5.3.1利用导数研究函数的单调性（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

5.3 导数的应用 第五章 导数及其应用 5.3.1 利用导数研究函数的单调性 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 3 通过具体的函数，并借助几何直观，了解函数的单调性与导数之间的关系. 能利用导数研究函数的单调性，能求函数的单调区间. 通过运用导数判断函数值增长速度的快慢，体会导数在描述函数局部特征时的量化作用. 在对函数的研究中，单调性与极大（小）值、最大（小）值是重要的主题之一. 1 复习回顾 思考：在之前的学习中，我们如何用定义判断函数的单调性？ 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集. y x o a b 探究：观察下列函数图像，探讨函数的单调性与其导数的关系. 2 探究新知 函数图像 单调性与导数 x y O 函数在R上 x y O 在(-∞, 0)上 在(0, +∞)上 x y O 在(-∞, 0)上 在(0, +∞)上 2 探究新知 函数的单调性研究的是在一个区间内函数是否严格增或严格减，即函数值是否随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小.导数是函数的瞬时变化率，反映了在自变量发生变化的瞬间，函数值随之发生的增减变化，因此，导数是研究函数单调性的最佳工具. f (x)>0 f (x)<0 3 新知讲授 定理 在区间I上，若 f (x)>0，则函数y=f (x)在该区间严格增；若 f (x)<0，则函数y=f (x)在该区间严格减 . 在导数值都存在的情况下，导数值由正变负或由负变正的过程中会出现导数等于零的点，即函数的驻点。 要把函数的单调增区间和单调减区间划分出来，就要先找到函数的驻点. 找到驻点后，再看驻点两侧导数值的正负是否发生变化，如果发生变化了，此驻点就成为单调增区间与单调减区间的分界点. 例1 已知 f (x)=x2－4x+2，求函数 y=f (x) 的单调区间. 解：先求函数的驻点： f (x)=2x－4， 令 f (x)=0 ，解得 x = 2 . 此函数只有一个驻点 . 当x > 2时，f (x) > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当x < 2时，f (x) < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(2,+∞)，单调减区间为(－∞,2) . 4 举例应用 x 2 f (x) 例1 已知 f (x)=x2－4x+2，求函数 y=f (x) 的单调区间. 解：当x > 2时，f (x) > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当x < 2时，f (x) < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(2,+∞)，单调减区间为(－∞,2) . 4 举例应用 你能用二次函数的相关知识验证这个这个结论吗？ x y O x = 2 例2 已知 f (x)=x3+x2－x－1，求函数 y=f (x) 的单调区间. 解：对函数求导，得 f (x)=3x2+2x－1， 令 f (x)=0 ，解得 x1 = －1，x2 = . 此函数有两个驻点 . 当x < －1或 x > 时，f (x) > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当－1< x < 时，f (x) < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(－∞,－1)及(,+∞)， 单调减区间为(－1,) . 4 举例应用 x －1 f (x) 例3 已知 f (x)=x3，求函数 y=f (x) 的单调区间. 解：对函数求导，得 f (x)=3x2， 令 f (x)=0 ，解得 x = 0. 此函数只有x = 0这一个驻点 ， 但 f (x) ≥ 0恒成立，驻点两侧导数值的正负没有发生变化. 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(－∞,+∞). 4 举例应用 x 0 f (x) 该驻点不是单调区间的分界点. 此例说明 f (x) > 0并不是函数在一个区间上严格增的必要条件. 有时驻点并不是单调增区间与单调减区间的分界点. 例4 已知 f (x)=x－2，求函数 y=f (x) 的单调区间. 解：对函数求导，得 f (x)=－2x－3， 令 f (x)=0 ，方程无解. 此函数没有驻点 ， 但 当x > 0时，f (x) < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 当x < 0时，f (x) > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(－∞,0)，单调减区间为(0,+∞) . 4 举例应用 有时也要注意函数没有定义的点，这样的点也可能成为单调增区间与单调减区间的分界点 . 单调区间的分界点恰是该函数没有定义的点. 除此之外，导数值还可用以判断函数变化速度的快慢：导数 f (x0)是曲线y=f (x)在点(x0, f (x0))处的切线的斜率，它描述了曲线y=f(x)在点(x0, f (x0))附近相对于x轴的倾斜程度： 当f (x0)>0时，f (x0)越大，曲线y=f (x)在点(x0, f (x0))附近相对于x轴倾斜程度越大，函数值y=f (x)递增得越快； 当f (x0)<0时，f (x0)越小，曲线y=f (x)在点(x0, f (x0))附近相对于x轴倾斜程度越大，函数值y=f (x)递减得越快. 总之，导数的绝对值越大，函数图像就越“陡峭”，也就是函数值的变化速度越快. t4 y t3 O • • x • l3 l4 t1 t0 • • t2 • l2 l1 l0 3 新知讲授 4 举例应用 例5 已知在区间(0,1)上f (x)>1. 在如图所示的图像中，哪些有可能表示函数y=f (x)？为什么？ 解：在区间上(0,1)上，因为f (x)>1，所以函数图像中每一点处切线的斜率都应大于1. 在图中，由观察可知: 图 (1)中的曲线越来越“陡峭”，在区间(0,1)上各点处的切线斜率始终大于1； 4 举例应用 解：图 (2)中的曲线由“陡峭”变得“平缓”, 在区间(0,1)的右半段的切线斜率小于1； 图(3)中的曲线由“平缓”变得“陡峭”, 在区间(0,1)的左半段的切线斜率小于1； 图(4)中的曲线越来越“平缓”, 在区间(0,1)上各点处的切线斜率始终小于1. 因此，只有图(1)中的图像有可能表示函数. 5 巩固练习 利用导数研究下列函数的单调性，并说明所得结果与你之前的认识是否一致: 1 解：(1) 对函数求导，得 y = ex， 因为y  ≥ 0恒成立， 因此，函数 y = ex 的单调增区间为(－∞,+∞). 5 巩固练习 利用导数研究下列函数的单调性，并说明所得结果与你之前的认识是否一致: 1 解：(2) 函数 y = lnx 的定义域为(0,+∞) 对函数求导，得 y = ， 因为当x > 0时，y  > 0 恒成立， 因此，函数 y = lnx的单调增区间为(0,+∞). 5 巩固练习 利用导数研究下列函数的单调性，并说明所得结果与你之前的认识是否一致: 1 解：(3) 对函数求导，得 y=2ax+b， 令y=0 ，解得 x = , 此函数只有一个驻点 . 当a > 0时，当x > 时，y > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当x < 时，y < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 故函数 y=f (x) 的单调增区间为(,+∞)，单调减区间为(－∞,) . x y  5 巩固练习 利用导数研究下列函数的单调性，并说明所得结果与你之前的认识是否一致: 1 解：(3) 对函数求导，得 y=2ax+b， 令y=0 ，解得 x = , 此函数只有一个驻点 . 当a < 0时，当x < 时，y > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当x > 时，y < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 故函数 y=f (x) 的单调增区间为(－∞,)，单调减区间为(,+∞). x y  5 巩固练习 确定下列函数的单调性: 2 解：(1) 对函数求导，得 y = ex+xex = ex (x+1) ， 令y=0 ，解得 x = , 此函数只有一个驻点 . 因为 ex > 0， 当x > 时，y > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当x < 时，y < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 故函数 y = xex的单调增区间为(－1,+∞)，单调减区间为(,－1). 5 巩固练习 确定下列函数的单调性: 2 解：(2) 对函数求导，得 y = 12x2－9x+6 = 6(x－1)(2x－1) ， 令y=0 ，解得 x1 = ，x2 = , 此函数有两个驻点 . 当x < 1或 x > 时，y > 0，函数 y=f (x) 严格增 ; 当－1< x < 时，y < 0，函数 y=f (x) 严格减 , 因此，函数 y=f (x) 的单调增区间为(－∞,1)及(,+∞)， 单调减区间为(1,) . x 1 y 课堂小结 导数与函数的单调性 素养方法 逻辑推理、数学运算、数学抽象. 6 导数的大小与函数的变化 定理 在区间I上，若 f (x)>0，则函数y=f (x)在该区间严格增；若 f (x)<0，则函数y=f (x)在该区间严格减 . 导数的绝对值越大，函数图像就越“陡峭”，也就是函数值的变化速度越快. 补充强化练 7 1．已知函数y=f(x)，定义域为R. 任取x0∈R，导函数f (x0)始终存在.那么f (x)≥0是y=f(x)在R上是严格增函数的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要. B 补充强化练 7 2．(多选)若函数 f (x)=x3－x+3在区间(k－1, k+1)上不单调，则实数k的可能取值是（ ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 CD 补充强化练 7 3．已知 f (x)=ex－ax－3，当x>1时，讨论函数 y=f (x) 的单调性. 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 $