第三章 概率初步 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）宁夏专版

人数 50 40 40 30 30 40-20-10=30(人)，补全条形统计图如图：20 (3)600(4号 10 10 04 运娱阅上选项 动乐读网 阶段微测试（五） 1.C2.A3.B4.D5.C6.C7.C8.C9.42°10.111.512.②或③ 13.解：(1)在△ABC中，因为∠ACB=90°，∠A=40°，所以∠ABC=50°.因为∠ABC+ ∠CBD=180,所以∠CBD=130.因为BE平分∠CBD,所以∠CBE=∠CBD=号 ×130°=65°：(2)在△BCE中，因为∠BCE=90°，∠CBE=65°，所以∠CEB=90°-65 =25°.因为DF∥BE,根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠F=∠CEB=25°. 14.解：因为AB∥CD,根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠A=∠D,∠B=∠BFD. 因为EC∥BF,根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠C=∠BFD.所以∠B=∠C.在 △ABH和△DCG中，因为∠A=∠D,AB=DC,∠B=∠C,根据三角形全等的判定条 件“ASA”,所以△ABH≌△DCG.根据“全等三角形的对应边相等”，所以AH=DG.所 以AH-GH=DG一GH,即AG=DH.15.解：因为BD,CE分别是边AC,AB上的 高，所以∠ADB=90°，∠AEC=90°.所以∠ABD+∠BAD=90°.∠EAC+∠ACE= 90°，所以∠ABD=∠ACE.在△ABQ和△FCA中，因为AB=FC,∠ABQ=∠FCA, BQ=CA,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ABQ≌△FCA.根据“全等三角形 的对应角相等”，所以∠F=∠BAQ.因为∠F十∠FAE=90°，所以∠BAQ十∠FAE= 90°，即∠FAQ=90°.所以AF⊥AQ. 阶段微测试（六） 1.D2.A3.C4.C5.D6.A7.D8.B9.②①③10.4或611.5 12.225°13.解：如图，△ABC即为所作的三角形. 14.解：因 Ic 为∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，所以∠DCP=180°-∠CDP ∠CPD=180°-90°-38°=52°，所以∠DCP=∠BPA.在△CPD和△PAB中，因为 ∠CDP=∠PBA,DC=BP,∠DCP=∠BPA,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所 以△CPD≌△PAB.根据“全等三角形的对应边相等”，所以PD=AB.因为DB= 33m,PB=8m,所以PD=DB-PB=33-8=25(m).所以AB=25m.答：楼高AB是 25m.15.解：(1)①4t②at(2)由题意，得BP=4tcm,BD=12cm,CP=(16-4t) cm,CQ=atcm,因为∠B=∠C,所以分两种情况讨论：①若△DBP≌△QCP,则BD= CQ,BP=CP,所以12=at,4t=16一4t,解得t=2,a=6:②若△DBP≌△PCQ,则BD=CP, BP=CQ,所以12=16-4t,4t=at,解得t=1,a=4.综上所述，a的值为6，t的值为2或a的 值为4，t的值为1时，以D,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形全等. 阶段微测试（七） 1.D2.C3.B4.D5.B6.A7.B8.B9.37°10.9611.24°12.70°或 20°13.解：因为AB=AC,∠B=50°，所以∠C=∠B=50°，所以∠BAC=180°-∠C ∠B=80°.因为∠BAD=55°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=25°.因为DE⊥AD,所 以∠ADE=90°，所以∠AED=90°-∠DAC=65°，所以∠DEC=180°-∠AED=115, 14.解：因为OP平分∠AOB,DE⊥ON,DG⊥OB,所以DE=DG,∠DEN=∠DGF= 90°.在△DEN和△DGF中，因为∠DEN=∠DGF,DE=DG,∠EDN=∠GDF,根据 三角形全等的判定条件“ASA”,所以△DEV≌△DGF.根据“全等三角形的对应边相 等”，所以DN=DF,15.解：(1)45°(2)不变.理由如下：因为BD=BA,所以∠BAD =2(180°-∠B).因为∠BAC=90°，所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=90°-(180° ∠B)=∠R因为CE=AC,所以∠CAE=∠E=之180-∠AED=号[180-(180- ∠ACB]=号∠ACB,所以∠DAE=∠CAD+∠CAE=合∠B+2∠ACB=（∠B+ ∠ACB)=弓×90=45.所以当AB和AC不相等时，∠DAE的度数也是定值为 阶段微测试（八） 1.C2.C3.A4.B5.D6.C7.C8.D9.910.Q=55-10s50011.y= 4x十212.1213.解：(1)由题意知长方形的另一边长为(30-x)cm,故y=x(30-x) =-x2+30x:(2)当x=12时，y=-12+30×12=216.14.解：(1)(45-30)÷150= 0.1(L/km):Q=45-0.1x:(2)当x=280时，Q=45一0.1×280=17：(3)他们能在汽车报警前 回到家.理由如下：(45-3)÷0.1=420(km).因为420>400，所以他们能在汽车报警前回到 家.15.解：(1)根据题意，得y=1.2×10十(x-10)×1.8=1.8x-6:(2)当y=39时， 1.8x一6=39，解得x=25.答：若小明家里本月缴水费39元，则小明家里用水25t, 第25页（共42页） 综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.C3.B4.B5.C6.B7.C8.C9.x≠210.36.x2y11.±1012.6 13.4214.615.202616.617.解：原式=1十4÷2=1十2=3.18.解：原式= (100十0.2)×(100-0.2)=100-0.2=10000-0.04=9999.96.19.解：一正确 的解答过程如下：原式=9x2-1-(4x2-4x十1)=9x2-1-4x2十4x-1=5x2十4x一 2.20.解：原式=[4a2-b2-(a2+2ab+6)+262-ab]÷3a=(4a2-b2-a2-2ab-b +2b-ab)÷3a=(3a2-3ab)÷3a=a-b.因为a-3|+(b+2)2=0,|a-3|≥0，(b+ 2)2≥0，所以|a-3|=0,(b十2)2=0.所以a-3=0,b十2=0.所以a=3,b=-2.所以 原式=3-(-2)=3+2=5.21.解：(1)因为a·a'=a+y=a,a÷a=ay=a,所 以x十y=5,x-y=1.(2)由(1)，得x十y=5,x-y=1,所以x2-y2=(x十y)(x-y)= 5×1=5.22.解：(A+B)(A-B)=(a-2ab+b2+a2+2ab+b2)(a2-2ab+b-a2- 2ab-b)=(2a2+2b)(-4ab)=-8a3b-8ab.23.解：(1)由题意，得(2x-m)(5x 4)=10x2-33x十20,10x2-5nx-8x十4m=10x2-33x+20,所以4m=20,解得= 5.由题意，得(4x十1)(4x十n)=16x2十8x十1,16x2十4nx+4x十n=16x2+8x十1，所以 n=1.(2)海气计算的题：(2x十m)(5x-4)=(2x十5)(5x-4)=10x2-8x十25x-20= 10x2+17x-20:笑笑计算的题：(4x十1)(4x一n)=(4x十1)(4x一1)=16x2-1. 24.解：(1)原长方形铁皮的面积是(4a+60)(3a+60)=(12a2+420a十3600)cm. (2)这个铁盒的表面积是12a2+420a+3600-4×30×30=(12a2+420a)cm,则在这 个铁盒的外表面涂上油漆需要的钱数是(12a+420a)÷品=(600a+2100)元. 25.解：(1)28(2)假设32是“神秘数”，则存在非负整数n,使得(2n十2)2-(2m)=32. 化简，得4(2m十1)=32,2n十1=8，n=2,因为n不是整数，所以32不是“神秘数”， (3)用2k十2和2k(k为非负整数)表示两个连续偶数，“神秘数”为(2k十2)2一(2k)= 4k2十8k十4-4k2=4(2k十1).因为4(2k十1)含因数4，所以“神秘数”一定是4的倍数. 又因为2k十1是奇数，所以4(2k十1)不能被8整除(8的倍数需含因数8，即同时含4 和2的倍数，但2k十1是奇数).因此，小明的说法正确，小华的说法错误。26.解：(1)由 图知，图②中大正方形的面积为(a十b)2,图②中大正方形的面积还可表示为a十2ab 十，所以(a十b)2=a+2ab+b.(2)3[解析：因为(a+2b)(a十b)=a2+3ab+2b, 所以拼出一个面积为(a十2b)(a十b)的长方形，需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种 纸片3张.](3)①因为a十b=5,所以(a十b)2=a+2ab十6=25.因为a2十b2=15,所 以15十2ab=25,解得ab=5.②因为(a-2027)2+(2026-a)2=5,所以(a-2027) +(a-2026)2=5.因为(a-2027)-(a-2026)=-1,所以[(a-2027)-(a- 2026)]2=(a-2027)-2(a-2027)(a-2026)+(a-2026)2=1,所以5-2(a- 2027)(a-2026)=-1,解得(a-2027)(a-2026)=2. 第二章综合评价 1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.A8.A9.垂线段最短10.48°11.150° 12.2cm13.106°14.∠A=∠CDE(答案不唯-)15.55°16.2或3817.解：CD ∥BE.理由如下：因为∠AFC=50°，所以∠DFB=∠AFC=50°.又因为∠B=130°，所 以∠DFB+∠B=180°.所以CD∥BE.18.解：设这个角的度数为m°，则这个角的补 角的度数为(180-m)°，它的余角的度数为(90一m)°.根据题意，得180-m=2(90-m) 十40.解得m=40.故这个角的度数为40°.19.解：如图，∠CDE即为所求. 20.解：因为AE∥CD,∠1=60°，所以∠ABC=∠1=60°，∠2= ∠DBE.所以∠CBE=180°-∠ABC=180°-60°=120°.因为BD平分∠CBE,所以 ∠DBE=之∠CBE=之×120=60.所以∠2=∠DBE=60.21.等量代换角平 分线的定义∠AGC AE∥GF内错角相等，两直线平行22.解：因为BE⊥FD,所 以∠EGD=90°，所以∠1十∠D=90°.因为∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，所以∠1 =∠2.又因为∠C=∠1，所以∠C=∠2.所以AB∥CD.23.解：(1)因为∠BOD= 第26页（共42页） 40°，所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.因为OF平分∠AOD,所以∠AOF =∠D0F=2∠A0D=70.所以∠C0F=180°-∠D0F=180°-70°=10°.(2)因为 ∠A0C:∠C0E=2:3,所以设∠A0C=,则∠COE=号x,因为0E1AB,所以 ∠A0E=∠B0E=90,所以∠A0C+∠COE=∠A0E=90.所以x+号x=90,解得 x=36°，即∠AOC=36°.所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-36°=144°.因为OF平分 ∠A0D,所以∠DOF=∠A0D=72.24.解：)如图， F过点G作 B ，G--M CD GM∥EF,所以∠E+∠EGM=180°.所以∠EGM=180°-∠E=180°-130°=50°.因为 CD∥EF,所以GM∥CD.所以∠MGD=∠D=25°.所以∠EGD=∠EGM+∠MGD= 50°+25°=75°.(2)∠EGD+∠E-∠D=180°.理由如下：因为GM∥EF,所以∠EGM =180°-∠E.因为CD∥EF,所以GM∥CD.所以∠MGD=∠D.所以∠EGD=∠EGMH十 ∠MGD=180°-∠E+∠D,即∠EGD+∠E-∠D=180°.25.解：(1)①130°②60°(2)猜 想：∠ACB+∠DCE=180°.理由如下：因为∠ACE=90°-∠DCE,∠ACB=∠ACE+90°，所 以∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE,即∠ACB+∠DCE=180°.(3)30°或45°.[解 析：当CB∥AD时，∠ACE=30°：当EB∥AC时，∠ACE=45]26.解：【感知】70° 【迁移】如图②，过点P作PN∥AB,则∠A=∠APN.因为AB∥CD,PN∥AB,所以 PN∥CD.所以∠C=∠1.因为∠APC=∠APN-∠1，所以∠APC=∠A-∠C=155 -125°=30°.【应用】如图③，过点C作CF∥MN,所以∠FCD=∠CDM=63°.因为 ∠BCD=108°，所以∠BCF=∠BCD-∠FCD=108°-63°=45°.因为CF∥MN,BE∥ MN,所以CF∥BE.所以∠BCF+∠CBE=180°.所以∠CBE=180°-∠BCF=135 因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°.所以∠ABC=180°-∠BCD=180°-108 =72°.所以∠ABE=∠CBE-∠ABC=135°-72°=63. 图② 图③ 第三章综合评价 1.A2B3B4.C5D6A7.A8B9随机10.0.9011.号12. 13.314.=15.12516,17.解：(1)面朝上的点数大于0，是必然事件，故概率 为1；(2)面朝上的点数是7，是不可能事件，故概率为0；(3)面朝上的点数是3的倍数 有3,6两种情况，故概率为号-子，按发生的可能性从大到小的顺序排列为(1)(3) (2).18.解：口袋里球的个数为5÷号=15,15-4-5=6，答：口袋里黄球的个数为6. 19解：1)抽到”西夏王陵"的概率为六2)抽到公园的概率为号=片20.解：1)根据 表中的数据可得=器=0,52，y一调=0,50.(2)随者投壶次数越来越多，估计甲投 壶一次投中的概率为0.5.21，解：(1)在一个不透明的口袋中装有1个黄球和1个白 球，每个球除颜色外其他全部相同，任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然 事件.(2)在一个不透明的口袋中装有4个黄球和2个白球，任意摸出3个球，2个是黄 球，1个是白球是随机事件.（答案不唯一）2.解：(1）子(2)小明点完第一步之后， 第二步踩在A区城外的小方格上踩中地雷的既率为9号-日。2及，解：1日 (2)不公平.理由如下：转盘中3的倍数有3和6两个数，而不是3的倍数有1,2,4,5共 四个数，所以小明获胜的概率为号-了，小亮获胜的概率为合-子，因为号≠号，所 第27页（共42页） 以这个游戏对双方不公平.24.解：(1)0.3(2)盒子中有黑球15个，总球数为15十5 -20(个).则摸到鼎球的版率为品-早.(3)20×号-8（个）8-5=3X个.答：往盒子 中放人3个白球，取出3个照球，使摸到白球的概率为号.25.解：1)P(从中随机抽 9 出一张是红桃)三g十0十元=，(2)①因为事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事 件，则剩下的牌只有方块，所以当为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事 件.②因为事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，所以剩下的牌有黑桃和方块.又 因为>6，所以当m为9,8,7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件.因为剩 下的牌中黑桃越多，事件“再抽出的这张牌是方块”的概率越小，所以m为7时，这个事 11 11 件概率有最小值，最小值为10-7刀十一26、解：1)不可能事件(2)转动-次 转盘共有16种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同.其中，转动一次转盘获得 50元购物券的结果有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转 盘获得20元购物券的结果有3种，所以转动一次转盘获得50元购物券的概率为P= 转动一次转盘获得30元则物券的概率为P=品=日，转动一次转盘获得20元购 3 物券的概率为P=。·(3)转动一次转盘共有16种可能的结果，且每种结果出现的可 能性相同.其中，转动一次转盘得到购物券的结果有1十2十3=6（种），未得到购物券的 结果有16一6=10（种），所以转动一次转盘得到购物券的概率为P=品=令，末得到 购物券的概率为P=号=各因为号>号，所以末得到则物券的概率大。 期中综合评价 L.C2.B3.C4.D5.D6.D7.A8.C9310.2I山∠DAB=∠B(答 案不唯一)12.-213.3014.315.28°16.917.解：原式=x2-2xy-xy十 2y2-(3x3÷3x-6x2y÷3x)=x2-3xy十2y2-x2+2xy=2y2-xy.18.解：如图，FG 即为所求， 19.解：原式=4x2-12x十9-x2十y2-y2=3x2-12x+9. 一G 因为x2-4x-1=0,所以x2-4x=1,所以原式=3(x2-4x)十9=3×1十9=12. 20.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等AEPF内错角相等，两 直线平行两直线平行，内错角相等21.解：(1)因为5m=4,5”=6,又因为25P= (5)2=50=9,所以5m+-0=5m·5÷50=4X6÷9=令.(2)因为5”·25=5m·5 =4X9=36=62,又5"=6，所以5m·52p=(5")2,所以m十2p=21.22.解：AD∥BC. 理由如下：因为AB∥DE,所以∠1=∠CAB.因为∠1=∠ACB,所以∠CAB=∠ACB. 又因为∠CAB=号∠BAD,所以∠CAB=∠CAD,所以∠CAD=∠ACB.所以AD/ BC.23,解：该校工会主席的做法对小张和小李公平，理由如下：从写有“社会主义核 心价值观”的12张卡片中随机摸出一张卡片，共有12种结果，每种结果出现的可能性 相同，其中出现国家层面的结果有4种，分别是“富强”“民主”“文明”“和谐”，出现社会 层面的结界有4种，分别是自由“平等公正“法治”所以P(小张去)=立=子 P(小李去)=意子所以P(小张去)=P小李去).所以该校工会主席的做法对小张 和小李公平.24.解：(1)因为∠AOC=68°，所以∠BOD=∠AOC=68°.因为OE平分 ∠BOD,所以∠DOE=之∠B0D=34.因为OF⊥CD,所以∠COF=∠DOF=90.所 以∠EOF=∠DOF-∠DOE=56°.(2)设∠BOF=x°，因为∠BOE比∠BOF大24°，所 以∠BOE=(x十24)°.因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE=(x十24)°.因为 ∠DOF=90°，所以∠DOE+∠BOE+∠BOF=90°，所以(x+24)+(x+24)+x=90, 解得x=14.所以∠DOE=(x+24)°=38°.所以∠COE=180°-∠DOE=142°. 第28页（共42页） 25.解：(1)因为AB∥CD,∠D=50°，所以∠D+∠ABD=180°.所以∠ABD=180° 50=130,因为BE,BF分别平分∠DBP和∠ABP,所以∠EBP=立∠DBP,∠PBF =∠ABP.所以∠EBF=∠EBP+∠PBF=合（∠DBP+∠ABP)=号∠ABD= 65°.(2)随着点P的移动，∠BPD与∠BFD之间的数量关系不会改变，∠BPD= 2∠BFD.因为AB∥CD,所以∠ABP=∠BPD,∠ABF=∠BFD.因为BF平分 ∠ABP,所以∠ABP=2∠ABF.所以∠ABP=2∠BFD.所以∠BPD=2∠BFD.(3)因 为AB∥CD,∠D=a,所以∠D十∠ABD=180°.所以∠ABD=180°-a.因为∠ABE= ∠DBF,所以∠ABF+∠EBF=∠DBE+∠EBF,所以∠ABF=∠DBE.因为BE,BF 分别平分∠DBP和∠ABP,所以∠EBP=∠DBE,∠ABF=∠FBP.所以∠EBP= ∠DBE=∠ABF=∠FBD=}∠ABD.因为AB∥CD,所以∠ABP=∠BPD,所以 ∠BPD=号∠ABD=90°-号.26.解：【问题呈现k+6(a+b)2-2ab②【数 学应用】因为a十b=12,ab=5,a2+b2=(a十b)2-2ab,所以a2+b=(a十b)2-2ab= 122-2×5=144-10=134.【拓展应用】设AE=BE=xm(x>0),CE=DE=ym(y> 0.由题意，得2+之y=号十y=7,所以十y=21.所以种草区域的面积和为 叶y=y士，士2_，21=14，答：种草区域的面积和为4m. 1 1 2 2 第四章综合评价 1.B2.C3.D4.D5.C6.A7.C8.D9.稳定性10.5011.∠A=∠D (答案不唯-)12.65°13.②14.115.40161017.解：因为∠A=号∠B= 吉∠C,所以∠B=3∠A,∠C=5∠A因为∠A+∠B+∠C=180,所以∠A+3∠A+ 5∠A=180°.所以∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.所以△ABC是钝角三角形. 18.解：因为△ABC≌△DEF,根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”，所以∠B =∠E,BC=EF.因为∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°，所以∠E= 30°.因为BC=EF,所以EF-CF=BC-CF,即EC=BF.因为BF=2,所以EC=2. 19.解：∠CDE=180°-∠ADE=180°-155°=25°.因为DE∥BC,所以∠C=∠CDE= 25°.所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-90°-25°=65°.20.解：如图，△ABC即为所 求作的三角形. 21.解：(1)因为a,b,c是△ABC的三边 B 长，a=6,b=8,所以2<c<14.因为c是小于8的偶数，所以c=4或c=6.(2)川a十b-c +1c-a-b=a十b-c-c十a十b=2a十2b-2c.22.解：(1)因为AD⊥BC于点D,所 以∠ADB=90°.因为∠B=70°，所以∠BAD=90°-∠B=20°.(2)因为∠BAC=56°， ∠B=70°，所以∠ACB=180°-∠BAC-∠B=54°.因为AD⊥BC于点D,CE平分 ∠ACB,所以∠ADC=90°，∠BCE=∠ACE=号∠ACB=27.所以∠DFC=180°- ∠ADC-∠BCE=63°.所以∠AFC=180°-∠DFC=117°.23.解：由题意知AC= AE+CE=13.5+2.5=16(m),∠CAQ=∠PAE=90°，所以∠AQC+∠ACQ=90°.因 为∠ACQ与∠AEP互余，所以∠ACQ+∠AEP=90°.所以∠AQC=∠AEP.在△AQC 和△AEP中，因为∠AQC=∠AEP,AQ=AE,∠CAQ=∠PAE,根据三角形全等的判 定条件“ASA”,所以△AQC≌△AEP.根据“全等三角形的对应边相等”，所以AC=AP =16m.所以PQ=AP-AQ=16-13.5=2.5(m).答：教学楼顶部宣传牌的高度PQ 为2.5m.24.解：①（或②）当选择①BF=DE时，在△ABF和△CDE中，因为AB =CD,AF=CE,BF=DE,根据三角形全等的判定条件“SSS”,所以△ABF≌△CDE. 根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”，所以∠B=∠D,BF=DE.所以BF十 EF=DE十EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中，因为AB=CD,∠B=∠D,BE= DF,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ABE≌△CDF.根据“全等三角形的对 应角相等”，所以∠AEB=∠CFD,根据“内错角相等，两直线平行”，所以AE∥CF,[或 选②，先用“SAS”判定△ABF≌△CDE.后续过程同①]25.解：(1)①因为△ABC是 “友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B),所以∠A=2∠B.因为∠ACB 第29页（共42页） =90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°，即2∠B+∠B=90°，所以∠B=30°.所以∠A =60°.②△ACD,△BCD都是“友爱三角形”.理由如下：因为CD是△ABC中AB边上 的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.因为∠A=60°，∠B=30°，所以∠ACD=30°，∠BCD =60,在△ACD中，因为∠A=60,∠ACD=30,所以∠ACD=之∠A.所以△ACD 为友爱三角形”，在△BCD中，因为∠BCD=60,∠B=30,所以∠B=号∠BCD.所 以△BCD为“友爱三角形”.(2)∠ACD的度数为33°或38°.[解析：因为∠A=66°，所以 3∠A=198>180°，所以∠A≠号∠ACD.因为∠B=180°-∠ACB-∠A=44,所以 ∠ADC=∠B+∠BCD=4°+∠BCD.因为令∠A=33°<∠ADC.所以∠ADC≠ 合∠A因为D是AB上-点（不与点A,B重合），所以0<∠ACD<10,因为70+号 ×70+66=171°<180°，所以∠ADC≠2∠ACD,所以当△ACD是“友爱三角形”时， 分两种情况：①当∠ACD=∠A时，∠ACD=号×66°=33，②当∠ACD= 合∠ADC时，∠A+∠ACD+∠ADC=∠A+3∠ACD=180,即66+3∠ACD=180. 所以∠ACD=38°.综上所述，∠ACD的度数为33°或38°，]26.解：(1)A(2)1<AD <5(3)延长DM,AB交于点F.因为AM平分∠BAD,所以∠DAM=∠FAM.因为 AM⊥DM,所以∠AMD=∠AMF=90°，在△AMD和△AMF中，因为∠AMD= ∠AMF,AM=AM,∠DAM=∠FAM,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以 △AMD≌△AMF.所以MF=DM,AD=AF.因为M是BC边的中点，所以BM=CM. 在△BMF和△CMD中，因为BM=CM,∠BMF=∠CMD,MF=MD,根据三角形全 等的判定条件“SAS”,所以△BMF≌△CMD.所以CD=BF,所以AF=AD=AB十BF =AB+CD.因为AD=5,CD=3,所以AB=5-3=2. 第五章综合评价 1.A2.C3.B4.D5.C6.C7.A8.D9.等腰三角形“三线合一”10.4 1.212.313.5°1465°15.2516.8 17.解：如图. B D D' 18.解：因为在△ABC中，AB=BC,∠ABC=110°，所以∠A=∠C= 合×180-109=35因为AB的垂直平分线DB交AC于点D,所以AD=BD,所 以∠DBA=∠A=35°，19.解：点P为所求灯柱的位置 20.解：连接 AD.因为AB=AC,D为BC的中点，所以AD平分∠BAC.又因为DE⊥AB,DF⊥ AC,所以DE=DF.21.解：因为PQ=AP=AQ,所以△APQ是等边三角形，所以 ∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°.因为AP=BP=AQ=QC,所以∠B=∠BAP,∠C= ∠CAQ.因为∠BAP+∠B=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,所以∠BAP=∠CAQ= 30°，所以∠BAC=∠BAP+∠PAQ十∠CAQ=120°.22.解：因为EF是AC的垂直 平分线，所以AE=CE.因为AE=AB,所以AB=CE.因为在△ABE中，AE=AB,AD ⊥BE于点D,所以BD=DE.因为CE+DE=DC,所以AB+BD=DC.23.解：(1)因 为AD∥BE,所以∠A=∠B.在△ACD和△BEC中，因为AD=BC,∠A=∠B,AC= BE,根据三角形全等的判定条件“SAS”,所以△ACD2△BEC.(2)因为△ACD≌ △BEC,所以CD=EC.又因为CF⊥DE,所以CF平分∠DCE.24.解：(1)因为AD 平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD=42°，∠BAC=84°.因为∠BAC+∠B+∠C= 第30页（共42页）第三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出 的四个选项中只有一个符合题目要求) 1.下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是 A.水中捞月 B.春风吹又生 C.举头望明月 D.鱼戏莲叶东 2.篮球裁判员通常用抛掷硬币的方式来确定哪一方先选场地，那 么抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上的概率是( A.1 B号 c D.后 弥 3.2025年我国人工智能模型DeepSeek凭借开源模式和成本优 势火爆全球.在单词“DeepSeek'”中随机选择一个字母，选到字 母“e”的概率是 ( A号 B方 c D台 4.分别写有数字0，一1，一2,1,2的五张卡片，除数字外其他均相 同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到负数的概率是( 0 苹 昌 R专 c n吉 封 5.某校七年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞 赛”.比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将 表示出场顺序的数字1,2,3分别写在3张同样的纸条上，并将 这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一 张，小星第一个抽，下列说法中，正确的是 A.小星抽到数字1的可能性最小 B.小星抽到数字2的可能性最大 C.小星抽到数字3的可能性最大 D.小星抽到每个数的可能性相同 6.下列说法正确的是 A.13个人中至少有两个人出生月份相同 B.成语“水中捞月”描述的事件是随机事件 C.“我市明天降雨的概率为0.6”表示我市明天一定降雨 D,若抽奖活动的中奖概率为0，则抽奖50次必中奖1次 7.学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共 10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男 × 生，2名女生.现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传 联络任务.若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中 女生的人数为 A.2 B.3 C.4 D.5 第1页（共6页）》 8.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的 频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试 验最有可能的是 频数 0.25 0.20 0.15 0.10 0.0 0 100200300400500次数 A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D.袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随 机取出一个球是黄球 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9.古语云“八月十五云遮月”，这是一个 事件（填“必然” “不可能”或“随机”) 10.AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提 升教学效果和学生学习体验.为了解学生对AI赋能数学课堂 的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测 结果，估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率为 累计抽测的 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 学生数n 喜欢A】赋 能数学课堂 的学生数与 0.850.900.930.900.890.900.910.910.920.90 n的比值 11.一个质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5， 6,投掷一次，朝上一面的数字小于4的概率为 12.在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆， 如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其 中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫时 就能获得食物的概率是 食物 甲转盘 乙转盘 (第12题图) (第14题图) 13.在一个不透明的盒子中装有6个白球，n个黄球，它们除颜色 不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概 率为号，则n的值为 14.用力转动如图所示的甲转盘和乙转盘，甲转盘转到阴影部分的 概率 乙转盘转到阴影部分的概率.（填“>”“<”或“=”） 第2页（共6页） 15.为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》 精神，某校生物兴趣小组的同学在相同试验条件下开展“水果 玉米”种子萌发试验，经过长时间的统计发现：该种子在一定 条件下萌发的频率稳定在0.8.若学校劳动基地需要该批次 “水果玉米”幼苗100株，则大约需要准备 粒种子进行 萌发培育. 16.有如图四张卡片，除卡片上的图案不同其余完全相同，现把这 些卡片有图案的一面朝下搅匀，随机抽出一张，上面的图案能 够围成一个正方体的概率是 三、解答题（本题共10道小题，其中17,18,19,20,21,22题每题6 分，23,24题每题8分，25,26题每题10分，共72分) 17.掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些 事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列. (1)面朝上的点数大于0： (2)面朝上的点数是7； (3)面朝上的点数是3的倍数. 18.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同.其中 有红球4个，绿球5个，任意摸出1个球是绿球的概率是号 求口袋里黄球的个数. 19.宁夏文旅为推广本地景点，制作了10张景点卡片，其中市内 景区5张：江南水街、宁夏博物馆、银川鼓楼、承天寺塔、海宝 公园，市外景区5张：西夏王陵、贺兰山岩画、沙湖、镇北堡西 部影城、六盘山国家森林公园.这些卡片背面完全相同.现将 这些卡片背面朝上，摆放在桌子上，工作人员从中随机抽取一 张进行详细介绍. (1)求抽到“西夏王陵”的概率； (2)求抽到公园的概率. 第3页（共6页） 20.投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏.下表记录 了一组游戏参与者甲的投壶结果 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率州 0.560.460.48 0.500.51 0.50 n 根据上表中的数据解答下列问题： (1)计算表中x,y的值； (2)随着投壶次数越来越多，估计甲投壶一次投中的概率.（结 果精确到0.1) 21.请你根据下列要求，分别设计一个摸球游戏： (1)任意摸出2个球，1个是黄球，1个是白球是必然事件； (2)任意摸出3个球，2个是黄球，1个是白球是随机事件. 22.如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的“雷 区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗 “地雷”.小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示 与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区 域)中埋藏着2颗“地雷”. (1)若小明在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，则 他踩中“地雷”的概率是 (2)若小明点完第一步之后，第二步踩在A区域外的小方格 上，求他踩中“地雷”的概率。 第4页（共6页） 23.如图，现有一个转盘被分成六等份.分别标有数字1,2,3,4， 5,6,自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出 的数字.（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是 (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是 3的倍数，则小明获胜；若不是3的倍数，则小亮获胜.这 个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由 24.在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜 色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中 任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀 (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸 球试验中，摸出白球的频率是 ； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑 球和白球的数量，使摸到白球的概率为： 第5页（共6页） 25.从背面相同的同一副扑克牌中取出9张红桃，10张黑桃，11 张方块 (1)将取出的这些牌洗匀背面朝上放在桌面上，求从中随机抽 出一张是红桃的概率 (2)若先从取出的这些牌中抽掉9张红桃和m(m>6)张黑桃 后，将剩下的牌洗匀背面朝上放在桌面上，再从桌面上随 机抽出一张牌. ①当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？ ②当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机 事件？并求出这个事件概率的最小值. 26.某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被 等分成16个扇形.商场规定：顾客每购买100元的商品，就能 获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好落在红 色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元 的购物券 (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是 (填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”). (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别 是多少？ (3)如果顾客获得一次转动转盘的机会，试判断：得到购物券 的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 第6页（共6页）