专题02 利用导函数研究单调性（7大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（沪教版2020选择性必修第二册）

专题02 利用导函数研究单调性 目录 【题型一 已知函数在区间上单调】 2 【题型二 已知函数在区间上存在单调区间】 4 【题型三 已知函数在区间上不单调】 7 【题型四 含参问题讨论单调性（一次型）】 10 【题型五 含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）】 13 【题型六 含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）】 18 【题型七 利用单调性构造函数比较大小】 23 一、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则 （3）已知函数在区间上不单调，使得（其中是变号零点） 二、含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 【题型一 已知函数在区间上单调】 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高二下·内蒙古兴安盟）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据函数在区间上单调递增，得到函数在上成立，再由题意即可得出的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上函数，所以 设，， 函数在区间上单调递增， 所以只需即可. 故答案为：. 3．（23-24高二下·北京）已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】． 【知识点】由函数的单调区间求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】将函数在上单调递减转化为在上恒成立,然后分离参数转化为最值问题来解决. 【详解】由题意得， 函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴， ∴， 故实数a的取值范围是， 故答案为：． 4．（23-24高二下·湖北武汉）已知函数在上为增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】导数的运算法则、由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】函数在某个区间上为增函数的等价形式为：在区间上恒成立，再利用参变分离的方法构造新函数，运用导数求其极值与最值即可. 【详解】函数在上为增函数， 恒成立， 令 ， 单调递减； 单调递增； 可得时，函数取得极小值，即： ，解得：， a的取值范围是：. 故答案为：. 5．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在区间上单调递减.则实数a的最大值为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】转化为导数恒成立，然后参变分离，利用导数求函数的值域即可得解. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以，所以的最大值为. 故答案为：. 【题型二 已知函数在区间上存在单调区间】 1．（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为， 而时，函数存在单调减区间， 所以在有解， 即有解， 因为，所以，即在有解， 又因为，所以，所以． 故答案为： . 2．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则. 故答案为： 3．（23-24高二下·天津和平）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】函数存在减区间，则有解可求解． 【详解】由题可知， 因为函数存在减区间，则在上有解， 即有解， 令，， 令，解得；令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 因为有解，所以， 解得． 故答案为： 4．（23-24高二上·广东惠州）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，问题转化为，而求出最小值，从而求出a的范围即可． 【详解】，在内成立，所以， 由于，所以，，所以． 故答案为: 5．（23-24高三下·河北保定·阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题 【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围． 【详解】，则， 函数在区间上存在减区间， 只需在区间上有解， 又，则，所以在区间上有解， 所以，， 令，，则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递增，所以，即，所以， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：通过求的导函数，再将题中条件转化为一元二次不等式（含参）在某区间上的有解问题，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性是解答此题的关键． 【题型三 已知函数在区间上不单调】 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】先求得函数的导函数，并令，即可讨论与两种情况，结合在上不单调及零点存在定理即可求得的取值范围. 【详解】函数， 则， 记， ∵在上不单调， 当时不满足； 当时，对称轴为，， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了导函数在函数单调性中的应用，构造函数法与零点存在定理的综合应用，属于中档题. 2．（2024·山东临沂·一模）函数在上不单调的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由函数的单调区间求参数 【解析】根据函数解析式求得导函数，构造函数，由函数在上不单调可知在上有实数根，结合二次函数性质可求得的取值范围.根据充分不必要关系，即求得其一个子集即可. 【详解】函数， 所以， 令，因为函数在上不单调， 即在上有实数根， 当时，显然不成立， 当时，只需， 解得或， 即，它的充分不必要条件即为一个子集. 结合四个选项可知A为其一个子集， 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数的单调性，根据单调性求参数的取值范围，充分必要条件的应用，属于中档题. 3．（23-24高二下·吉林白山）已知函数在上不单调，则整数a的一个取值可能是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，由题意可知在上有变号零点，结合解方程即可确定答案. 【详解】由题意函数，则， 因为函数在上不单调， 故在上有变号零点 即在上有根， 由此可知当整数时，， 此时当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上不单调， 故答案为：1（答案不唯一） 4．（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数解析式，利用导数判断出函数单调区间，根据题意可得,即可得实数的取值范围为 【详解】由可知，其定义域为， 则， 易知当时，；当时，； 即函数在单调递减，在上单调递增； 若函数在区间上不单调，则需满足， 解得； 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨）设，若函数在区间不单调，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】由题意判断得在区间存在极值点，求解导函数，判断单调性，从而得极值点，列关于的不等式求解. 【详解】函数的定义域为，由题意， 在区间存在极值点， ， 时，；当时，； 当时，，所以函数在上单调递增， 在上单调递减，所以的极大值点为， 所以，得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【题型四 含参问题讨论单调性（一次型）】 1．（2024高二·上海·专题练习）已知． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，得到方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以在点处的切线斜率， 所以所求切线方程为，即. （2）由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，由，则，若，则， 所以在单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，函数在上单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 2．（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1). (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）依据题意求出切点，再利用导数的几何意义求出斜率，再得出切线方程即可. （2）利用导数含参讨论单调性即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式直线方程求解即可. （2）求出导函数，根据和分类讨论，结合二次不等式求解单调区间即可. 【详解】（1）当时，函数， 得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； （2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1），讨论或判断的单调性； 【详解】（1）， 当时，在恒成立，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 5．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，分、和三种情况，利用导数判断函数单调性； 【详解】（1）. 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 【题型五 含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）】 1．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，和四种情况，解不等式，求出函数单调性； 【详解】（1），， 又， 故在处的切线方程为， 即； （2），定义域为， ， 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 2．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义与导数的四则运算，依次得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围得到的单调区间，从而得解. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解得， 又，， 所以，解得， 综上，，. （2）易知的定义域为，， 令，得，， 当，即时，， 令，得，令，得， 故单调减区间为，单调增区间为； 当，即时， 令，得或，令，得， 故单调增区间为，，单调减区间为； 当，即时，恒成立，且只有在时，导函数为0， 所以的单调增区间为； 当，即时， 令，得或，令，得， 故单调增区间为，，单调减区间为； 综上，当时，单调减区间为，单调增区间为 当时，单调增区间为，，单调减区间为 当时，的单调增区间为 当时，单调增区间为，，单调减区间为 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程； （2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解． 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导后，分和讨论即可； 【详解】（1）由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导可得，分，，，四种情况讨论，可得函数的单调性； 【详解】（1）由题意得， 若，则在上单调递减，在上单调递增． 若，令，得或， 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【题型六 含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）】 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）由题意得，函数定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减. 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. 2．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出导函数，根据分类讨论求函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系； 【详解】（1）由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案. （2）求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）由于，则， 点在上， 故； 又，则， 则，解得或； （2）由题意得的定义域为， 则， 令， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，的根为， 由于，即， 当或时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增； 4．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值点为1，无极大值点. (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值点 【分析】（1）求出函数的导数，再求出导函数的变号零点即可得解. （2）由，讨论的解的情况，进而讨论求出的单调区间. 【详解】（1）当时，函数， 求导得， 由，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值点为1，无极大值点. （2）由， 求导得， 令，， 当时，，恒成立，，在上单调递增； 当时，，方程的解为， 若，即，则， 当时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和， 递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 5．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得； （2）将函数求导，从导函数对应方程根的判别式入手，就参数的范围进行分类讨论，即得原函数的单调性； 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． （2）因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． 【题型七 利用单调性构造函数比较大小】 1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知（其中e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导分析单调性可得； 【详解】由，令 则，可得单调递减， 又可得，则， 综上可得， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够发现，进而相似构造函数. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由已知等式变形可得出，，构造函数，利用导数分析函数的单调性，数形结合得出、、的大小关系. 【详解】因为，，则，， 可得，即，，即， 由可得，则， 构造函数，其中，， 由，可得，由，可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 由上可知，，则， 由于，，则，， 所以，，所以，即， 如下图所示：    由图可得， 故选：B. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是上的减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，借助导数研究其单调性，可得，构造函数，借助导数研究其单调性，可得，再由的单调性即可得. 【详解】设， 则，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，则，所以． 设，则． ，计算并列表如下． 的范围或取值 1 0 又，所以，所以． 由上可知，又单调递减， 所以，即. 故选：C． 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、由幂函数的单调性比较大小 【分析】首先通过数值放缩判断与及与的大小关系，然后构造函数， 利用导数研究函数的单调性，借助函数单调性判断与的大小关系. 【详解】因为，所以； 因为函数单调递增，，所以，即，则，所以； 构造函数，则， 令，则， 显然在上单调递增，所以， 故在上单调递增，所以，所以在上单调递增， 从而，故有，整理得， 所以，故． 故选：B 5．（23-24高二下·浙江杭州）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据给定条件，构造函数利用导数确定单调性，进而比较函数值大小. 【详解】依题意，， 令，则，在上单调递增， 则，即，因此，即； 令，则当时，，函数在上单调递增， 则，因此，即.2，即， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，求导可证，可得，令，求导可证，可得，可得结论. 【详解】令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以，当且仅当时取等号， 当时，，所以， 令，求导可得， 当时， ，所以在上单调递增， 当时， ，所以在上单调递减， 所以，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 二、填空题 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）若 在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可得在上恒成立，利用可得的取值范围. 【详解】∵，∴. ∵ 在上单调递减，∴在上恒成立， ∴，解得. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求，根据条件可得和4是的根，即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 7．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出，将问题转化为在恒成立即可求解》 【详解】由题可得 即， 因为函数在单调递增，所以在上恒成立， 因为当时，，则在上恒成立， 则，因为时，，所以， 综上，的取值范围为； 故答案为： 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导，根据在上恒成立，即可结合二次函数的性质求解. 【详解】根据题意，， 在上单调递增， 在上恒成立， 令，，则可写为，， 根据题意在上的最小值非负， 解得. 故答案为： 9．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数在内单调递增，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据导函数的正负性与函数单调性的关系，问题转化为在内恒成立，然后常变量分离，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】，所以问题转化为在内恒成立，即， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 因此，所以的最小值为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数在区间上的单调性求参数，一般是通过常变量分离法进行构造函数，利用导数的性质求出新函数的最值，进而求出参数的取值范围. 10．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意转化为恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】由，得，恒成立， 所以，，恒成立，即，即， 得. 故答案为： 三、解答题 11．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，则由得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 12．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知. (1)当时，过原点作函数的切线，求切线的方程； (2)讨论函数的导函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线点斜式方程即可求解； （2）对函数求导，并对的取值进行分类讨论即可求得函数的单调性； 【详解】（1）当时，，， 设切点为，切线方程为 因为切线过原点，所以，即，解得； 所以，因此； 即切线方程为； （2）易知， 令，则， ①当时，，则在上递减； ②当时，令，可得； 所以在区间上单调递增，在上单调递减； ③当时令，即； 所以在区间上单调递减，在上单调递增. 13．（2025·陕西渭南·一模）已知，函数． (1)讨论的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 14．（2024·广东韶关·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解； 【详解】（1）， 当时，，， 当时，，， 函数在处的切线方程为； （2）函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若，则；若，则， 所以在单调递减，在单调递增； ②当时，， 令，则或， （ⅰ）当，即时， 若，则或；若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当，即时，恒成立，在上递增； （ⅲ）当，即时， 若，则或，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 15．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1)极小值0，无极大值． (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、导数新定义 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； 【详解】（1）函数，， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. （2）由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 16．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先对函数求导，然后在函数的定义域内讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【详解】（1）， ①当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ②当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为； ③当时，的递增区间是，无减区间； ④当时，当时，时，， 所以的递增区间是，递减区间为. 综上，当时，的递增区间是（），递减区间为； 当时，的递增区间是，递减区间为； 当时，的递增区间是，无减区间； 当时，的递增区间是，递减区间为. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）在时，对函数求导后分解因式，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性； 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． 18．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)若函数存在一条对称轴，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】函数对称性的应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据题意结合对称性的定义运算求解即可； （2）求导，分类讨论的符号，利用导数求的单调区间. 【详解】（1）因为函数， 所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为， 所以， 即， 所以，故， 当且仅当时上式恒成立，故. （2）由题意， 当时，有且， 所以，故的单调减区间为； 当时，令， 且当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调或区间为； 综上，当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用导函数研究单调性 目录 【题型一 已知函数在区间上单调】 2 【题型二 已知函数在区间上存在单调区间】 2 【题型三 已知函数在区间上不单调】 2 【题型四 含参问题讨论单调性（一次型）】 3 【题型五 含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）】 5 【题型六 含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）】 6 【题型七 利用单调性构造函数比较大小】 8 一、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则 ②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则 （3）已知函数在区间上不单调，使得（其中是变号零点） 二、含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 【题型一 已知函数在区间上单调】 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古兴安盟）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高二下·北京）已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·湖北武汉）已知函数在上为增函数，则a的取值范围是 ． 5．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在区间上单调递减.则实数a的最大值为 ． 【题型二 已知函数在区间上存在单调区间】 1．（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 2．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·天津和平）已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为 . 4．（23-24高二上·广东惠州）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 ． 5．（23-24高三下·河北保定·阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【题型三 已知函数在区间上不单调】 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·一模）函数在上不单调的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·吉林白山）已知函数在上不单调，则整数a的一个取值可能是 ． 4．（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨）设，若函数在区间不单调，则的取值范围是 . 【题型四 含参问题讨论单调性（一次型）】 1．（2024高二·上海·专题练习）已知． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2．（2024高二·上海·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 5．（20-21高二·全国·课后作业）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【题型五 含参问题讨论单调性（可因式分解二次型）】 1．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调性； 2．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知函数. (1)若函数在处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)求函数的单调区间. 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【题型六 含参问题讨论单调性（不可因式分解二次型）】 1．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； 2．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 4．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 5．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）设函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【题型七 利用单调性构造函数比较大小】 1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知（其中e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是上的减函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·浙江杭州）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·四川眉山·期中）若 在上单调递减，则实数的取值范围是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 7．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若函数在单调递增，则的取值范围为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 9．（23-24高二下·湖北·期中）已知函数在内单调递增，则的最小值为 ． 10．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； 12．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知. (1)当时，过原点作函数的切线，求切线的方程； (2)讨论函数的导函数的单调性； 13．（2025·陕西渭南·一模）已知，函数． (1)讨论的单调性： 14．（2024·广东韶关·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 15．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间； 16．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数（）. (1)讨论函数的单调区间； 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求的单调性； 18．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)若函数存在一条对称轴，求的值； (2)求函数的单调区间. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$