5.3导数的应用（第1课时）利用导数研究函数的单调性（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 5.3导数的应用（第1课时） 利用导数研究函数的单调性 1 研究函数时 ， 单调性与极大 （ 小 ）、 最大 （ 小 ） 值是重要的主题 ， 但限于初等数学所能提供的工具 ， 在很多常见函数面前 ， 我们还是常常束手无策 ． 而导数则为我们研究函数的这些性质提供了通用和便捷的手段 ． 本章引入的定理大多需要更高深的高等数学知识才能证明 ． 但同学们可以借助熟悉的函数 （ 如二次函数 ） 验证这些结论的合理性 ． 函数的单调性问题研究的是在一个区间内函数严格递增还是严格增减的问题 ， 即函数值是随着自变量值的增加而增加 ， 还是随着自变量值的增加而减少的问题 ． 导数是函数的瞬时变化率 ， 反映了自变量发生变化的瞬间 ， 函数值随之发生的增减变化 ， 因此 ， 导数是研究函数单调性的最佳工具 ． 特别地 ， 从导数的正负就可以直接判断函数的单调性 ： 在导数值都存在的情况下 ， 导数值由正变负或由负变正过程中会出现导数等于零的点 ， 即函数的驻点 ． 因此 ， 要把函数的严格递增区间和严格递减区间划分出来 ， 找到函数的驻点是先决步骤 ． 找到驻点后 ， 再看驻点两侧导数值的正负是否发生变化 ， 如果发生变化了 ， 此驻点就成为严格递增与严格递减区间的分界点 ． 解 　 先求函数的驻点 解得x ＝２． 此函数只有一个驻点 ． 当 x＞２ 时 ，f′（ x ） ＞０ ， 函数 f（ x） 严格递增 ； 当 x ＜２ 时 ，f′（ x） ＜０ ， 函数 f（ x ） 严格递减 ． 因此 ， 函数f（ x ） 的严格递增区间为 （ ２ ， ＋∞ ）， 严格递减区间为 （ － ∞ ， ２ ） 注意 ， 有时候驻点并不是严格递增与严格递减区间的分界点 ． 所以此函数在 x＝０ 时有唯一的驻点。但是 ，由于f′（ x ）≥０永远成立 即驻点两侧导数值的正负没有变化 ， 因此驻点不是单调区间的分界点 ． 此函数的严格递增区间为 （ －∞，＋ ∞ ） 我们也要注意函数没有定义的点 ， 这样的点也可能成为严格递增区间与严格递减区间的分界点 ． 方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格递减区间为（０，＋∞） 上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是函数值变化速度越快 ． 例5.在区间 （ ０ ， １ ） 上 ， 已知f′（ x ） ＞１ 。 在图 ５-３-１ 所 示的图像中哪些有可能表示函数 y＝ f（ x ） ？ 为什么？ 图 ５-３-１ 解 　 在区间 （ ０ ， １ ） 上 ， 因为f′（ x ） ＞１ ， 所以函数图像每一点处切线的斜率都应大于 １． 观察可知 ， 图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ x ） 课本练习 宋老师数学精品工作室 １． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你之前的认识是否一致 ： ２． 确定下列函数的单调区间 ： 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）