第十八章 分式 活动课教学设计2025-2026学年人教版八年级数学 上册

该初中数学教学设计采用大单元探究模式，围绕分式代数式取值规律，通过情境建模、赋值观察、猜想证明等环节，串联x>0与x<0时的规律探究及对称性、倒数关系等结构分析，构建完整的代数式研究知识网络。 其亮点在于情境化抽象与分层探究结合，如校园规划问题转化为分式最值模型，x>0时从特殊值列表到完全平方公式证明，x<0时自主类比迁移，培养抽象能力、推理能力和模型观念。学生通过自主探究与证明巩固方法，教师可借活动过程评价学情，提升教学针对性。

教学设计 学科 数学 年级 八年级上册 章节 第十八章 分式 课例名称 分式活动课2——探究取值的规律 学习目标 1. 通过从情境问题抽象出分式代数式并探究其最值的建模过程，理解通过赋值、观察、猜想、证明来研究代数式取值范围的一般思路，培养抽象能力与模型观念.‌ 2. 通过对在x>0时进行有序取值、列表、观察变化规律，并从结构特征出发联想完全平方公式进行代数变形的证明方法的过程，掌握从特殊到一般、从猜想到论证的研究路径，培养推理能力与运算能力.‌ 3. 通过类比x>0的探究过程，自主对x<0时的变化规律展开探究，培养对一类新问题展开探究的能力，发展推理能力.‌ 4. 通过观察探究表格，寻找x之间特殊关系对代数式值的影响并尝试证明，知道对称性、倒数关系等代数结构可能蕴含的数学规律，理解变量间的相互联系与制约，培养创新意识与严谨求真的科学态度.‌ 教学重点、 难点 重点：探究规律的方法 难点：规律的证明‌ 教学环节 师生活动 设计意图 一、情境导入 学校校园景观小组计划在教学楼旁的绿地上，规划一块面积为1平方米的长方形微型展示区（用于展示学生园艺作品）。为划分边界并美化环境，决定在展示区相邻两条边的外侧，分别以展示区的长和宽为边长，各打造一块正方形的三角梅种植区。已知每平方米预计可栽种6棵三角梅，学校至少需要购进多少棵三角梅？ 问1：购进三角梅的数量与什么有关? 问2：如何表示三角梅的栽种面积呢？ 问3：学校至少需要购进多少棵三角梅现在可以转化为一个怎样的数学问题？ 建立模型观念‌，让学生体会数学来源于生活并应用于生活，同时培养学生将复杂现实问题抽象、简化为数学模型的‌抽象能力‌，激发探究兴趣，为后续的数学探究活动做好铺垫. 二、最值探究 现在，让我们一起来认识. 问1：的取值由什么决定？ （师：当x的值确定，就可以计算得到的值） 问2：你们认为可以如何探究取值呢？ 问3：请先自己尝试对x进行取值并计算？思考为什么想这样取值？你有什么发现？ （此处在与学生的对话中逐步生成取值进行观察时的注意点： 1.全面、具有代表性 2.需要进行有序排列） 问4：结合刚才的计算，关于的值，你有什么发现，请用一句话表达你的发现. 问5：现在可以猜想的最小值是多少？ （回顾刚才的研究思路，对x进行取值得到对应的结果，通过有序的观察得到猜想，要想进一步得到确定的答案，光有猜想是不够的，还需要进行证明） 问6：结合你的猜想，先自行思考3分钟，可以从什么角度进行证明呢？ （给学生充分的思考时间，巡视观察学生的解题思路，若未有清晰思路，则追问：从要证明的代数式的结构，你有什么联想？进行提示） 问7：在证明的过程中，通过代数的结构特征联想已经学习过的知识，运用已学的知识进行证明，得到了最后的结果. 请利用刚才的结论，完成题目解答. 引导学生从给x赋特殊值开始，通过计算、列表、观察 x与代数式值的变化趋势，形成对最小值可能的‌猜想‌（如x=1时可能取最小值）。这一“‌从特殊到一般‌”的探究路径，是培养学生合情推理和数学思考习惯的关键环节. 通过有序取值、列表观察、提出猜想、进行证明的步骤，让学生体验数学探究的一般思路，形成“猜想需证明”的科学态度，培养‌严谨求真的科学精神. 在学生猜想的基础上，进一步引导学生关注代数式的结构特征，联想到完全平方公式，进而通过代数变形完成严格证明。这一过程不仅巩固了‌运算能力‌，更让学生体验“从直观猜想到逻辑论证”的完整数学研究过程，感受从合情推理到演绎推理的过渡，深化对‌推理能力‌的培养，感受数学的严谨性. 三、结构运用 我们刚才发现的取值与x是相对应的，取定x的值，就能得到的对应值，因此通过取x的方法对的值进行观察、归纳并得到猜想，最后进行证明，这也是我们研究新问题的思路；刚才是对x＞0进行探究，现在请你对当x＜0时，的变化规律展开探究. （展示学生的探究过程与成果） 让学生‌类比迁移‌，自主探究x<0时的变化规律，旨在培养学生的‌探究能力与迁移能力‌，鼓励学生将已有的研究思路（赋值、观察、猜想、证明）应用到新情境中，发展其‌独立思考与推理能力‌。 四、规律再探究 问1：我们探究了x＞0与x＜0两种情况下的取值规律，x还有别的取值吗？为什么 问2：将两个部分的探究表格放在一起，同样从小到大进行排列，观察表格，你还有什么其他特别的发现吗？ （因为的值由x决定，所以当x有特殊的关系时，也可能含有特殊的关系，这也可以成为我们发现规律的一个方向 猜想2：当x互为相反数时，的值相等 猜想3：当x互为倒数时，的值相等） 问3：请尝试证明. 问4：结合刚才的证明过程，你能从的结构中解释你的两个猜想吗？ （因两项都为平方项，而互为相反数的两个数的平方相等，因此也可以得到猜想2 两项本身互为倒数，这时取两个互为倒数的值，结果也相等.） （所以我们不仅可以从特殊值的角度进行观察、归纳、猜想，也可以从代数式的结构特征出发进行猜想） 当然还可能有很多别的发现，也欢迎大家课后对进行更加深入的探究. 培养学生的‌观察力、联想力与创新意识‌，让他们体验数学结构之美，感受变量间相互联系与制约的辩证关系。 通过鼓励学生尝试证明所发现的特殊关系，进一步巩固其代数推理与证明能力，并加深对‌模型观念‌的理解——即数学对象的结构特征往往蕴含着规律。 五、解决问题 请类比刚才的研究过程，自行对的值提出一些猜想，并完成证明. 六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $