专题 2.3 解二元一次方程组（知识梳理 + 题型精析 +中考模拟真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.3 解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】解二元一次方程组——代入法 1 ★【题型 1】用代入法解二元一次方程组 1 ★★【题型 2】用代入法解二元一次方程组 4 ★★【题型 3】用代入法解二元一次方程组（整体思想） 8 【知识点二】解二元一次方程组——加减法 11 ★【题型 4】用加减法解二元一次方程组 11 ★★【题型 5】用加减法解二元一次方程组 14 ★★【题型 6】用加减法解二元一次方程组（整体思想） 17 【知识点三】用合适方法解二元一次方程组 20 ★★【题型 7】用适当方法解二元一次方程组 20 ★★【题型 8】构成二元一次方程组求解 24 ★★【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 26 ★★【题型 10】二元一方程组错解复原求解 29 ★★【题型 11】二元一次方程组同解问题 32 二.中考模拟真题 35 （一）单选题（6题） 35 （二）填空题（6题） 38 （三）解答题（4题） 41 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示培优题 【知识点一】解二元一次方程组——代入法 把二元一次方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 ★【题型 1】用代入法解二元一次方程组 【例题1】（苏科版七下55页作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键： （1）直接利用代入法进行求解即可； （2）将第一个方程变形后，利用代入法解方程组即可． （1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （2）， 由①，得， 把③代入②，得，解得； 把代入③，得； ∴方程组的解为． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：，下列做法正确的是（） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组．通过代入法，将方程①代入方程②，可以消去变量x，得到关于y的一元一次方程． 解：∵方程①为， 方程②为， 将①代入②，得， 化简得， ∴消去了，选项A正确，选项B错误； 得化，化简得，无法消去，选项C错误；选项D错误． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．消去某个未知数需将该未知数用另一个未知数表示，据此解答即可． 解：如果先消去x，由方程① ， 移项得 ； 如果先消去y，由方程② ， 移项得 ， 即． 故答案为 ，． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法即可求解； （2）利用代入消元法即可求解． （1）解：把②代入①，得， 解这个方程，得， 把代入①得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由②，得③， 把③代入①中，得， 解这个方程，得， 把代入③，得． 所以这个方程组的解为． ★★【题型 2】用代入法解二元一次方程组 【例题2】（苏科版七下55页作业题第2题改编）（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）先将原方程的第一个方程去括号，移项，合并同类项，第二个方程去分母，化简成，再利用代入消元法解题； （2）先将原方程的第一个方程去分母，去括号，移项，合并同类项，第二个方程去括号，化简，整理成，再利用代入消元法解题． （1）解：， 整理得，， 由①得，③， 把③代入②得，， ， ， 把代入③得， ． （2）解：， 整理得，， 由②得，③， 把③代入①得， ， ， 把代入③得，， ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用代入消元法求解即可． 解： 由②得③， 将③代入①得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解方程组． 解：由①，得 ．③ 把③代入②，得 ． 再把x的值代入③，得 ． 所以原方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用代入消元法解方程组，根据代入消元法解方程组的步骤求解即可． 解： 由①，得③ 把③代入②，得5． 再把x的值代入③，得． 所以原方程组的解是． 故答案为：；5；； 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组． （1）（2）（3）（4）按照代入消元法解二元一次方程组即可． （1）解：， 把①式代入②可得出， 解得：， 把代入①可得出， 则方程组的解为：； （2）解：， 由②可得出， 把代入①可得出：， 解得：， 把代入， 解得， 则方法组的解为：； （3）解：， 由①可得出：， 把代入②可得出：， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为：； （4）解：， 将方程组变形为：， 由②可得出：， 把代入①可得出：， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为：． ★★【题型 3】用代入法解二元一次方程组（整体思想） 【例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． （1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ． 【答案】 17 【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答； （1）解：代入式即可得到，进而得到， 故答案为； （2）解：， ②得：， ③②得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·河南鹤壁·月考）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了代入法求二元一次方程的方法，适当变形后整体代入求解是关键．把变形为，再把整体代入． 解： 将②变形，得，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为． 【知识点二】解二元一次方程组——加减法 当二元一次方程组中的两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 ★【题型 4】用加减法解二元一次方程组 【例题4】（苏科版七下57页作业题第1题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）用加减法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟记加减消元法解二元一次方程组方法步骤是解决问题的关键． （1）由加减消元法求解即可得到答案； （2）由加减消元法求解即可得到答案． （1）解：， 由①②得， 解得； 把代入①得， 解得； 原方程组的解为； （2）解：， 由①②得， 解得； 把代入①得， 解得， 原方程组的解为． 【变式1】（25-26七年级上·安徽淮北·期末）方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过扩大适当的倍数，使某个字母的系数相等或互为相反数，以便消元． 解：为了先消去，需使方程①和②中的系数相等， 故将方程①乘以2，得 ； 为了先消去，需使方程①和②中的系数互为相反数， 故将方程②乘以3，得 ． 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． （1）解：， 由①＋②，得，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解为． （2）解：， 由，得，解得． 将代入①，得，解得． 所以原方程组的解为． ★★【题型 5】用加减法解二元一次方程组 【例题5】（苏科版七下57页作业题第3题改编）（25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． （1）解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． （2）解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组即可． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． （1）解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 整理，得， 得， 解得， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． ★★【题型 6】用加减法解二元一次方程组（整体思想） 【例题6】（25-26七年级上·湖南永州·期末）理解与思考：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法．例如：若，求代数式的值． 由题意得． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1)20 (2)1 【分析】本题考查了整式的加减，解二元一次方程组． （1）先去括号，再将看作整体合并，将代入化简结果计算即可； （2）根据加减消元法计算即可． （1）解： ； （2）解：， 得， 即， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期中）对于二元一次方程组，下列变形不正确的是（    ） A．由①变形后代入②，得 B．把①×2整体代入②得： C．由得： D．由得： 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，利用加减法或者代入法进行变形即可得到答案． 解：A.得到，则，代入②得到，故选项正确，不符合题意； B. 得到，由得到，故选项正确，不符合题意； C. 得：，故选项正确，不符合题意； D. 由得：，故选项错误，符合题意； 故选：D 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：x、y满足，我们可以不解这个方程组，用整体求出的值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识，根据条件整理得到关于的代数式，再根据的系数列出关于的方程组求解即可． 解：， ∴得， ∵用整体求出的值， ∴设， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 24． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考） （1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）仿照小军的“整体代入”法求出方程组的解即可． 解：（1）， ②①得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）由②变形得：③， 把①代入③得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【知识点三】用合适方法解二元一次方程组 选择解二元一次方程组的适当方法，核心思路是观察系数特征，择优消元：若方程组中某个未知数的系数为1或−1，优先用代入法，直接变形代入消元；若同一未知数的系数相等、互为相反数或成倍数关系，优先用加减法，通过加减或简单变形后加减消元，快速将二元问题转化为一元一次方程求解。 ★★【题型 7】用适当方法解二元一次方程组 【例题7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用适当方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． （1）解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； （2）解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）观察方程组系数，选择加减消元法消去x，将第一个方程乘以2后与第二个方程相减，消去x求出y，再将y值代入原方程求出x即可； （2）先将第二个方程整理为整式方程，便于后续计算，整理后与第一个方程组成新的二元一次方程组，用加减消元法消去y，求出x后再回代求y． （1）解：， 由得，， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． （2）解：， 由得，，化简整理得：， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． 【变式2】用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）将①代入②，求出x的值，再将x的值代入①，求出y的值即可； （2）先将原方程组整理为，得求出x的值，求出y的值． （1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理为， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． （1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 所以原方程组的解为． ★★【题型 8】构成二元一次方程组求解 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·月考）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 先根据题意列出方程组求得k、b的值，然后代入代数式求值即可． 解：由题意可得：，解得：， 所以． 故答案为：4． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． （1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． ★★【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握通过消元法用参数表示方程组的解，再代入条件建立关于参数的方程是解题的关键． 先通过加减消元法解出方程组的解，再将解代入的条件，得到关于的一元一次方程，最后求解的值． 解： ，得，解得． 把代入②，得，解得． ∴方程组的解为 ， ， 解得． 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的应用，根据方程组表示出是解题的关键．将方程组中的两个方程相加，得到，结合给定条件，即可求出的值． 解：将方程组中的两个方程相加：， 即， ， ，解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入方程组得，再利用加减法解答即可求解； （）利用加减法可得，即得，再解方程即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）解：当时，原方程组为， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②，得， ， ， 解得． ★★【题型 10】二元一方程组错解复原求解 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为 ． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． （1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． ★★【题型 11】二元一次方程组同解问题 【例题11】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． （1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 【变式1】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是理解同解方程组的定义． （1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． （1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 2．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 6．（2024·湖南株洲·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数解问题，根据题意列出二元一次方程是解题的关键；先设能裁剪成小长方形的纸板为x张，那么裁剪成正六边形的纸板为张，根据小长方形和正六边形正好配套列出二元一次方程即可得到答案； 解：由题可得：， 整理得：， ∵都为正整数； ∴只要取14的倍数即可； 故选：A． （二）填空题（6题） 7．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 解： 由得，，解得， 把代入①中得，解得， 故原方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 9．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 10．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握该知识点是解题的关键．直接利用加减消元法解方程组即可． 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 11．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键． 两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可． 解：， 可得： ∵， ∴，解得：． 故答案为：3． 12．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（2025·山西·中考真题） （1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 14．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 15．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 16．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解． 先通过代入消元法解已知方程组，得到、的值，再将其代入方程，进而求出的值． 解：， 由得代入，得， 解得． 把代入，得． 代入方程，得，解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】解二元一次方程组——代入法 1 ★【题型 1】用代入法解二元一次方程组 1 ★★【题型 2】用代入法解二元一次方程组 4 ★★【题型 3】用代入法解二元一次方程组（整体思想） 8 【知识点二】解二元一次方程组——加减法 11 ★【题型 4】用加减法解二元一次方程组 11 ★★【题型 5】用加减法解二元一次方程组 14 ★★【题型 6】用加减法解二元一次方程组（整体思想） 17 【知识点三】用合适方法解二元一次方程组 20 ★★【题型 7】用适当方法解二元一次方程组 20 ★★【题型 8】构成二元一次方程组求解 24 ★★【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 26 ★★【题型 10】二元一方程组错解复原求解 29 ★★【题型 11】二元一次方程组同解问题 32 二.中考模拟真题 35 （一）单选题（6题） 35 （二）填空题（6题） 38 （三）解答题（4题） 41 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示培优题 【知识点一】解二元一次方程组——代入法 把二元一次方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 ★【题型 1】用代入法解二元一次方程组 【例题1】（苏科版七下55页作业题第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：，下列做法正确的是（） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) ★★【题型 2】用代入法解二元一次方程组 【例题2】（苏科版七下55页作业题第2题改编）（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解方程组． 解：由①，得 ．③ 把③代入②，得 ． 再把x的值代入③，得 ． 所以原方程组的解是 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) ★★【题型 3】用代入法解二元一次方程组（整体思想） 【例题3】（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ． 【变式3】（23-24七年级下·河南鹤壁·月考）善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法． 解：将②变形，得，即，③ 把①代入③，得， 解得， 把代入①，得， 解得，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 【知识点二】解二元一次方程组——加减法 当二元一次方程组中的两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 ★【题型 4】用加减法解二元一次方程组 【例题4】（苏科版七下57页作业题第1题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）用加减法解下列方程组． (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·安徽淮北·期末）方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) ★★【题型 5】用加减法解二元一次方程组 【例题5】（苏科版七下57页作业题第3题改编）（25-26八年级上·河北保定·期末）解二元一次方程组 (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． ★★【题型 6】用加减法解二元一次方程组（整体思想） 【例题6】（25-26七年级上·湖南永州·期末）理解与思考：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法．例如：若，求代数式的值． 由题意得． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，满足方程组，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东威海·期中）对于二元一次方程组，下列变形不正确的是（    ） A．由①变形后代入②，得 B．把①×2整体代入②得： C．由得： D．由得： 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：x、y满足，我们可以不解这个方程组，用整体求出的值，则的值是 ． 24． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考） （1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【知识点三】用合适方法解二元一次方程组 选择解二元一次方程组的适当方法，核心思路是观察系数特征，择优消元：若方程组中某个未知数的系数为1或−1，优先用代入法，直接变形代入消元；若同一未知数的系数相等、互为相反数或成倍数关系，优先用加减法，通过加减或简单变形后加减消元，快速将二元问题转化为一元一次方程求解。 ★★【题型 7】用适当方法解二元一次方程组 【例题7】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用适当方法解下列方程组 (1) (2) 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式2】用适当方法解下列方程组： (1) (2) 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解二元一次方程组： (1)用代入法解方程组 (2)用适当方法解方程组 ★★【题型 8】构成二元一次方程组求解 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·月考）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． ★★【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 【例题9】（25-26七年级下·全国·课后作业）若方程组的解满足，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【变式3】（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． ★★【题型 10】二元一方程组错解复原求解 【例题10】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【变式1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． ★★【题型 11】二元一次方程组同解问题 【例题11】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式1】（25-26七年级上·广西贵港·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 3．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南株洲·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n 的值可能是（   ） A．140 B．150 C．160 D．180 （二）填空题（6题） 7．（2023·河南·中考真题）方程组的解为 ． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 9．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 10．（2025·山东泰安·三模）二元一次方程组的解是 ． 11．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 12．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． （三）解答题（4题） 13．（2025·山西·中考真题） （1）计算：     （2）解方程组： 14．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 15．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 16．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $