任意一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 经典案例——斐波那契数列： 通项 vs 递推对比：   通项公式 递推公式 求第100项 直接代入 需从第1项逐步算到第100项 揭示规律 直接显示 与 的关系 显示相邻项之间的内在联系 存在性 有些数列没有初等通项公式 大多数数列容易写出递推公式 典 例 铺 路 例题1：由通项公式写数列的项（基础） 例题3：数列的单调性（提升） 例题2：由前几项归纳通项公式（重点） 例题4：递推公式的应用（拓展） 例1.已知数列 的通项公式为 。 写出数列的前5项； 判断 是否为数列中的项，若是，是第几项？ 例题1：由通项公式写数列的项（基础） 解： (1) 依次代入 ： - - - - - 设 ，则 ，即 ，（ 舍去） 结论： 是数列的第7项。 写出下列数列的一个通项公式： （ 例题2：由前几项归纳通项公式（重点） 分析：绝对值为奇数1,3,5,7,9…即 ；符号正负交替， 解： 或 （ 分析：分母为 ；分子：3,8,15,24… 即 即 解： 或化简为 （但通常保留分式形式） 分析：各项接近1，可写成 解： 分析：观察与2的幂次关系：, 实际 解： 例题3：数列的单调性（提升） 已知数列 的通项公式为 。 数列中有多少项是负数？ 当 为何值时， 有最小值？并求出最小值。 解： (1) 解 ，即 ，得 因为 ，所以 ，即第2项和第3项为负数。 由于 为正整数，离 最近的是 或 。 计算：， 结论：当 或 时， 取最小值 。 方法提炼：数列作为离散函数，求最值不能直接用导数，需找离对称轴最近的正整数。 例题4：递推公式的应用（拓展） 已知数列 满足 ，（）。 写出数列的前5项； 解： (1) - - - - - 观察：1, 3, 7, 15, 31… 即 猜想： 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 根据通项公式 ，写出数列的前5项。 答案 ；；；； 答案： 【基础训练】 2. 写出数列 的一个通项公式。 答案与解析 方法一：观察 答案： 方法二：差分法： 二阶差分为常数2，推测为二次函数 ，代入求解也可得 【基础训练】 3. 已知数列 满足 ，（），求 。 答案 答案： 【能力提升】 4. 数列 的通项公式为 （），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由。 答案与解析 解：考察相邻两项的比值或差值。 设 最大，则需满足 （） 由 ： 即 ，，， 由 ： 即 ，，， 所以 ，即第9项和第10项都是最大项。 计算：， 答案：有最大项，第9项和第10项均为最大项，值为 （或写成 ） 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 数列 的递推公式是（ ） A. B. C. D. B。注意首项有两个，且递推关系是前两项之和。 2. 已知数列 的通项公式为 ，则 （ ） A. 不是数列中的项 B. 只是数列的第2项 C. 只是数列的第6项 D. 是数列的第2项或第6项 D。解 ，即 ，， 或 。 【填空题】（每题5分） 3. 数列 的一个通项公式为 ______。 或 4. 已知数列 满足 ，且 ，则 ______。 5α = α + k·360° ⇒ 4α = k·360° ⇒ α = k·90° 由180°<α<360°，k=3时α=270° 【解答题】（10分） 5. 已知α为第二象限角，问是第几象限角？并图示其终边分布规律。 5. 已知数列 的通项公式为 。 求数列的第10项； 判断 是否为数列中的项； 求证： 对所有 成立。 答案与解析 先化简：（ 时 ） 设 ，则 ，， 结论：不是数列中的项。 证明： 因为 ，所以 ， 所以 ，即 。证毕。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 数列的概念 │ ┌────────────┼────────────┐ │ │ │ 按项数分类 按单调性分类 表示方法 ├─有穷数列 ├─递增数列 ├─列表法 └─无穷数列 ├─递减数列 ├─图像法 ├─常数列 ├─通项公式 ★ └─摆动数列 └─递推公式 │ 与函数的关系（定义域离散） 58 2. 方法小结 要点 内容 注意事项 定义 按一定顺序排列的一列数 强调”顺序”二字 通项公式 不唯一，可能不存在初等形式 递推公式 由前项定后项 需已知首项（前几项） 函数观点 特殊函数，定义域为 图像是孤立点，求最值找最近整数点 求通项公式：观察→归纳→猜想→验证；常用技巧：符号因子 、分解变形、与特殊数列对比 判断数列性质：作差 判断单调性；或利用对应连续函数的单调性结合离散性分析 知 求 ：（），（下节课重点） $