专题12简单的轴对称图形（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题12简单的轴对称图形 【题型01 等边对等角】..............................................2 【题型02 三线合一】................................................5 【题型03 线段垂直平分线的性质】....................................7 【题型04 作已知线段的垂直平分线】.................................10 【题型05 角平分线的性质定理】.....................................12 【题型06 作角平分线】.............................................15 【题型07 最短路径问题】...........................................17 【题型08 轴对称综合:线段问题】....................................20 【题型09 轴对称综合:角度问题】....................................24 【题型10 解答题5题】.............................................28 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 轴对称图形 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴（直线，非线段）。 沿AD对折后直线BA和直线CA重合,且点B和点C重合,则是轴对称图形,直线AD为对称轴. 2. 轴对称 两个平面图形沿一条直线对折后能完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴，重合的点叫对称点。 上图中左右两个图形沿虚线对折后完全重合,则这两个图形是对称图形,虚线为对两个图形的对轴. 3. 两者区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形的自身对称；轴对称是两个图形的位置对称。 联系：成轴对称的两个图形看作整体，是轴对称图形；轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 知识点02:轴对称的通用性质 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:三类简单轴对称图形（核心考点） 1. 等腰三角形 对称性：是轴对称图形，有1 条对称轴（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线，三线合一）。 核心性质： 两腰相等。 等边对等角：两底角相等。 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 线段 对称性：是轴对称图形，有2 条对称轴：线段本身所在直线、线段的垂直平分线（中垂线）。 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3. 角 对称性：是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型1.等边对等角】 【题型】 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 先根据等腰三角形的性质得到，，再由直角三角形锐角互余求出，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的定义得出，由折叠的性质得出， 三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】解：因为是等腰三角形， 所以． 由折叠的性质可得：， 所以． 又因为， 所以， 所以， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 【题型2.三线合一】 【典例】结合图，用符号语言表达定理“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”的推理形式：， ，． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟悉性质内容并会用符号语言表示是解题的关键；根据性质内容，结合图形即可完成． 【详解】解：推理形式为： ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【答案】D 【分析】本题考查了三线合一，解题关键是掌握三线合一． 根据三线合一求解． 【详解】解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，为中线，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余．先根据等腰三角形的性质可得，再由等腰三角形“三线合一”可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为中线， ∴，即， ∴． 故答案为：20 【跟踪专练3】等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，作于，由等腰三角形的性质可得，，，，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，再由三角形面积公式计算得出的长即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于， ， ∵等腰三角形中，，E是高上任意一点， ∴，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值是， 故选：C． 【题型3.线段垂直平分线的性质】 【典例】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即可求得答案. 【详解】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5 ∴PA=PB， 即PB=5. 故选B. 【跟踪专练1】如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，则等于 ． 【答案】60 【分析】此题考查了等边对等角和垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角和垂直平分线的性质是解决此题的关键． 根据，，可得，根据中垂线的性质可得，则，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知，， 的周长， ， ， 故答案为： 【题型4.作已知线段的垂直平分线】 【典例】已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 【答案】垂直平分线 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 【跟踪专练1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质即可判断． 【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处， 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的实际应用，理解中垂线的性质是解题关键． 【跟踪专练2】如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则 ． 【答案】72° 【分析】利用线段互相垂直平分，结合余角定义，对该题进行求解即可． 【详解】解：∵线段CD与线段BE互相垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∵线段CD与线段BE互相垂直平分， ∴AC=AD， ∴， ∴． 故答案为：72°． 【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的应用，以及简单的角度计算，掌握基本性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 【题型5.角平分线的性质定理】 【典例】如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，通过垂线段相等，构建线段比例之间的关系是解题关键．过点D分别向，作垂线，根据角平分线的性质定理，得到垂线段相等，从而利用垂线段相等，得到，再利用求解即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，，垂足分别为M，N， ∵是的平分线， ∴， 设点A到直线的距离为h， 则，， ∴， 即， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，∠BEP＝α，∠DFP＝β，则a＋β＝(   )     A．180° B．225° C．270° D．315° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠AEF+∠CFE=180°，再根据角平分线定义得∠PEF+∠PFE=(∠AEF+∠CFE)，然后计算出∠EPF=90°，再由∠BEP+∠EPF+∠PFD=360°，即可求出a＋β的值. 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， 又∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC ∴∠PEF+∠PFE=(∠AEF+∠CFE)=×180°=90° ∴∠EPF=90° 又∠BEF+∠EFD=180°，且△PEF内角和为360° ∴∠BEP+∠EPF+∠PFD=360° ∴∠BEP+∠PFD＝α+β=360°-∠EPF=360°-90°=270°. 故选：C 【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 【跟踪专练3】如图，BE平分∠ABC，∠DBE＝∠BED，∠C＝72°，则∠AED＝ °． 【答案】72 【分析】证明DE∥BC，利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠EBC， ∵∠DBE＝∠DEB， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝72°， 故答案为72． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【题型6.作角平分线】 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 【跟踪专练1】如图是一个角的平分线的尺规作图，观察作图痕迹，你觉得作图的依据是 ． 【答案】SSS； 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结果； 【详解】如图所示， 在△OCE和△ODE中， ， ∴， ∴， ∴OE是的角平分线． 故答案是：SSS． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作角平分线的相关知识，理解题目所给的作图步骤是解题关键；根据作图步骤判断即可解题． 【详解】解：根据作图的步骤和图形可知：尺规作图实际上是平分了，所以射线是的平分线， 故选：A． 【跟踪专练3】如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解． 【详解】解析：根据作图过程，可知，， ， ， 故答案为：． 【题型7.最短路径问题】 【典例】如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，线段、、、中哪一条最短，根据“垂线段最短”的性质，可得最短． 【详解】解：根据“垂线段最短”的性质，可得最短， 故答案为：B． 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当F和D重合时，EF+FC的值最小，即此时的周长最小，最小值是EF+FC+EC=BD+CD+EC，先求出EC长，代入求出即可． 【详解】解：连接BF 由题可知B和E关于AD对称，AB=AE=4， ∴BF=FE △CFE的周长为：EF+FC+EC=BF+CD+EC 当F和D重合时，BF+CD= BC ∵两点之间线段最短 ∴此时BF+CD的值最小， 即此时△CFE的周长最小， 最小值是EF+FC+EC=BD+CD+EC=BC+EC， ∵EC=AC-AE=6-4=2， ∴的周长最小值为：BC+EC=5+2=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点F的位置． 【跟踪专练3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 【题型8.轴对称综合:线段问题】 【典例】如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可． 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 【跟踪专练1】如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 【答案】19.2 【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得，当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得，，再由三角形等面积法即可确定MN长度． 【详解】解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N， 由图可得：， 当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长， ∴，， ∵等腰面积为48，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得出三点共线时线段最长是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是 ．      【答案】 【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定最小值为，即可求解． 【详解】解：过D作于，连接，如图：   长方形中，，，， ∴ ∴， ∵M关于边，的对称点分别为M1，M2， ∴， ∴， 线段长度最小即是长度最小，此时，即M与重合，最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 【题型9.轴对称综合:角度问题】 【典例】已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【跟踪专练3】如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 解答题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定义得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根据同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵BE⊥CE，AD⊥BC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 4．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 5．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12简单的轴对称图形 【题型01 等边对等角】..............................................2 【题型02 三线合一】................................................3 【题型03 线段垂直平分线的性质】....................................4 【题型04 作已知线段的垂直平分线】..................................5 【题型05 角平分线的性质定理】......................................6 【题型06 作角平分线】..............................................7 【题型07 最短路径问题】............................................8 【题型08 轴对称综合:线段问题】.....................................9 【题型09 轴对称综合:角度问题】....................................10 【题型10 解答题5题】.............................................11 知识梳理 知识点01:核心概念 1. 轴对称图形 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴（直线，非线段）。 沿AD对折后直线BA和直线CA重合,且点B和点C重合,则是轴对称图形,直线AD为对称轴. 2. 轴对称 两个平面图形沿一条直线对折后能完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线是对称轴，重合的点叫对称点。 上图中左右两个图形沿虚线对折后完全重合,则这两个图形是对称图形,虚线为对两个图形的对轴. 3. 两者区别与联系 区别：轴对称图形是一个图形的自身对称；轴对称是两个图形的位置对称。 联系：成轴对称的两个图形看作整体，是轴对称图形；轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 知识点02:轴对称的通用性质 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:三类简单轴对称图形（核心考点） 1. 等腰三角形 对称性：是轴对称图形，有1 条对称轴（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线，三线合一）。 核心性质： 两腰相等。 等边对等角：两底角相等。 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 线段 对称性：是轴对称图形，有2 条对称轴：线段本身所在直线、线段的垂直平分线（中垂线）。 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 3. 角 对称性：是轴对称图形，对称轴是角平分线所在直线。 角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 【题型1.等边对等角】 【题型】 如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，是边上的中线，点为边上一点，连接，，若，则的大小为 度． 【跟踪专练2】如图，在中，，直线交于D，把直角三角形沿着直线翻折，点恰好落在斜边上的点E处，并且是等腰三角形，那么等于(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则 【题型2.三线合一】 【典例】结合图，用符号语言表达定理“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”的推理形式：， ，． 【跟踪专练1】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【跟踪专练2】如图，在中，，为中线，，则 ． 【跟踪专练3】等腰三角形中，，E是高上任意一点，，，，那么线段的最小值是（   ） A．5 B．3 C． D． 【题型3.线段垂直平分线的性质】 【典例】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练1】如图，在中，，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，则等于 ． 【跟踪专练2】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线，交于点若的周长为11，，则的长为 ． 【题型4.作已知线段的垂直平分线】 【典例】已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 【跟踪专练1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【跟踪专练2】如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则 ． 【跟踪专练3】如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型5.角平分线的性质定理】 【典例】如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图，在中，是的平分线，，，则 ． 【跟踪专练2】如图，直线AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，∠BEP＝α，∠DFP＝β，则a＋β＝(   )     A．180° B．225° C．270° D．315° 【跟踪专练3】如图，BE平分∠ABC，∠DBE＝∠BED，∠C＝72°，则∠AED＝ °． 【题型6.作角平分线】 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一个角的平分线的尺规作图，观察作图痕迹，你觉得作图的依据是 ． 【跟踪专练2】如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 【跟踪专练3】如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【题型7.最短路径问题】 【典例】如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短． 【跟踪专练1】如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为 ． 【跟踪专练3】快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【题型8.轴对称综合:线段问题】 【典例】如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（    ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在面积为48的等腰中，，，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是 ．      【题型9.轴对称综合:角度问题】 【典例】已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【跟踪专练3】如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 解答题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 2．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 4．如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 5．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $