第1章 3 乘法公式（第3课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式的认识”，通过复习多项式乘多项式法则，引导学生计算(m+3)²等实例推导公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公式的形成过程。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，用图形面积验证公式培养数学眼光，通过多方法例题及纠错练习发展推理能力，口诀“首平方，尾平方，积的2倍放中间”强化记忆。学生能提升数形结合思维，教师可借助系统推导与分层练习优化教学。

我们致力于打造具有素质教育性质的一流好题! 七年级数学 下 智想卓育 ZHI XIANG ZHUO YU R 1 第一章 整式的乘除 课时3 完全平方公式的认识 1.3 乘法公式 数学7年级 下 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. 数学7年级 下 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 数学7年级 下 思考 计算下列各式: (1) (m+3)2； (2) (2+3x)2. 知识点 完全平方公式 解：(1) (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9； (2) (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =4+6x+6x+9x2 =4+12x+9x2. 对比结果和原式你有什么发现? 数学7年级 下 5 知识点 完全平方公式 (m+3)2=m2+6m+9； (2+3x)2=4+12x+9x2. 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数的积的2倍. 数学7年级 下 6 你能再举一些类似的例子吗？ 例如： 知识点 完全平方公式 (x-2)2 =(x-2)(x-2) =x2-2x-2x+4 =x2-4x+4. (x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； 数学7年级 下 7 完全平方公式：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的2倍. (a+b) ²=a²+2ab+b² 知识点 完全平方公式 数学7年级 下 8 你能用下图解释上面的公式吗? 知识点 完全平方公式 a a b b 数学7年级 下 9 知识点 完全平方公式 直接求： 总面积= (a+b)2 间接求： 总面积= a2+ ab+ ab+ b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 a a b b a² b² ab ab 数学7年级 下 10 知识点 完全平方公式 从运算的角度验证： (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)2 = (a+b)(a+b) 幂的意义 = a2+ab+ab+b2 多项式乘法法则 = a2+2ab+b2 所以 (a+b)2 = a2+2·a·b+b2 数学7年级 下 11 知识点 完全平方公式 思考 (a-b)2 等于什么呢？ (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 所以 ：(a-b)2 = a2-2·a·b+b2 数学7年级 下 12 知识点 完全平方公式 完全平方公式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的2倍. (a-b) ²=a²-2ab+ b²  你能设计一个图形解释这一公式吗？ 数学7年级 下 13 知识点 完全平方公式 a a b b (a-b)² b² b(a-b) b(a-b) (a-b)2 = a2-2b(a-b)-b2 =a2-2ab+b2 数学7年级 下 14 完全平方公式 知识点 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 简记为： “首平方，尾平方， 积的2倍放中间” 公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 数学7年级 下 15 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 图形可以直观解释乘法公式的合理性，有助于理解乘法公式的结构特征，而乘法公式又是对图形的抽象. 知识点 完全平方公式 数学7年级 下 16 例1 运用完全平方公式计算： 知识点 完全平方公式 (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 . 解:(1) (2x-3)2= = 4x2 (2x)2 -2•(2x) •3 +32 -12x +9 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 数学7年级 下 17 知识点 完全平方公式 解：(2)(4x+5y)2 = 16x2 +40xy+ 25y2 ； 例1 运用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 . (a+b)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2 数学7年级 下 18 知识点 完全平方公式 解：(3) (mn-a)2 例1 运用完全平方公式计算： (1) (2x-3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mn-a)2 . (a - b)2 = (mn)2-2·mn·a+a2 = m2n2-2amn+a2. 数学7年级 下 19 例2 运用完全平方公式计算： (1) (-1-2x)2 ； (2) (-2x+1)2 . 知识点 完全平方公式 解：(1)方法一 (-1-2x)2 =(-1)2-2·(-1)·2x+(2x)2=1+4x+4x2； =[(-1)+(-2x)]2=(-1)2+2·(-1)·(-2x)+(-2x)2=1+4x+4x2； =[-(1+2x)]2=(1+2x)2=1+4x+4x2. 方法二 (-1-2x)2 方法三 (-1-2x)2 (2) 方法一 (-2x+1)2 =(-2x)2 +2·(-2x)·1+12=4x2-4x+1； 方法二 (-2x+1)2 =(2x-1)2 =4x2-4x+1. 数学7年级 下 20 1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 （2）(x -y)2 =x2 -y2 （3）(x+2y)2 =x2 +2xy +4y2 x2+2xy +y2 x2-2xy +y2 x2+4xy +4y2 （4） (3x-y)2 =3x2 -6xy +y2 9x2-6xy +y2 数学7年级 下 21 2. 计算： (1) (x+2y)2； (2) (2xy-x)2； (3) (-3m+n)2. 解：(1)原式＝ (x)2+2·x·2y+(2y)2 ＝ x2+2xy+4y2. (2)原式＝ (2xy)2-2·2xy·x+(x)2 ＝ 4x2y2-x2y+x2. (3)原式＝ (-3m)2+2·(-3m)·n+n2 =9m2-6mn+n2. 数学7年级 下 22 3.已知a+b=-3，求2a2+4ab+2b2的值. 解:方法一 因为a+b=-3， 所以2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b) 2=2×(-3)2=18. 方法二 因为a+b=-3，(a+b) 2=a2+2ab+b2， 所以a2+2ab+b2=(-3) 2=9， 所以2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2×9=18. 数学7年级 下 23 4.如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解：36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y， 所以m＋1＝±60， 所以m＝59或-61. 数学7年级 下 24 完全平方公式 结果是三项，不要漏掉中间项 (a±b)2=a2±2ab+b2 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍 符号表示 注意 内容 中间项的符号要正确 图形变形前后阴影部分面积相等 几何解释 数学7年级 下 $