第一章 3 乘法公式-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

参考答案 第一章整式的乘除 1幂的乘除 第1课时同底数幂的乘法 基础过关 1.D2.D3.(x-y)4.-222s5.解：(1)原式=x+5=x。(2)原式=-a3+6=-a。 4+3+2 3)原式-() 所以4a”=64。所以a”=16。 9.6×10 能力提升 10.B11.C12.413.解：(1)337(2)因为(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,所以3 =5,30=6,3=30。所以3°×30=3+b=30=3。所以a十b=c。 弥 第2课时幂的乘方 基础过关 1.B2.A3.解：(1)原式=xm。(2)原式=3°。4.(1)25(2)275.32781 能力提升 6.D7.D【变式题】2008.解：(1)原式=x2·(-x)=-2。(2)原式=(x-y)·(y -x)°=(x-y)7。(3)原式=a如-4·aa+3=ar-4+3+3=aa-l。9.解：因为3x十5y=8,所 以8·32=23x·2y=21+5w=28=256。 【变式题】16 地 微专题利用幂的乘方法则比较大小 1.B2.<3.C4.< 第3课时积的乘方 基础过关 1.B2.B【变式题】1443.C4.505.解：(1)原式=9ab。(2)原式=16x8y。(3)原 0 式-xy。(40原式=-a*6.6.04d(22X5(3)4×25100127.(0)自 (2)125 能力提升 8.C9.解：(1)原式=-8x5十9x8十x=2x°。(2)原式=ab3m-2abm十abm=0。 10.解：(1)x”ymx”y”之”(2)①11②原式=0.252023×0.5202aX8223×0.25X0.52= (0.25×0.5×8)2023×0.25×0.52=0.25×0.52=0.0625。 线 第4课时同底数幂的除法 新知梳理 ①不变相减am-②1a≠0 1 ≠0 例题引路 【例1】解：(1)25a2 (2)b3 【例2】解：(1)原式=10-5-(-2”=10-3= 1 10 =0.001。(2)原式 =10-4×1=10-4= 101 =0.0001。 【例3】1.032×10-5 基础过关 1.C2.C3.664.25.解：1)原式=(-号)=-7。(2)原式=(x-y)÷(x 1 y)2=(x-y)3。 6.B7.(1)4(2)08.解：1)5-3=125。(2)2.1X10=0.00021。 3(-)-。 9.A10.4×10511.0.001293 第1页（共48页） 能力提升 12.A13.B14.A15.1616.解：9÷326=(32)÷326=32“÷326=32a-。因为10= 5=号，所以10÷10=20÷号=100，即10=10。所以a-6=2.所以9÷3=390 =34=81g 思维拓展 17.解：分以下3种情况：①当2x十3=1时，解得x=一1。所以x=一1符合题意：②当2x 十3=-1时，解得x=-2。此时x十2026=2024，则(2x十3)+22=(-1)2024=1，所以 x=-2符合题意：③当x十2026=0时，解得x=-2026。此时2x十3=一4049，则(2x十 3)r+226=(-4049)°=1，所以x=-2026符合题意。综上所述，当x=-1,或x=-2,或 x=-2026时，代数式(2x十3)+22的值为1。 2整式的乘法 第1课时单项式乘单项式 基础过关 1.D2.-6a33.解：(1)原式=-6x2y。(2)原式=-56a3b。(3)原式=5m3n·m2m2= 5mn3.4.D5.6a3 能力提升 6.C7.-36mr8.解：1)原式=[5×（是）×(-号)]·a+1·6·c= a6c。(2)原式=7a2.4a2十a·(-27a)=28a-27a=a。 5 9.解：原式=-12xy +5xy·4x2y=-12xy+20x2y=8x3y。当x=2,y=- 2时，原式=8×2×()】 =-8.10.解：yang8888。 第2课时单项式与多项式、多项式与多项式的乘法 新知梳理 ①分配律相加②相加 例题引路 【例1】解：(1)原式=2x·3x2十2x·(-x)+2x·(-5)=6x3-2x2-10x。(2)原式= 二4a6)+(4a6)·(—4a6)=-2a26+16ab6。【例2】解：D 3y)-7y(x+3y)=x2+3xy-7xy-21y2=x2-4xy-21y2。(2)原式=(2a-3b)(2a-3b) =2a(2a-3b)-3b(2a-3b)=4a2-6ab-6ab+962=4a2-12ab+9b2。 基础过关 1.A2.-3a3.(6a+4ab)4.解：(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-2)= 10x2y3+6xy2-4xy。(2)原式=4xy·(-3y)-2xy·(-3y)=-12xy+6xy。5.B 6.C7.(2a十b)(a十2b)=2a2+5ab+268.解：(1)原式=3.x2+6x十2x+4=3.x2+8x十 4。(2)原式=a3-ab十a6十a2b-a6十b3=a3十b3.9.解：原式=2x-x2十x2-x十x 1=2x-1。当x=2时，原式=2×2-1=4-1=3。 能力提升 10.D11.C12.21313.-7814.解：(1)(3b+a)(2a+b)=6ab+36+2a2+ab= 3b2+2a2+7ab(m2)。答：该基地现在的土地面积是(3b2+2a2+7ab)m。(2)增加的土地面 积是(3b+2a2+7ab)-2a·3b=3b2+2a2+7ab-6ab=3b+2a2+ab(m2)。当a=3,b= 2时，3b2+2a2十ab=3×22+2×32+3×2=12十18十6=36(m)。答：增加的土地面积是 36m2。 思维拓展 15.解：(1)8×10+1=81(2)观察等式左边的两个乘数：第1个是(1×2)×(2×2)+1，第 2个是(2×2)×(2×3)+1，第3个是(2×3)×(2×4)+1，…，第n个是(2n)×(2m+2)+1, 第2页（共48页） 等式右边的结果：第1个是32，第2个是5，第3个是72，第n个是(2n十1)，所以第n个等 式可表示为2n×(2n十2)+1=(2n十1)2。 3乘法公式 第1课时平方差公式的认识 新知梳理 0a2-b2平方差 例题引路 【例1】解：(1)原式=(2a十b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2。(2)原式=(-x)2-(2y)2= x2-4y2。【例2】解：原式=(x2-y2)(x2+y2)=x-y。 基础过关 1.A2.D3.D4.C5.66.解：(1)原式=52-a=25-a2。(2)原式=(2a十3b)(2a- 3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-96。(3)原式=(-0.1)2-(0.3x)2=0.01-0.09x2。(4)原式 =(叶子)(y子)=(-w-(合)=y-合。7.B 能力提升 8.D9.D10.B11.士4【变式题】812.解：(1)原式=(-m2n)2-3=mn-9。 (2)原式=(1-a2)(1十a2)=1-a。 思维拓展 13.解：原式=×(3-103+1)3+1D(3*+1D(3+1)(3+1D=号×(g-1D(3+ 1D3+D3+1D3+1D=合×(3-1D(3+1D(g+1D3+1D=合×(3-1D(g+ 1)(36+1)= 号×(3-1)(36+1)=31 2 第2课时平方差公式的运用 例题引路 【例1】解：(1)原式=(60-0.1)×(60十0.1)=602-0.12=3600-0.01=3599.99。(2)原 式=(100十8)×(100-8)=1002-82=10000-64=9936。【例2】解：(1)原式=2a2-ab -4ab+2b-(4a2-6)=2a2-ab-4ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+36。(2)原式=(x -4x)-(x2-9)=x2-4x-x2十9=-4x十9。 基础过关 1.B2.100021000223.B4.解：(1)原式=(30+1)×(30-1)=302-1= 900-1=899。(2)原式=(50十0.3)×(50-0.3)=502-0.3=2500-0.09=2499.91。 5.解：(1)原式=a2-4十3a-a2=3a-4。(2)原式=x2-y2-x2-2xy=-y2-2xyo 6.解：原式=a2十a-(a2-4)=a2十a-a2+4=a十4。当a=6时，原式=6十4=10。 能力提升 7.B8.D9.1310.解：原式=(4-a)(4+a)+(a+1)(a-1)=16-a2+a-1=15。因 为代数式的值是一个常数，所以它的值与a的取值无关。 思维拓展 11.解：【探究】(a+b)(a-b)=a2-b2【应用】(1)3(2)原式=20232-(2023-3)× (2023+3)=20232-(20232-32)=20232-20232十9=9。【拓展】原式=(100+99)× (100-99)+(98+97)×(98-97)+…+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)=199+195+ 十7十3=5050。 第3课时完全平方公式的认识 基础过关 1.(1)x2x2x2+4x+4(2)-m-m11m2-2m十1(3)-6ab(4)3 2.B3.D4.解：(1)原式=x2+2·x·(-3)十(-3)2=x2-6x十9。(2)原式=(5mn)2十 2·5mn…1十1=25mm+10mn+1。(3)原式=(-7)2+2·(-7)·7a+(7a）=49 第3页（共48页） -2a十0e。(4原式=(3m+2m)=(3m)+2·3m·2m+2m=9m+12mm十4r。 5.A6.A7.7或-1 能力提升 8.C9.1210.411.解：有。解法不唯一，如：(a-b十2c)2=[(a十2c)-b]2=(a十2c)2 2(a+2c)·b+b2=a2+4ac+4c2-2ab-4bc+b。或(a-b+2c)2=[a-(b-2c)]2=a2-2a (b-2c)+(b-2c)2=a2-2ab+4ac+b2-4bc+4c2.12.解：(1)9025(2)100a(a+1)+ 25(3)由(2)，易得(10a十5)2=100a(a+1)+25=25[4a(a+1)+1]=25(4a2+4a+1)。 因为a是1到9范围内的整数，所以4a2十4a十1是整数。所以100a(a十1)十25是25的倍 数，即可被25整除。 微专题巧用完全平方公式的变形进行计算【一题多变·贵州热点】 1.B2.1【变式题1】13【变式题2】-15士8 第4课时完全平方公式的运用 例题引路 【例1】解：(1)4982=(500-2)2=5002-2×500×2+2=250000-2000+4=248004。 2)(102)=(10+)=10+2×100×号+(2)=1000+10+=10100是 【例2】解：原式=[(2a+3b)-1][(2a十3b)+1]=(2a+3b)2-12=4a2+12ab+9-1。 基础过关 1.C2.(1)0.020.9604(2)1000210040043.解：(1)原式=(200-1)2=200 2×200×1+12=39601。(2)原式=(47-27)2=202=400.4.A5.a2-6.解： (1)原式=a2+4a十4-a2=4a十4。(2)原式=(4x2-9)2=16x-72x2+81.7.解：原式 =x2+6x+9-(x2+2x-3)=x2+6x+9-x2-2x十3=4x十12。当x=6时，原式=4×6 +12=36。 能力提升 8.B9.D10.411.解：(1)原式=(x+y)(x-y)(x2-y2)=(x2-y2)(x2-y2)=(x2- y2)2=x-2x2y2+y。(2)原式=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab十)(a-b)=a3-a2b-2ab +2ab2+ab-b=a-b-3a2b+3ab2 思维拓展 12.解：(1)(a-b)2(a十b)2-4ab(2)(a-b)2=(a十b)2-4ab(3)①因为a+b=5,ab= 5,所以(a-b)2+(a十2)(b+2)=(a+b)2-4ab十ab+2(a十b)+4=(a+b)2-3ab+2(a+ b)+4=52-3×5十2×5+4=25-15+10+4=24。②设2024-a=x,a-2023=y,所以 x十y=2024-a十a-2023=1。因为(2024-a)2十(a-2023)2=7,所以x2+y2=7。所 以(x十y)2-2xy=7。所以1-2xy=7。所以xy=-3。所以(2024-a)(a-2023)=-3。 方法技巧专题灵活运用乘法公式进行简便运算【回归教材】 1.(1)4a-62(2)9x2-12x十42.解：(1)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2。(2)原式= [-(mn+1)]=(mn+1)2=m2n2十2n十1。(3)原式=[(x+2y)(x-2y)]2=-(x2-4y)2 =x-8x2y2+16y。(4)原式=-[1-(m+n)][1+(m十n)]=-[12-(m十n)2]=-(1 -m2-2mn-n2)=-1+m2+2m十n2.3.解：(1)原式=(200-2)2-4=2002-2X200 ×2十22-4=40000-800+4-4=39200。(2)原式=2192-(219-1)(219+1)=2192 (2192-1)=2192-2192+1=1.4.解：(1)原式=[x2y2+1+(x2y2-1)][x2y+1 (x2y2-1)]=2xy2×2=4x2y2。(2)原式=2002-2×200×199+199=(200-199)2=1。 5.解：(1)原式=(m2-4)(m2-4)=(m2-4)2=m-8m2+16。(2)原式=(3x-y)(3x十 y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x-y。(3)原式=(3-1)(3+1)(3+1)(3+1) -3=(32-1)(32+1)(3+1)-38=(3-1)(3+1)-38=3-1-38=-1。 4整式的除法 新知梳理 ①系数同底数幂指数②每一项相加 第4页（共48页） 例题引路 【例1】解：1原式=4女y÷6xy=子.(2)原式=7。【例2】解：原式=3y÷ (-2y）-xy÷(2y)+2xy÷(-7xy）=-6x+2y-1。 基础过关 1.B2.3a3.434.解：(1)原式=-2abc。(2)原式=-3×10.5.A6.4b2-3 7.解：(1)原式=x3÷(-x2)-2x2y÷(-x2)=-x十2y。(2)原式=12a3÷3a-6a2÷3a十 3a÷3a=4a2-2a十1.8.D9.解：(1)原式=x3y2·8x3y°÷4x2y2=2xy。(2)原式= -4x5y2÷2x2y2=-2x3。 能力提升 10.C11.912.5413.解：(1)原式=4ab-2+3ab=7ab-2。(2)原式=(12x-8x3+ 4x2)÷4x2=12x÷4x2-8x3÷4x2+4x2÷4x2=3x2-2x十1。(3)原式=(4xy3-6x3y 十10x2y)÷(-xy)=-4x3y2+6x2y3-10xy。14.解：(1)完全平方公式(2)一括 号前为负号，去括号时括号内的第二项没有变号(3)原式=(a2-4ab十4b-a2十3ab)÷ (-b)=(-ab十462)÷(-b)=a-4b。当a=1,b=2时，原式=1-4×2=-7。 思维拓展 15.解：长方体的体积为3m·2m·m=6m3,圆柱的体积为π×m2×4m=4πm3。每个圆柱 形小瓶实际装液的体积为π×m2×2m×90%=1.8元m。所需小瓶的个数为(6m2十4πm2) ÷1.8πm≈3.28（个）。因为小瓶个数为整数，所以至少需要4个。 第一章章末复习 思维导图 am+aama”bam-n1 是a2-6a+2ab+6a-2ab+6 考点整合 1C2.A3C4解：原式=-1-号+1=-号。(2)原式=a+d+d-6d。 (3)原式=-8x+x-9x=-16x。5.解：1)22=2÷2=(2)÷2=3÷5=号。 9 (2)因为3×27“×81“=9，所以3X(33)X(34)“=(32)16,3“X3“X3“=332,3=32。 所以8a=32。解得a=4。所以a3-a=43-4=64-256=-192.6.D7.A8.2a2 +5ab+2b9.310.解：(1)原式=-12x3y2÷(-3y2)=4x3。(2)原式=(x3-2x2十3x -3x)÷x=2x-4.11.解：1)长方形喷泉的面积为(3a+46-2b)(a十2b-2b)=(3a +2b)a=3a+2ab(m)。(2)(3a2+2ab)÷2a=6a十4h(块)。答：需要这样的瓷砖(6a十 4b)块。12.D13.114.解：(1)原式=(2000-1)×(2000+1)=20002-1=4000000 -1=3999999。(2)原式=(99+1)×(99-1)=100×98=9800.15.解：(1)小玲说得 对。理由如下：(x十y一3)(x十y十3)一(2x十y)(y一4x)一x·4y=(x十y)2一9一(2xy一 8x2十y-4xy)-4xy=x2+2xy十y2-9-2xy+8x2-y2+4xy-4xy=9x2-9。经过化 简，知代数式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对。(2)由(1)，得原式=9x2-9。当 x=-2时，原式=9×(-2)2-9=27。 聚焦课标 16.解：(1)39(2)28(3)设CD=xm,AD=ym,则2(x+y)=120,所以x十y=60。由 题意，得x2+y2=2000。因为(x十y)2=x2十2xy十y,所以2xy=(x+y)2-(x2+y)= 60-2000=3600-2000=1600。所以xy=800。所以原有长方形用地ABCD的面积为 800m2。 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 新知梳理 ①相交平行②一 ③在同一平面内④相等⑤相等相等 第5页（共48页） 例题引路 【例1】50°【例2】解：因为∠BOC=∠AOC-∠1=90°-15°=75°，所以∠2=180°-∠BOC =180°-75°=105°。 基础过关 1.C2.D3.C4.C5.B6.∠1=∠3同角的余角相等7.解：设这个角的角度为 aα°。根据题意，得180一a=2(90一a)+40,解得α=40。则这个角的补角的度数为180°-40 =140°。8.40或80 能力提升 9.C10.D11.100°12.解：(1)∠BOD∠AOE(2)易得∠BOD=∠AOC=70°。因为 ∠B0D=∠B0E+∠EDD,∠B0E:∠E0D=2:3,所以∠B0E=号∠B0D=号X70- 28°。所以∠AO0E=180°-∠BOE=180°-28°=152°。13.解：因为∠BOM=∠DON, ∠B0M=∠A0N,所以∠A0N=∠DON=号∠A0D-之×56°=28”.因为∠C0N=90, 所以∠AOC=∠CON-∠AON=90°-28°=62°。14.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (5)4098600 第2课时垂直 新知梳理 ①直角垂线垂足⊥②有且只有一③垂线段 例题引路 【例1】解：因为∠EOF=90°，所以∠EOC+∠COF=90°。因为∠AOE=∠COF,所以∠EOC 十∠AOE=90°，即∠AOC=90°。所以OC⊥AB。【例2】> 基础过关 1.C2.32°3.C4.解：如图。 图① 图② 图③ 5.B6.B垂线段最短7.2cm8.50°或130° 能力提升 9.D10.30°11.解：(1)如图，PH为所求。(2)如图， CP为所求。 (3)PH<PO<OC垂线段最短12.解：(1)因为直线AB,CD相交于点O,∠BOC= AOC,所以∠AOC=3∠BOC。所以∠AOC+∠BOC=3∠BOC+∠BOC=180 ∠BOC=45°。所以∠AOD=∠BOC=45°。(2)OE⊥CD。理由如下：由(1)可知：∠AOD= 45°。因为OA平分∠EOD,所以∠EOD=2∠AOD=90°。所以OE⊥CD。 思维拓展 一D 13.解：(1)如图。 160°(2)如答图①，A0 B当OE在AB上方时。 D 答图① 因为OE⊥OD,所以∠DOE=90°。因为∠BOD=a,所以∠AOE=180°一∠DOE-∠BOD -D B =180°-90°-a=90°-a。如答图②， 当OE在AB下方时，因为OE⊥OD, 答图② 第6页（共48页）3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 【名师导学 ◆·预习先知 口基础过关 ◆逐点击破 回新知梳理 知识点用平方差公式进行运算 ①平方差公式：(a十b)(a-b)= 1.计算(3x-2)(3x十2)的结果是 两数和与这两数差的积，等于它们 A.9x2-4 B.9x2+4 的 C.6x2-4 D.9x2-12x-4 ②平方差公式的结构特征：左边：①二 2.(毕节期末)下列式子中，不能用平方差公式运算的是( 项式与二项式的积；②有一项相同， A.(2-a)(-a-2) B.(3x+2y)(2y-3x) 另一项互为相反数。右边：相同项 C.(4m-2n)(4m+2n) D.(x-3)(3-x) 的平方，减去互为相反数的项的 3.已知☐x2+1=(1一2x)(1十2x),则“口”处的数字为( 平方。 A.1 B.4 ☑例题引路 C.-1 D.-4 【例1】用平方差公式计算： 4.下列各式用平方差公式计算正确的是 (1)(b+2a)(2a-b); A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b (2)(-x+2y)(-x-2y)。 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2 【名师点拨】解题时，找准公式(a十b)(a一 C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 b)=a2-b2中的a和b,然后利用公式 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b 计算。 5.已知m十n=3,m一n=2,则m2-n2的值为 。 【学生解答】 6.运用平方差公式计算： (1)(5+a)(5-a): (2)(2a+3b)(-3b+2a); (3)(-0.1+0.3x)(-0.1-0.3x); 【例2计算：(x十y)(x-y)(x2+y)。 【名师点拨】观察式子的结构特征，连续 用平方差公式计算。 【学生解答】 4合(-3 第一章整式的乘除9 ?易错点利用平方差公式求式子中字母的 【思维拓展 ◆强化素养 值时考虑不全面而致错 13.类比探究新趋势小明在计算(2十1)(2十 7.若(x十m)(x-m)=x2-4,则m等于（ 1)(2+1)(28+1)(216+1)时是这样分析 A.2 B.±2 的：这个算式里面每个括号内都是两数和 C.±4 D.以上都不对 的形式，跟平方差公式类似，但是需要添加 口能力提升 DD 整合运用 两数的差，于是将算式乘(2一1)，并做了如 8.若等式( )(-3a+5b)=9a2-25b成 下的计算： 立，则括号内所填的代数式是 (2+1)(2+1)(24+1)(28+1)(216+1) A.3a+56 B.-3a+5b =(2-1)(2+1)(22+1)(2+1)(28+ C.3a-5b D.-3a-5b 1)(216+1)》 9.用平方差公式计算(a一b十c)(a+b一c),必 =(22-1)(22+1)(2+1)(28+1)(216+1) 须先变形，下列变形中，正确的是( =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1) A.[(a-c)-b][(a-c)+b] =(28-1)(28+1)(216+1) B.[(a+c)+bJ[(a+c)-b] =(216-1)(216+1) C.[(b+c)-a][(b-c)+a] =232-1。 D.[a-(b-c)][a+(b-c)] 请按照小明的方法计算： (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)。 10.已知(x一a)(+)的结果中不含字母x的 一次项，则(1一a)(一a一1)的值为 ( A.是 B-￥ C. D.- 11.整体思想新理念已知(2a十2b+1)(2a十 2b-1)=63,则代数式a+b的值为 【变式题】已知(a2+b2+1)(a2+b2-1)= 63,则代数式a2+b的值为。 12.计算： (1)(-m2n3+3)(-m2n3-3); (2)(毕节期末)(-a+1)(a+1)(a+1)。 10数学Ⅲ七年级下册(BS) 第2课时平方差公式的运用 【名师导学 ◆◆预习先知 基础过关 ●◆逐点击破 新知梳理 知识点1利用图形验证平方差公式 ①在计算两数积的时候，一般情况下， 1.(贵阳期末)如图，将边长为x的大正方形剪去一个边长为 可把两数相乘转化为(a十b)(a一b) 1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到 的形式，借助平方差公式运算。 两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这 ②在计算过程中灵活应用平方差公 式，可以使运算更简便。 两个图形能解释的一个等式是 ☑例题引路 A.x(x-1)=x2-x 【例1】简便计算： B.(x+1)(x-1)=x2-1 (1)59.9×60.1: C.(x-1)2=x2-2x+1 (2)108×92. D.(x+1)2=x2+2x+1 【名师点拔】(1)变成(60-0.1)×(60+ 知识点2利用平方差公式进行简便运算 0.1):(2)变成(100+8)×(100-8)，利 2.运用平方差公式计算： 用平方差公式计算。 【学生解答】 1002×998=( X )X( 10002 2=999996。 3.用简便方法计算40号×30}变形正确的是 A(40+号)〔39+号) B.(40+号(40号) c(0+号)(40-) D(40号)〔40) 4.运用平方差公式计算： (1)31×29; (2)50.3×49.7。 【例2】计算： (1)(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a); (2)x(x-4)-(x十3)(x-3) 【名师点拨】在计算过程中要善于观 察，思考能否运用平方差公式，使计算 更简便。 知识点3平方差公式的灵活运用 【学生解答】 5.计算： (1)(2025·兰州中考)(a十2)(a-2)十a(3-a); (2)(2025·毕节期末)(x-y)(x+y)-x(x+2y)。 第一章整式的乘除11 6.(2025·盐城中考)先化简，再求值：a(a+1)- 【思维拓展 ♪>强化素养 (a+2)(a-2),其中a=6。 11.【探究】如图①，边长为a的大正方形中有 一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影 部分拼成一个长方形（如图②所示），通过 观察比较图②与图①中的阴影部分面积， 可以得到乘法公式 (用含a,b的等式表示) 图① 图② 能力提升 ◆·整合运用 【应用】请应用这个公式完成下列各题： 7.利用平方差公式计算20262-2027×2025 (1)已知4m2=12+n2,2+n=4,则2m 的结果是 ) n的值为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 (2)计算：2023-2020×2026； 8.为了美化城市，经统一规划，将一块正方形 【拓展】 草坪的南北方向增加5m,东西方向减少 计算：1002-992+982-972+…+42-32+ 5m,则改造后得到的长方形草坪与原正方 22-12。 形草坪的面积相比，结果是 ) A.保持不变 B.增加了10m C.增加了25m D.减少了25m 9.整体思想新理念已知(x十2)(x一2)一2x= 1,则2x2-4x+3的值为 10.逻辑推理新趋势试说明：代数式(4一a)(a十 4)+(a+1)(-1+a)的值与a的取值 无关。 12数学Ⅲ七年级下册(BS) 第3课时 完全平方公式的认识 【基础过关 ◆◆逐点击破 知识点2用图形验证完全平方公式 知识点1用完全平方公式进行运算 5.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释 1.根据完全平方公式填空： （x-1)2=x2-2x+1的是 （1)(x+2)2=( )2+2·()·( ) ( )2 (2)(-m+1)2=( )2+2·( B ()+()2= 6.(2025·贵阳期未)如图，小星用如图①所示 (3)(a-3b)2=a2+ +9b2; 的四张长方形纸片，拼成了如图②所示的一 (4)a2-6a+9=(a-)2。 个正方形，该正方形可直观地表示a十b,a 2.计算(a一1)2正确的是 b与ab之间的关系，则这个关系是( A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1 3.计算(x十3)的结果为x□x十9，则“☐”中的 数为 ( 图① 图② A.-3 B.+3 C.-6 D.+6 A.(a+b)2-(a-b)2=4ab 4.计算： B.(a+b)2-(a-b)2=2ab (1)(x-3)2; C.(a+b)2-(a-b)2=-2ab D.(a十b)2-(a-b)2=-4ab ?易错点利用完全平方公式求字母的值 时，考虑不全面导致漏解 (2)(5mn+1)2; 7.(黔东南期末)若x2+2(m-3)x十16是完全 平方式，则m的值为 口能力提升 >·整合运用 8.若(x十m)2=x2-6x十n,则m,n的值分 (3)(-7+7a 别为 ( ) A.3,9 B.3,-9 C.-3,9 D.-3,-9 9.(教材P21随堂练习T2变式)已知m-n 2,则代数式3m2+3n2-6mn的值为 10.整体思想新理念如图，C是 (4)(-3m-2m)2。 线段AB上的一点，以AC, BC为边在AB的两侧作正 方形。若AB=6,两个正方 形的面积和S,十S2=20,则图中阴影部分 的面积为 第一章整式的乘除13 11.(教材P25习题T13变式)课堂上，老师出12.阅读理解新趋势速算的秘密：“速算”是指 了这样一道题：计算(a一b十2c)2。 在特定情况下用特定的方法进行快速计 小明的解法是： 算，有很强的技巧性。观察： (a-b+2c)2 152=1×(1+1)×100+25=225; =[(a-b)+2c]2 25=2×(2+1)×100+25=625; =(a-b)2+2(a-b)·2c+(2c)2 352=3×(3+1)×100+25=1225。 =a2-2ab+b2+4ac-4bc+4c2。 (1)直接写出结果：952= ； (2)发现如下速算规律：十位数字是a(a是 你还有其他解法吗？试一试吧！ 1到9范围内的整数)，个位数字是5的 两位数的平方等于 （用含有a 的代数式表示)； (3)小丽发现上面这些结果都可以被25整 除，请用所学的代数式知识解释其中 原理。 微专题 巧用完全平方公式的变形进行计算【一题多变·贵州热点】 名师点拨：由(a士b)2=a2十b2士2ab变形易得： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: a+6=2[a+b2+(a-0]: ab=[a+b)-(a-0]: (a+b)2-(a-b)2=4ab。 利用完全平方公式及其变形，在a2十b,ab,a十b,a一b四个量中，已知其中两个量，可求出其余两个量。 1.(六盘水月考)设(5a十3b)2=(5a-3b)2十A,则A表示的代数式是 A.30ab B.60ab C.15ab D.12ab 2.(毕节期未改编)已知x十y=5且xy=6,则(x一y)2的值为 【变式题1】已知(a十b)2=5,ab=-2,则(a-b)2的值为 【变式题2】已知x2+y2=34,x十y=2,则xy的值为 ,x一y的值为 14数学Ⅲ七年级下册(BS) 第4课时完全平方公式的运用 【名师导学 预习先知 基础过关 ●·逐点击破 新知梳理 知识点1运用完全平方公式进行简便计算 ①应用完全平方公式进行特殊数值的1.将9.5变形正确的是 平方的简便运算，可将一个数拆分 A.9.52=92+0.5 成两个容易计算平方的数的和或差 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) 的平方。 C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 ②综合应用平方差公式与完全平方公 D.9.52=92+9×0.5+0.5 式也可简化计算。 ☑例题引路 2.计算： 【例1】计算： (1)0.982=(1 (1)4982; (2)1002=( 112 (2)(1002)· 3.计算： (1)199; (2)472-94×27+272。 【名师点拨】将底数看作一个整十、整 百、整千数与一个较小数的和或差，运 用完全平方公式计算。 【学生解答】 知识点2与完全平方公式有关的综合运算 4.与式子(a-b+c)(-a+b-c)相等的式子是 A.-(a-b+c)2 B.c2-(a-b)2 C.(a-b)2-c2 D.c2-a+b2 5.计算：(a-b)2+2ab-2b= 6.计算： (1)(a+2)2-a2; (2)[(2x十3)(2x-3)]。 【例2】计算：(2a+3b-1)(1+2a+ 3b)。 【名师点拨】将2a十3b看作一个整体， 先用平方差公式计算，再用完全平方 公式计算。 7.先化简，再求值：(x十3)2一(x一1)(x十3)，其中x=6。 【学生解答】 第一章整式的乘除15 口能力提升 >◆整合运用 形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请 8.(2025·毕节期末)若a为任意整数，则(a 解答下列问题： 8)2-(a+2)2的值总能 ( A.被25整除 B.被20整除 C.被16整除 D.被9整除 图① 图② 9.如图，在长为3m十2m,宽为3m-2m的长方 (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影 形铁片上，挖去边长为2(m一n)的小正方形 部分的面积： 铁片，则剩余部分的面积为 ( 方法1： A.5m2 3m+2n 方法2： B.5m2+8mn 3m-2n (2)观察图②，请你写出(a十b)2,(a-b)2, C.5m2-8mn 2(m-n) ab之间的等量关系是 D.5m2+8mn-8n2 (3)结合以上信息，灵活运用公式，解答如 10.整体思想新理念已知2a2一a一3=0，则 下问题： (2a+3)(2a-3)十(2a-1)2的值是。 ①已知a+b=5,ab=5,求(a-b)2+ 11.计算： (a+2)(b+2)的值； (1)(x+y)(x2-y2)(x-y): ②已知(2024-a)2+(a-2023)2=7, 求(2024-a)(a-2023)的值。 (2)(a-b)3. 【思维拓展 ◆强化素养 12.(贵阳期末)通常，用两种不同的方法计算 同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。 数学活动课上，老师展示了如图①的长方 形纸片，它是一个长为2a,宽为2b的长方 形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方 16数学Ⅲ七年级下册(BS) 方法技巧专题 灵活运用乘法公式进行简便运算【回归教材】 类型1直接运用公式 (2)2192-218×220. 1.计算：(1)(2a-b)(b+2a)= (2)(-3.x+2)2= 类型2变形后运用公式 名师点拨：变形后可运用乘法公式的常见形式： ①位置变化： (a+b)(-b+a)=a2-b2;(-a+b)2=a2+b2-2ab; 类型3逆向运用公式 ②符号变化： 4.计算： (-a-b)(a-b)=b2-a2;(-a-b)2=a2+b2+2ab; (1)(x2y2+1)2-(x2y2-1)2; ③增项变化： (a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]= (a+b)2-c2。 2.计算： (1)(-x+2y)(-x-2y); (2)2002+1992-400×199。 (2)(-mn-1)2; 类型4多次运用公式 5.(教材P25习题T10(2)变式)计算： (1)(m-2)(m+2)(m2-4); (3)(x+2y)2(x-2y)2; (2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y); (4)-(1-m-n)(1+m+n)。 (3)2(3+1)(32+1)(3+1)-38。 3.(教材P30复习题T8变式)用简便方法计算： (1)1982-4; 第一章整式的乘除17