专题11轴对称及其性质（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题11轴对称及其性质 【题型01 轴对称图形的识别】.......................................2 【题型02 成轴对称的两个图形的识别】...............................3 【题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断】.........................4 【题型04 根据成轴对称图形的特征进行求解】.........................5 【题型05 求对称轴条数】...........................................5 【题型06 折叠问题】...............................................6 【题型07 画对称轴】...............................................7 【题型08 画轴对称图形】...........................................7 【题型09 设计轴对称图形】.........................................8 【题型10 车牌号码的镜面对称】.....................................9 【题型11 钟表的镜面对称】........................................10 【题型12 电子钟示数的镜面对称】..................................10 【题型13 台球桌面上的轴对称问题】................................11 【题型14 解答题6题】............................................12 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 轴对称图形 定义：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。 关键：针对一个图形的自身对称特性（自对称）。 示例：等腰三角形、矩形、正方形、圆、等腰梯形、正多边形等。 对称轴数量：圆有无数条，正方形有4 条，等腰三角形有1 条。 2. 两个图形成轴对称 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能完全重合，称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴，重合的点叫对称点。 关键：针对两个图形的位置关系（互对称）。 示例：一张纸对折后剪出的两个全等图案、镜子内外的对应图形。 3. 轴对称图形与轴对称的区别与联系 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 联系 把成轴对称的两个图形看作整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分就成轴对称 知识点02:轴对称的核心性质 在轴对称图形或成轴对称的两个图形中，有以下三条核心性质： 是轴对称图形,对称轴为直线I. 1.对应点所连线段被对称轴垂直平分 对称点连线与对称轴垂直，且对称轴是这条线段的中垂线。 则:对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 2.对应线段相等 折叠后重合的线段长度相等。 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 3.对应角相等 折叠后重合的角度数相等。 则:对应角: 知识点03:易错点提醒 1.混淆 “轴对称图形” 与 “成轴对称”：前者是一个图形，后者是两个图形的位置关系。 2.对称轴是直线，不是线段或射线。 3.对应点连线与对称轴垂直且平分，缺一不可。 4.轴对称的前提是平面图形，折叠后必须完全重合。 【题型1.轴对称图形的识别】 【典例】已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号） 【跟踪专练3】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.成轴对称的两个图形的识别】 【典例】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【跟踪专练1】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【跟踪专练2】如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【跟踪专练3】如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 【题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例】如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是 ，的对应角是 ． 【跟踪专练2】如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例】如图，和关于直线对称，点的对称点是 ． 【跟踪专练1】如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 【跟踪专练3】已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【题型5.求对称轴条数】 【典例】等边三角形有 条对称轴． 【跟踪专练1】下列图形中对称轴最多的是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形 【跟踪专练2】圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆的 所在的直线． 【跟踪专练3】下列图形中，对称轴条数最少的是（    ） A．   B．  C．   D．   【题型6.折叠问题】 【典例】如图，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为 ． 【跟踪专练1】在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中是点的对应点），其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则 ． 【跟踪专练3】如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（   ） A． B． C．10 D． 【题型7.画对称轴】 【典例】如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【跟踪专练1】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【跟踪专练2】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8.画轴对称图形】 【典例】在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【跟踪专练1】如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【跟踪专练3】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 【题型9.设计轴对称图形】 【典例】如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    【跟踪专练1】如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有(     )． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    【跟踪专练3】如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（    ）种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型10.车牌号码的镜面对称】 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【跟踪专练1】一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是 ．    【跟踪专练2】小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【跟踪专练3】在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是 ． 【题型11.钟表的镜面对称】 【典例】小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子呈现为“”，则这串英文字母是 ． 【跟踪专练1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是 ． 【跟踪专练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【题型12.电子钟示数的镜面对称】 【典例】在镜子中看到的数字，则实际数字是 【跟踪专练1】小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【跟踪专练2】小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 【跟踪专练3】小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【题型13.台球桌面上的轴对称问题】 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【跟踪专练1】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【跟踪专练2】四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 2．如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 3．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 4．按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 5．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 6.．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11轴对称及其性质 【题型01 轴对称图形的识别】........................................2 【题型02 成轴对称的两个图形的识别】................................4 【题型03 根据成轴对称图形的特征进行判断】..........................6 【题型04 根据成轴对称图形的特征进行求解】..........................8 【题型05 求对称轴条数】...........................................10 【题型06 折叠问题】...............................................12 【题型07 画对称轴】...............................................15 【题型08 画轴对称图形】...........................................17 【题型09 设计轴对称图形】.........................................19 【题型10 车牌号码的镜面对称】.....................................21 【题型11 钟表的镜面对称】.........................................23 【题型12 电子钟示数的镜面对称】...................................24 【题型13 台球桌面上的轴对称问题】.................................26 【题型14 解答题6题】.............................................29 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 轴对称图形 定义：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。 关键：针对一个图形的自身对称特性（自对称）。 示例：等腰三角形、矩形、正方形、圆、等腰梯形、正多边形等。 对称轴数量：圆有无数条，正方形有4 条，等腰三角形有1 条。 2. 两个图形成轴对称 定义：两个平面图形沿一条直线折叠后能完全重合，称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴，重合的点叫对称点。 关键：针对两个图形的位置关系（互对称）。 示例：一张纸对折后剪出的两个全等图案、镜子内外的对应图形。 3. 轴对称图形与轴对称的区别与联系 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 联系 把成轴对称的两个图形看作整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分就成轴对称 知识点02:轴对称的核心性质 在轴对称图形或成轴对称的两个图形中，有以下三条核心性质： 是轴对称图形,对称轴为直线I. 1.对应点所连线段被对称轴垂直平分 对称点连线与对称轴垂直，且对称轴是这条线段的中垂线。 则:对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 2.对应线段相等 折叠后重合的线段长度相等。 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 3.对应角相等 折叠后重合的角度数相等。 则:对应角: 知识点03:易错点提醒 1.混淆 “轴对称图形” 与 “成轴对称”：前者是一个图形，后者是两个图形的位置关系。 2.对称轴是直线，不是线段或射线。 3.对应点连线与对称轴垂直且平分，缺一不可。 4.轴对称的前提是平面图形，折叠后必须完全重合。 【题型1.轴对称图形的识别】 【典例】已知直线，垂足为，则图形①与图形 成轴对称．    【答案】② 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的． 故答案为：． 【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有 ．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：等边三角形，线段，角，正方形，长方形，圆， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【题型2.成轴对称的两个图形的识别】 【典例】如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【跟踪专练1】如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 【跟踪专练2】如图的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（     ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【答案】A 【分析】:欲分析两个图形是否成中心对称,主要把一个图形绕一个点旋转180°,观察是否能和另一个图形重合即可． 【详解】根据中心对称的概念,知①、②、③都是中心对称;④是轴对称 故选：A． 【点睛】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心 【跟踪专练3】如图，由△ABC经过怎样的变换得到△DEC．答： ． 【答案】轴对称（或翻折变换） 【分析】根据网格结构和几何变换的特点解答． 【详解】解：如图，△ABC沿虚线翻折变换得到△DEC． 故答案为：轴对称（或翻折变换）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握网格结构和几何变换的特点是解题的关键． 【题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断】 【典例】如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形）关于所在的直线对称，下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，对所给选项依次进行判断即可．熟知轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形关于所在的直线对称，且点为上一点， ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； 而与不一定相等，故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，将一张纸对折后用针扎出一系列小孔，展开后得到成轴对称的两个图形，的对应线段是 ，的对应角是 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称性质，根据轴对称性质求解即可． 【详解】根据题意得，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，． 【跟踪专练2】如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 【跟踪专练3】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 【题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解】 【典例】如图，和关于直线对称，点的对称点是 ． 【答案】点 【分析】此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键．根据轴对称的性质进行解答即可， 【详解】解：和关于直线对称， 点的对称点是点， 故答案为：点． 【跟踪专练1】如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质， 掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，即可解答． 【详解】解：∵直线m是多边形的对称轴，若， ∴． 故选C． 【跟踪专练2】如图，在中，．如果点D，E分别为边上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质，作点A关于的对称点，作点，交于点D．则，所以．即的最小值为． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D． 则， ∴． 即的最小值为． ∵， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 【题型5.求对称轴条数】 【典例】等边三角形有 条对称轴． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 【跟踪专练1】下列图形中对称轴最多的是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，直接利用轴对称图形的定义，分析四个图形对称轴的条数，即可作出判断． 【详解】解：A、等腰梯形有一条对称轴； B、正方形有4条对称轴； C、半圆形有1条对称轴； D、等边三角形有3条对称轴． 所以对称轴最多的是正方形有4条对称轴． 故选：B． 【跟踪专练2】圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆的 所在的直线． 【答案】 无数 直径 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得． 【详解】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线． 故答案为：无数；直径． 【跟踪专练3】下列图形中，对称轴条数最少的是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据轴对称及对称轴的定义，判断各选项的对称轴数量，继而可得出答案． 【详解】A.有1数条对称轴， B.有无数条对称轴， C.有2条对称轴， D.有3条对称轴， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 【题型6.折叠问题】 【典例】如图，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠得出是解题关键．由折叠求出，进而由求解即可． 【详解】解：由折叠可知， 所以． 故答案为：110°． 【跟踪专练1】在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中是点的对应点），其中线段一定是的中线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断． 【详解】解：A、由折叠的性质得到，因此不是的中线，故A不符合题意； B、由折叠的性质得到，因此是的角平分线，不一定是的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到，因此一定是的中线，故C符合题意； D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是的中线，故D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．先利用平行线的性质，结合已知的求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即， ∵ ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，为折痕，若，则边长为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠的性质得到是解题的关键． 由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 【题型7.画对称轴】 【典例】如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的 就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 【跟踪专练1】用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴，方法如图所示． 【详解】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．    故选：A． 【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 【跟踪专练2】角的对称轴是 ；圆的对称轴是 ；正n边形的对称轴有 条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ）个． ①角的对称轴是它的角平分线；②两点之间直线最短；③三角形三条高交于一点；④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交；⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴、两点之间的距离、三角形的高、平行线的定义、角平分线等知识点逐项判断即可． 【详解】解：①角的对称轴是它的角平分线所在的直线，即①说法不正确； ②两点之间线段最短，即②说法不正确； ③三角形三条高或高的延长线交于一点，即③说法不正确； ④在同一平面内，两条直线不平行则一定相交，则④说法正确； ⑤三角形三内角角平分线一定交于三角形内部．则⑤说法正确； 正确的共有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了对称轴、两点之间的距离、三角形的高、平行线的定义、角平分线等知识点，理解相关概念是解答本题的关键． 【题型8.画轴对称图形】 【典例】在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 故选：B 【跟踪专练1】如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 【跟踪专练3】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 【题型9.设计轴对称图形】 【典例】如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有 个．    【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．      故答案为：． 【跟踪专练1】如图是由三个相同的小正方形组成的图形，在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有(     )． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键．根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案． 【详解】解：如图所示．， 使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形的方法有4种． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义求解即可得． 【详解】解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：    故答案为：5． 【跟踪专练3】如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（    ）种涂法． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可． 【详解】解：如图所示： 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念． 【题型10.车牌号码的镜面对称】 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 【跟踪专练1】一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是 ．    【答案】浙A7936 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 【跟踪专练2】小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 【跟踪专练3】在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字． 【题型11.钟表的镜面对称】 【典例】小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子呈现为“”，则这串英文字母是 ． 【答案】APPLE 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与APPLE成轴对称． 故答案为：APPLE． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【跟踪专练1】小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是 ． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 【跟踪专练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【题型12.电子钟示数的镜面对称】 【典例】在镜子中看到的数字，则实际数字是 【答案】 【分析】利用作轴对称图形即可求解． 【详解】解：如图所示：实际数字是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形． 【跟踪专练1】小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】解：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称． 注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21． 故选C． 【点睛】本题主要考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反． 【跟踪专练2】小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 【答案】12：01 【分析】根据镜面对称原理，左右颠倒，上下不变即可解题． 【详解】据镜面对称原理物体的像与物体本身上下不变，左右颠倒可知， 10:51对称之后为12:01， 故答案为12:01．　 【点睛】本题考查了镜面对称，属于简单题，熟悉镜面对称的原理是解题关键． 【跟踪专练3】小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 【题型13.台球桌面上的轴对称问题】 【典例】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 【跟踪专练1】如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 【跟踪专练2】四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 解答题 1．如图，和关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． (1)若，，求EF的长． (2)连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)   见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出，进而可得出结论； （2）根据轴对称的性质可得出，，据此得出结论． 【详解】（1）解：和关于直线对称，，， ， ． （2）解：． 理由如下：由题意知，， ． 2．如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； （2）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求．（答案不唯一） 。 （2）解：如图②，即为所求． 【点睛】本题考查的是一道关于轴对称图形的题目，解决本题的关键是需结合轴对称图形的知识进行画图． 3．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 4．按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【答案】(1)垂直．理由见解析 (2)与互余 (3)与互为邻补角，与也互为邻补角 【分析】本题主要考查余角和补角及角的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等；相加得的角互为余角；相加得的角互为补角． （1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线，以及图中的第四个图形中的角的关系可得出结论． 【详解】（1）解：垂直．理由如下： 由折叠可知，． 又， ， ． （2）解：由（1）知，， 故与互余． （3）解：与互为邻补角，与也互为邻补角． 5．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 6.．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $