精品解析：湖北省孝感市云梦县2025-2026学年上学期期末学情调研九年级数学

2025-2026学年度上学期期末学情调研 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 下列事件中，是随机事件的为（） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 从只有红球的袋子中摸出黑球 4. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 已知点，都在反比例函数的图象上，那么，的大小关系是：__________(填“”，“”或“”) 12. 已知二次函数的图象开口向下，且为整数，则可以为__________．（写一个即可） 13. 如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 15. 等腰，，，，则__________，__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 18. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，下列为三幅刺绣作品． （1）这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）明明和亮亮都很喜欢刺绣作品，每人都准备购买一款刺绣盲盒（盒中随机装有①②③这3个刺绣作品中的一款），求两人购买到的作品都为中心对称图形的概率． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求的值； （2）求证：无论取何值，方程总有实数根． 20. 如图1，正方形的边长为4，动点从点出发，沿路线向点运动，设点的运动路程是．点是射线上一动点，且，当点到达终点时，点停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． （1）请分别写出，关于的函数解析式，并注明的取值范围； （2）在图2中画出，关于的函数图象；并结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 22. 某学校为美化校园环境，决定在边长为米的正方形区域种植不同的花卉，设计方案如图所示，点，，，分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，在正方形内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉，设的长为米（）． （1）当时，的长度为_____米，乙种花卉的种植面积为_____平方米； （2）当的长为多少米时，正方形的面积最小？最小是多少？ （3）已知甲种花卉的种植费用为80元，乙种花卉的种植费用为100元，若本次种植总费用为3080元，则的长为多少米？ 23. 我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”． （1）如图1，在和中，，，，求证：； （2）如图2，在中，的平分线交于点，将点绕点逆时针旋转，得到点，分别连接，，． ①求证：； ②试探究线段和线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，点，分别在，上，且，，若，，请直接写出线段的长度． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求b，c的值及直线的解析式； （2）如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线，，交直线于点交抛物线的对称轴于点，设． ①求关于的函数解析式； ②若使成立的点恰有4个，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末学情调研 九年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 下列事件中，是随机事件的为（） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 通常加热到时，水沸腾 D. 从只有红球的袋子中摸出黑球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，三角形内角和定理；依据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项事件的类型，从而选出随机事件，即可求解． 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件 ∴A选项，投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，属于随机事件 B选项，任意三角形的内角和都为，是必然事件 C选项，通常情况下，加热到时水沸腾，是必然事件 D选项，从只有红球的袋子中不可能摸出黑球，是不可能事件 故选：A． 4. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则， 故选：D． 5. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式是， 故选：． 6. 如图，中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，根据垂径定理得，根据已知求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 7. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 利用阻力阻力臂动力动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米， ∴动力关于动力臂的函数解析式为：， 则，是反比例函数，B选项符合， 故选：B． 8. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每月增长率是x，则二月份的总产量为吨，三月份的总产量为吨，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长率是x， 由题意得，． 故选B． 9. 如图，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 由旋转可得：，， ， 轴，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：D． 10. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 已知点，都在反比例函数的图象上，那么，的大小关系是：__________(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小关系即可判断与的大小，即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， 在每个象限内，随的增大而减小， 点，都在反比例函数图象上，且， ， 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象开口向下，且为整数，则可以为__________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象性质，当二次项系数小于0时，图象开口向下，且需确保函数为二次函数，即二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 又∵为整数， ∴可取任意负整数，如， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率；求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【详解】解：∵正方形二维码的边长为， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 14. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 15. 等腰，，，，则__________，__________． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键.将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）4；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解一元二次方程． （1）根据有理数的乘方，零指数幂，求一个数的绝对值进行计算即可求解； （2）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ． （2）移项得， 即， 因式分解得， ，， ，． 17. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到，使得，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，再结合，可推出结果． 【详解】解：将绕点旋转到， ， ， 又， ， ， ∴． 18. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，下列为三幅刺绣作品． （1）这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）明明和亮亮都很喜欢刺绣作品，每人都准备购买一款刺绣盲盒（盒中随机装有①②③这3个刺绣作品中的一款），求两人购买到的作品都为中心对称图形的概率． 【答案】（1）2 （2）两人购买到的作品都为中心对称图形的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，用树状图法求概率． （1）根据中心对称图形的定义，即可求解； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：这三幅刺绣作品中，是中心对称图形的有①③，共2个 故答案为：2 【小问2详解】 将①②③依次编号为、、， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到的作品都为中心对称图形的可能性有4种，故两人购买到的作品都为中心对称图形的概率为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求的值； （2）求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：根据题意可得：，，， ， 无论取何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式． （1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解： 方程有一实数根为3， ， 解得； 【小问2详解】 略 20. 如图1，正方形的边长为4，动点从点出发，沿路线向点运动，设点的运动路程是．点是射线上一动点，且，当点到达终点时，点停止运动，连接，．记的面积为，的面积为． （1）请分别写出，关于的函数解析式，并注明的取值范围； （2）在图2中画出，关于的函数图象；并结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 和的图象如图所示： 由函数图象知，当时，的取值范围为：． 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，求函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数交点问题． （1）分两种情况讨论，根据点在上，分别根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解． （2）根据（1）中的解析式画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； ， ． 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 又为半径， 为切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据是直径，得出，进而证明，得出，即可得证； （2）延长交于点，根据勾股定理求得，根据矩形的性质得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， 的半径为，， 在直角三角形中， ， ， 四边形为矩形， ，，即， 过圆心， ， ． 22. 某学校为美化校园环境，决定在边长为米的正方形区域种植不同的花卉，设计方案如图所示，点，，，分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，在正方形内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉，设的长为米（）． （1）当时，的长度为_____米，乙种花卉的种植面积为_____平方米； （2）当的长为多少米时，正方形的面积最小？最小是多少？ （3）已知甲种花卉的种植费用为80元，乙种花卉的种植费用为100元，若本次种植总费用为3080元，则的长为多少米？ 【答案】（1）， （2）当的长为米时，正方形的面积最小为 （3）若本次种植总费用为元，则的长为米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）先证明，进而可得，根据勾股定理求得的长度，进而求得乙种花卉的种植面积； （2）根据，进而利用二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， 同理可得 当时，米，米， 在中，米， ∴乙种花卉的种植面积为平方米； 故答案为：，16； 【小问2详解】 解：设正方形的面积为，由（1）可得正方形外围的四个直角三角形全等， ， 又， 当时，最小为， 即当的长为米时，正方形的面积最小为； 【小问3详解】 解：依题可知：， 即， 解得：，（舍）； 所以若本次种植总费用为元，则的长为米． 23. 我们在平面几何的学习中，会碰到许多常见的几何模型，“手拉手”模型就是其中之一，面对题目时我们常会“寻模而入，破模而出”． （1）如图1，在和中，，，，求证：； （2）如图2，在中，的平分线交于点，将点绕点逆时针旋转，得到点，分别连接，，． ①求证：； ②试探究线段和线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，点，分别在，上，且，，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中： ； （2） ①四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ； ②，理由如下： 如图，分别连接，， 点绕点逆时针旋转，得到点， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， 在和中： ； ，， ， 即， 是等边三角形， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理； （1）根据已知条件证明， （2）①根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，得出，则，结合平行四边形的 性质，即可得证； ②分别连接，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而证明，再证明是等边三角形，即可得出结论； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求b，c的值及直线的解析式； （2）如图1，是抛物线上一点，连接，若，求点的坐标； （3）是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点分别作轴，轴的平行线，，交直线于点交抛物线的对称轴于点，设． ①求关于的函数解析式； ②若使成立的点恰有4个，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），直线的解析式为 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法、二次函数与角度问题，运用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，得到的值，进而得到，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点作，且，连接，交抛物线于点，则 为等腰直角三角形，，过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点，证明求出点坐标，直线与抛物线的交点为点； （3）①分，，三种情况讨论即可；②由①的解析式结合函数图象，求解即可． 【小问1详解】 解（1） ∵，在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，将，两点坐标代入得 ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作，且，连接，交抛物线于点， 则 为等腰直角三角形，， 过点作轴的平行线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，延长交轴于点， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将，两点坐标代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 由 解得，或者（舍去）， ∴； 【小问3详解】 ①∵，直线为，对称轴为， ∴ ，， ∴当时， ，, 此时； 当时， ，, 此时； 当时， ，, 此时； 综上，； ②当时， ∴当时，有最大值 由图象可知，使成立的点恰有个，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $