第1章 3 乘法公式（第4课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式的应用”，涵盖简便运算、综合应用及公式变形三大核心知识点。通过102²、199²等数的简便计算导入，衔接平方差公式与多项式乘法法则，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于融合几何直观（点阵问题验证公式）、推理意识（一题多解如(a+b+3)(a+b-3)的整体转化）和符号意识（公式变形推导a²+b²=(a+b)²-2ab）。实例丰富如98²-101×99的简便运算，助力学生提升运算能力与问题解决能力，教师可依托结构化内容高效实施素质教育教学。

我们致力于打造具有素质教育性质的一流好题! 七年级数学 下 智想卓育 ZHI XIANG ZHUO YU R 1 第一章 整式的乘除 课时4 完全平方公式的应用 1.3 乘法公式 数学7年级 下 1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式. 2.能准确运用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式的法则进行多项式的乘法运算和数的简便计算. 3.理解并掌握完全平方公式的几种变化形式. 数学7年级 下 2.完全平方公式 1.平方差公式 (a-b)(a+b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a -b)2=a2- 2ab+b2 数学7年级 下 怎样计算下列两式更简单呢？ (1) 1022 (2) 1992 知识点1 完全平方公式的简便运算 (1) 1022 = (100+2)2 =10 000+400+4 =10 404 (2)1992= (200 –1)2 =40 000 -400+1 =39 601 =1002+2×100×2+22 =2002-2×200×1+12 数学7年级 下 5 知识点1 完全平方公式的简便运算 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 数学7年级 下 6 例1 利用乘法公式计算： (1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152. 解：(1)原式＝(100-2)2-(100+1)(100-1) ＝1002-400+4-1002+1 ＝-395； (2)原式＝20162-2×2016×2015+20152 ＝(2016-2015)2 ＝1. 知识点1 完全平方公式的简便运算 a2- 2ab+b2 数学7年级 下 7 知识点2 完全平方公式的综合应用 例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(1)方法一 (x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9. 逆用平方差公式 用完全平方公式 方法二 (x+3)2-x2 =[(x+3)+x][(x+3)-x] =(2x+3)×3 =6x+9． 数学7年级 下 8 知识点2 完全平方公式的综合应用 对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算. 例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 数学7年级 下 9 知识点2 完全平方公式的综合应用 例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(2) (a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2 -32 =a2+2ab+b2-9. 数学7年级 下 10 知识点2 完全平方公式的综合应用 (4) [(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 解：(3) (x+5)2-(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-2x-3x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19. 例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 数学7年级 下 11 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论. 不一样多. 知识点2 完全平方公式的综合应用 … 1×1 2×2 3×3 数学7年级 下 12 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论. 因为(m+n)2-m2-n2=m2+2mn+n2-m2-n2=2mn>0， 所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数比m×m点阵、n×n点阵中的点数之和多2mn. 知识点2 完全平方公式的综合应用 数学7年级 下 13 思考 若a+b=5，ab=6，求a2+b2. 知识点3 完全平方公式的变形 解：因为(a+b) 2=a2+2ab+b2， 所以 a2+b2=(a+b) 2-2ab =52-2×6 =13. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a -b)2=a2- 2ab+b2 数学7年级 下 14 思考 若a+b=6，a-b=4，求ab. 知识点3 完全平方公式的变形 解：因为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2， 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab ， 所以ab=[(a+b)2-(a-b)2]÷4 =(62-42)÷4 =5. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a -b)2=a2- 2ab+b2 数学7年级 下 15 知识点3 完全平方公式的变形 乘法公式的几种常见的恒等变形有： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab. (2)4ab＝2[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝ (3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2a2＋2b2. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a -b)2=a2- 2ab+b2 数学7年级 下 16 1.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释 (a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(　　). A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C 数学7年级 下 17 2.运用完全平方公式计算99.82的最佳方法是( ) A．(99＋0.8)2 B．(90＋9.8)2 C．(100－0.2)2 D．(101－1.2)2 C 数学7年级 下 18 3.利用乘法公式计算： (1)962； (2) (a-b-3)(a-b+3). 解: (1) 962=(100-4)2 =1002-2×100×4+42 =9 216. (2) (a-b-3)(a-b+3) =(a-b)2-32 =a2-2ab+b2-9. 数学7年级 下 19 4.计算： (1)(x + 1)2-(x+2)(x-2)； (2)(3x-2y + 1)(3x + 2y-1)． 解：(1)原式 =x2+2x+12-(x2-4) = 2x+5. (2)原式 = [3x-(2y-1)][3x +(2y-1)] =9x2-(2y-1)2 = 9x2-4y2 +4y-1. 数学7年级 下 20 5.若a+b=5，ab=2，求a2+b2，(a﹣b)2的值． 解：当a+b=5，ab=2时， a2+b2=(a+b)2﹣2ab =52﹣2×2 =21， (a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab =52﹣4×2 =17． (a+b)2=a2+2ab+b2 (a -b)2=a2- 2ab+b2 数学7年级 下 21 完全平方公式 知二求二: 熟练掌握完全平方公式的常见变形 数式的简便计算: 根据数式中数的特点选择乘法公式 公式变形 简便计算 整式的简便计算: 根据整式中式子的特点选择乘法公式 数学7年级 下 $