精品解析：河北石家庄市赵县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

河北省石家庄市赵县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 5. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 6. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 7. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 若，则分式（ ）． A. B. C. 1 D. 9. 如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A 10 B. 20 C. 40 D. 80 10. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价，第二次提价；（2）第一次提价，第二次提价；（3）第一，二次提价均为，其中p、q是不相等的正数，三种方案中提价最多的是（　　） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 三种方案一样多 11. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点，…在同一直线上，，，……，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，，则__________． 14. 若分式，、同时扩大为原来倍，则分式的值为_______． 15. 如图，在中，D，E分别是，上两点，点A与点关于对称，，，，则_________ ． 16. 已知：a、b、c是三边长，且，那么M_________0（填“>”，“<”或“=”） 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 分解因式． （1）； （2） 18. 已知， （1）化简A； （2）若，求A的值． 19. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： （1）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 21. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________． （2）观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求的值． 22. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （1）图B可以解释的代数恒等式是 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为，并利用你所画的图形面积对进行因式分解． 23. 随着国内快递业务量迅速增长，通过无人机可打造短途航空物流网络，加速物流效率，刘峰和李朋对此非常感兴趣，相约周末去科技馆看展览了解情况，根据他们的谈话内容（如图），请判断他们两人能同时到达吗？请说明理由． 24. 综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市赵县2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】依题意得：， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分母不为零． 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 4. 如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ) A. 7 B. 10 C. 11 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8； 选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8； 选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10； 选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立； 选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10； 故选：B． 【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 5. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限． 根据完全平方式的特征可得，由此即可得出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 即：， 故选：． 6. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 7. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． 故选：D ． 8. 若，则分式（ ）． A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题应先将分式通分，然后由已知xy=x−y≠0，即可得出原分式的值． 【详解】解：原分式， ∵xy=x−y≠0， ∴=1． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是将原分式进行准确的通分． 9. 如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价，第二次提价；（2）第一次提价，第二次提价；（3）第一，二次提价均为，其中p、q是不相等的正数，三种方案中提价最多的是（　　） A. 方案1 B. 方案2 C. 方案3 D. 三种方案一样多 【答案】C 【解析】 【分析】设产品的原价为元，先分别求出三种方案在提价后的价格，再利用整式的乘法与完全平方公式进行化简，比较大小即可得． 【详解】设产品的原价为元， 当是不相等的正数时， 方案1：提价后的价格为， 方案2：提价后的价格为， 方案3：提价后的价格为， ∵ ， ∴， ∴方案3提价最多， 故选C． 【点睛】本题考查了整式乘法和完全平方公式的应用，熟练掌握整式的运算法则和公式是解题关键． 11. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程应用，正确理解题意是关键． 12. 如图，点，…在同一直线上，，，……，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解计算 【详解】解：∵在△ABA1中，∠B=x，AB=A1B， ∴∠BA1A=， ∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角， ∴∠A1B1A2=∠A1A2B1=∠BA1A=； 同理可得，∠A2B2A3=∠A2A3B2=∠A1B1A2=； ∴∠AnBnAn+1= 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，准确识图，找出规律是解答此题的关键． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将所求表达式转化为已知值进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 15. 如图，在中，D，E分别是，上两点，点A与点关于对称，，，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质和三角形外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， 如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知：a、b、c是三边长，且，那么M_________0（填“>”，“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，结合有理数的乘法法则即可求解． 【详解】解：∵a、b、c是三边长， ∴，，， ∴， 故答案为：<． 【点睛】本题考查三角形的三边关系及有理数的乘法法则，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 已知， （1）化简A； （2）若，求A的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质化简即可； （2）根据偶次幂的非负性得到，解出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解：， ， ，， ，， ． 19. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易证，根据平行线的性质可得出，从而可由证明； （2）根据三角形外角的性质得出，再根据全等三角形的性质即得出． 小问1详解】 证明：∵， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键． 20. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： （1）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】（1）真分式； （2），，，，， （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； 【小问2详解】 解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 21. 观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． （1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________． （2）观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） （3）试求的值． 【答案】（1） （2） （3）127 【解析】 【分析】（1）按照给定例题的步骤进行因式分解即可； （2）依据（1）中的结果即可得到答案； （3）根据（2）中所求把带入即可求出． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：根据以上结果，可得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 【点睛】本题考查了分组法进行因式分解与整式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键． 22. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （1）图B可以解释的代数恒等式是 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为，并利用你所画的图形面积对进行因式分解． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）看图即可得出所求的式子； （2）通过画图能更好的理解题意，从而得出结果．由于构成的是长方形，它的面积等于所给图片的面积之和，从而画出图形，进一步进行因式分解． 【详解】解：（1）图可以解释的代数恒等式是：； （2）根据题意，可以画出相应的图形，如图所示 因式分解为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力，计算能力． 23. 随着国内快递业务量的迅速增长，通过无人机可打造短途航空物流网络，加速物流效率，刘峰和李朋对此非常感兴趣，相约周末去科技馆看展览了解情况，根据他们的谈话内容（如图），请判断他们两人能同时到达吗？请说明理由． 【答案】能同时到达，理由见详解 【解析】 【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时千米，则李明乘公交车的速度为每小时千米，根据题意列出分式方程，求解并经检验即可解决问题． 【详解】解：他们两人能同时到达，理由如下： 设刘峰骑自行车的速度为每小时千米，则李明乘公交车的速度为每小时千米，若两人同时到达，李明用时比刘峰少30分钟，即小时， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以，刘峰骑自行车的速度为每小时20千米，李明乘公交车的速度为每小时60千米，两人可同时到达． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键． 24. 综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考：（1）请证明王老师提出的问题． 实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． 问题解决： （3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等，即可得出，即可证得，再根线段的和差关系即可证明结论； （2）过作，由（1）可知，即可得出，再由等腰三角形三线合一可得出：，即可的得出结论； （3）过作，由（1）可知，，即可得出，，再证得，得出，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 证明：（2）过作， 由（1）可知 ∴， ∵，， ∴， ∴， 解：（3）过作， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质，利用类比方法添加辅助线构造全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $