精品解析：安徽池州市贵池区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷 

九年级（上）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交直线于点和点，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 5. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象必经过点 C. 若，则 D. 随的增大而增大 7. 如图，已知中，，是斜边上的高，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为上一点，连接、交于点，若，则为（ ） A. 31 B. 21 C. 25 D. 14 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. ___________时，是关于的二次函数． 12. 汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 13. 如图，矩形中，点在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点，若的面积为4，则的值为___________． 14. 如图，菱形中，，、分别是、边上的动点，且，连接交于点，若，则 （1）的最小值为___________； （2）的最大值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）直接写出点的坐标：___________； （2）以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； （3）在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知二次函数图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 18. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． （1）求证：； （2）求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某超市销售一种成本为每千克30元的商品，已知这种商品的月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为． （1）设该商品的销售利润为w，求w与x的函数表达式； （2）如果该商品销售单价x不超过45元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的销售单价x定在什么范围时可以实现目标？ 20. 数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 六（本题满分12分） 21. 小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； （3）当冰箱温度刚好达到时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 七（本题满分12分） 22. 如图，在中，，平分交于点，点、分别在、上，交于点． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，点为的中点，求的长； （2）如图2，若三角形三条内角平分线交于点，且．求的长． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线顶点式的性质直接求解顶点坐标． 【详解】解：的顶点坐标为． 故选：C． 2. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质及方程的解，需将各选项的比例式转化为等式与已知对比，同时注意特殊解与普遍结论的区别．掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， A．只是满足的一组特殊解，并非所有解，原结论错误，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原结论错误，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，原结论错误，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，原结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 把抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是， 故选：B． 4. 如图，直线，直线分别交直线于点和点，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．解题关键是利用平行线分线段成比例定理，得到 ，再结合 求解． 【详解】解：根据平行线分线段成比例定理∶ 因为， 所以 设，（）， 则 已知， 所以 所以 因此 5. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象必经过点 C. 若，则 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，根据反比例函数的图象与性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：反比例函数中，， 图象位于第二、四象限， 故A选项正确； 当时， ∴图象必经过点， 故B选项正确； 当时，函数图象在第四象限，随的增大而增大， 当时， ， 故C选项正确； 反比例函数的增减性是在每个象限内随的增大而增大， 故D选项错误； 故选：D． 7. 如图，已知中，，是斜边上的高，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式列式计算求得，然后再利用勾股定理可知，即可求解． 【详解】解：在中，， 的面积， 即， 解得，， 则 故选：B． 8. 如图，在中，点为上一点，连接、交于点，若，则为（ ） A. 31 B. 21 C. 25 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵ ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴为 故选：A． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．连接，先证明为直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，即为直角三角形， ∴， 故选：B． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ①； ②经过两点的直线一定不经过第三象限； ③若方程有两个根，且，则一定满足； ④若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识； 根据时，，代入可得，①正确；分别求出在正半轴，在第二象限，可知②正确；求出抛物线交x轴于，，进而可得③正确；分别求出，，可得这四个根的和为，④错误． 【详解】解：由函数图象得，当时，， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线开口向上， ∴，，， ∴在正半轴，在第二象限， ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，②正确； 二次函数的解析式可改写为， 当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，故③正确； 若方程有四个根， 设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，④错误； 故选：A． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. ___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 12. 汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度定义，铅直高度与水平宽度之比为，设上升高度为h米，则水平宽度为米，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设汽车上升了h米，则水平宽度为米． 由勾股定理，得 ，即 ， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 13. 如图，矩形中，点在反比例函数的图象上，与反比例函数交于点，若的面积为4，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：设，， 由题意知，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4 ． 14. 如图，菱形中，，、分别是、边上的动点，且，连接交于点，若，则 （1）的最小值为___________； （2）的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，先，再证明是等边三角形，则，可知当时，取得最小值，此时取得最小值，此时，则，根据勾股定理求得，即可求解； （2）设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值，此时，则，， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为3． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可． 【详解】解：原式 16. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）直接写出点的坐标：___________； （2）以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； （3）在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形，画位似三角形，解题的关键是掌握位似三角形的定义和性质． （1）找出位似中心，然后得出坐标即可； （2）根据位似三角形的性质画出位似三角形即可； （3）根据位似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点为位似中心， ∴点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数图象与轴交点坐标求法、平面直角坐标系中三角形面积求法等知识，熟记二次函数相关问题解法是解决问题的关键． （1）根据二次函数图象与轴交点坐标求法求解即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． 18. 如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某超市销售一种成本为每千克30元的商品，已知这种商品的月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为． （1）设该商品的销售利润为w，求w与x的函数表达式； （2）如果该商品的销售单价x不超过45元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的销售单价x定在什么范围时可以实现目标？ 【答案】（1） （2）超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的销售单价x定在时可以实现目标 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系是解题关键． （1）根据利润（售价进价）销售量求解即可； （2）先令，求出，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，， ， 抛物线开口向下， 时，， ， 当时，， 答：超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于2000元，那么该超市对这种商品的销售单价x定在时可以实现目标． 20. 数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 六（本题满分12分） 21. 小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示： 然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； （2）结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式； （3）当冰箱温度刚好达到时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）继续运行120分钟冰箱内的温度是 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：当时，设关于的函数解析式为 由题意知：解得： ∴当时，关于的函数解析式为 当时，设关于的函数解析式为 由题意知：，解得： 此时，关于的函数解析式为 当时， 解得： ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟 ∴ 【小问3详解】 解：当冰箱温度刚好达到时，已运行了，继续运行，总共为 冰箱运行个周期零，当时， 继续运行分钟冰箱内的温度是 七（本题满分12分） 22. 如图，中，，平分交于点，点、分别在、上，交于点． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，点为的中点，求的长； （2）如图2，若三角形三条内角平分线交于点，且．求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用有两个角对应相等的两个三角形相似，判定，再利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； ②由，得到，进而求得；利用，由相似三角形对应边成比例可得，结论可求； （2）利用相似三角形的判定得出，进而利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：①证明：∵平分 ∴ ∵ ∴∽ ∴ ∴ ②∵， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴∽， ∴，即：， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，平分，平分， ∴， ∴，即： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形的三个内角的平分线相交于一点得到平分是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； （2）当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）①直线；② （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $