精品解析：湖北省安陆市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

九年级数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 3. 如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 6. 如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法判断 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 23 C. 25 D. 32 10. 已知：抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于的一元二次方程的一个根 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 12. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则______°． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 14. 如果点是线段的黄金分割点，且，则___________． 15. 二次函数的自变量与函数值的对应值如下表， … 0 1 … … 3 3 … （1）抛物线的对称轴是___________； （2）则时，的取值范围是___________． 三、解答题（共9题，共分75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 2 17. 如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 18. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 19. 如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 21. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 （1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： （2）图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； （3）填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 22. 水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 24. 如图，直线分别交轴于点，抛物线经过两点且与轴交于另一点，点是x轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求的值； （3）过作轴于，轴于，令矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不属于区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 4. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（ ） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 23 C. 25 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 10. 已知：抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于的一元二次方程的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质得到时，y有最大值k，则可对A选项进行判断；利用特例对B选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点，从而可对C选项进行判断；先确定点关于直线的对称点为，则可得到抛物线与直线的交点为，，从而可对D选项进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线的顶点为， ∴时，y有最大值k， ∵在抛物线上， ∴，所以A选项不符合题意； 当时，，这与矛盾，所以B选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，即时，，所以C选项不符合题意； ∵点关于直线的对称点为， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴关于x的一元二次方程的根为，，所以D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，在每一象限内，随增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大， ， 满足条件的值为，． 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 14. 如果点是线段的黄金分割点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义，当点P是线段的黄金分割点且时，较长线段与整个线段的比值等于，已知，代入比例式即可求解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的自变量与函数值的对应值如下表， … 0 1 … … 3 3 … （1）抛物线的对称轴是___________； （2）则时，的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性即可求得； （2）利用表格数据确定抛物线开口向下，利用对称性确定点关于直线的对称点为，根据图象即可确定当时，． 【详解】解：（1）∵当时，；当时，， 二次函数的对称轴是直线． 故答案为：直线； （2）∵时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴是直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共分75分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 2 【答案】 【解析】 【分析】把左边的代数式利用十字相乘法分解因式求解即可. 【详解】∵2, ∴(2x+3)(x-2)=0, ∴. 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 17. 如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由题意可得，由勾股定理可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：即为所作， ； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∴线段扫过的面积为． 18. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 19. 如图，在中，，以边为直径作交于点D，连接并延长交的延长线于点E，点P为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ． 在中， 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得．又由可得，则可得，即可得证． （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据三角函数的定义即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 21. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 （1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： （2）图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； （3）填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【小问1详解】 解：如图点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 22. 水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一次函数关系式为，根据图象可把点代入求解即可； （2）设这种水果的利润为元，根据（1）中函数解析式及题意可得，然后根据二次函数的性质可进行求解 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为， 由图得：， 解得：， 一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设这种水果的利润为元 依题意：， 化简、配方得：； ∵， ∴当时，w取得最大值，即最大值为1100； 答：这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 23. 如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 24. 如图，直线分别交轴于点，抛物线经过两点且与轴交于另一点，点是x轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求的值； （3）过作轴于，轴于，令矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不属于区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合解题是关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出E点坐标即可求解； （3）①分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可； ②根据①的分类，分别确定临界位置为，和时的对应m值，再结合图象确定范围即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，，解得， ∴， 把代入函数得，， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∵， ∴顶点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：①由题意知，，且， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，； ②当时，，解得或（舍）； 时，矩形区域内有3个整数点； 当时，解得或， 时，矩形区域内有0个整数点； 当时，解得或， 时，矩形区域内有1个整数点； 时，矩形区域内有0个整数点； ∴或时，矩形区域内有奇数个整数点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $