第6章 3 用关系式表示变量之间的关系-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“用关系式表示变量间关系”，通过“数青蛙”游戏情境导入，结合复习巩固的自变量因变量概念作为学习支架，引导学生从三角形面积、圆锥体积等具体问题中抽象出变量关系，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境驱动和问题探究培养核心素养，如“数青蛙”游戏让学生用数学眼光发现数量关系，刹车距离计算、低碳排放量问题锻炼数学思维，课堂小结“三途径”助学生用数学语言表达规律。实例丰富，提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源。

6.3 用关系式表示的变量间关系 第三章 变量之间的关系 1.能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系， 根据关系式解决相关问题;（重点） 2.并会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量 的数值对应关系;（重点） 3.通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和 函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题 的能力.（难点） 学习目标 复习巩固 在“小车下滑的时间”中. 1.支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化， 它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物 的高度h的变化而变化, 2.支撑物的高度h是自变量, 3.小车下滑的时间t是因变量. 情境导入 游戏：数青蛙 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿； 两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿； 三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿； …… 1.青蛙的眼睛数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？ 2.青蛙的腿数和只数有关系吗？能用数学式表达吗？ 这个游戏你能继续玩下去吗？ 4 探究 一个三角形的面积可以用哪些量确定？ D B C A 三角形的底和高 用关系式表示变量间的关系 如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？ （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是 什么？ 三角形的底边长度是自变量， 三角形的面积是因变量. （2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三 角形的面积y（cm2）可以表示为________. y=3x （3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形 的面积从_____cm2变化到_____cm2. 36 9 可在对应输入框中输入数字进行计算 归纳总结 y=3x表示了三角形面积和三角形底边长之间的关系，它是变量y随x变化的关系式. 注意：关系式是我们表示变量 之间关系的另一种方法， 利用关系式，如y=3x， 我们可以根据任何一个 自变量值求出相应的因 变量的值. 你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ 其中的字母表示什么？ r h 思考 变化中的圆锥 h r r h 底面半径不变 高变 高不变 底面半径变 双击图标查看 如图，圆锥的高度是4cm，当圆锥的底面半径 由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是 什么？ 圆锥的底面半径的长度是自变量， 圆锥的体积是因变量. 做一做 （2）如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的 体积V（cm3）与r的关系式为________. （3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体 积由 cm3变化到　　　 cm3 . 例1 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动， 通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s) 的数据如下表： 时间t(s) 1 2 3 4 … 距离s(m) 2 8 18 32 … 写出用t表示s的关系式：________． 方法总结：认真观察表中给出的t与s的对应值， 分析s随t的变化而变化的规律，再列出关系式． 典例精析 s＝2t2 例2 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式： (1)式中哪些量是常量？哪些量是变量？哪个量 是自变量？哪个量是因变量？ (2)当刹车时车速v 分别是40、80、120km/h时， 相应的滑行距离s分别是多少？ s,v v s. 当v＝40km/h时，s＝6.25m； 当 v＝80km/h时， s＝25m； 当 v＝120km/h时，s＝56.25m. 例3 图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列 的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下 列函数关系中正确的是(　　) A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2 解析：由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n. B 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活” 是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低 碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式. 议一议 （1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式 表示为_____________，其中的字母分别表 示__________________________. （2）在上述关系式中，耗电量 每增加1kW·h，二氧化 碳排放量增加___________. 当耗电量从1kW·h增加到 100kW·h时，二氧化碳排 放量从_________增加到 _________. 0.785kg 78.5kg 0.785kg y=0.785x 二氧化碳排放量，耗电量 （3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、 自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这 几项的二氧化碳排放量. 家居用电的二氧化碳： 110×0.785=86.35（kg） 开私家车的二氧化碳： 75×2.7=202.5（kg） 家用天然气的二氧化碳： 20×0.19=3.8（kg） 家用自来水的二氧化碳： 5×0.91=4.55（kg） 可在对应输入框中输入数字进行计算 素材 1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2 时，因变量y的值是( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 当堂练习 C 【解析】将x=2代入y=x2－3，得y=22－3=1. 2.一块长为5米，宽为2米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为x米的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积y(平方米)与x(米)之间的关系式为( ) A.y=2x B.y=10－2x C.y=5x D.y=10－5x 【解析】由题意，得y=2(5－x)，即y=10－2x. B 3.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值 为1时，则输出的数值为____. 【解析】根据程序，计算过程可以表示为：－x+3， 所以当x=1时，原式=－1+3=2. 4.在关系式S=40t中,当t=1.5时,S=____. 【解析】把t=1.5代入S=40t中，得S=40×1.5=60. 60 2 5.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化. (1)在这个变化中，自变量和因变量各 是什么？ (2)写出圆柱的体积V与高h之间的关系式. 自变量是圆柱的高，因变量是圆柱的体积. V= =πh. 5.如图，圆柱的底面直径是2 cm，当圆柱的高h cm由大到小变化时，圆柱的体积V(cm3)随之发生变化. (3)当h由10 cm变化到5 cm时，V是怎样变化的？ (4)当h=0时，V等于多少？此时表示什么？ 当h=10cm时，V=πh=10πcm3； 当h=5cm时，V=πh=5πcm3. 所以当h由10cm变化到5cm时， V从10πcm3变化到5πcm3. V=0,此时表示平面图形——直径为2cm的圆. 5.对于气温，有的地方用摄氏温度表 示，有的地方用华氏温度表示，摄氏 温度x(℃)与华氏温度y(°F)之间存在 的关系为：y=1.8x+32,如图所示： (1)用表格表示当x从－10到30(每次增加10)，y的相 应的值. 解：(1) (2)某天，连云港的最高气温是8℃，悉尼的最高气 温是91°F，问这一天悉尼的最高气温比连云港 的最高气温高多少摄氏度(结果保留整数)？ 解：(2)y=91，则1.8x+32=91， 所以有x≈33， 33－8=25(℃). 所以这一天悉尼的最高气温比连云港的高25℃. 求变量之间关系式的“三途径” 1.根据表格中所列的数据，归纳总结两个变量的关 系式. 2.利用公式写出两个变量之间的关系式，比如各类 几何图形的周长、面积、体积公式等. 3.结合实际问题写出两个变量之间的关系式，比如 销量×(售价－进价)=利润等. 课堂小结 $