圆锥曲线部分寒假检测-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

高二年级寒假成果检测卷三--圆锥曲线部分 一、单选题（本大题共8小题） 1．抛物线 上一点 到其准线的距离为（ ） A． B． C． D． 2．直线 过点 且与双曲线 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知点，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．设曲线C的方程为，给出关于曲线C的性质的结论：①曲线C关于坐标轴对称，也关于坐标原点对称；②曲线C上的所有点均在椭圆内部.下面判断正确的是（ ） A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②都错误 D．①②都正确 7．如图：在椭圆中有一内接矩形（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形的面积最大时，点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 ， 两点，以 为直径的圆与 轴交于 ， 两点，且 ，则直线 的方程为( ) A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题） 9．探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（    ） A．当时处两条反射光线所在直线的距离为 B．当时的面积为2 C． D． 10．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（   ） A．曲线所围成图形的周长是 B．曲线所围成图形的面积是 C．曲线上任意两点间距离的最大值为 D．直线与曲线一定有两个交点 11．已知曲线，，则（ ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知抛物线的焦点为，，，是上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线，，的斜率之和为 . 13．已知为抛物线的焦点， 为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为6，则的方程为 . 14．在平面直角坐标系中，已知圆 与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且圆 与椭圆 有唯一的公共点,则椭圆 的焦距为 . 四、解答题（本大题共5小题） 15．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程. （1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程； （2）若，，点A是曲线C上的任意一点，曲线过点A的切线交直线于M，交直线于N，证明：； （3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值. 16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，双曲线C的一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的方程； (2)经过点M(1,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求直线l的方程． 17．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 18．已知双曲线过点，焦距为，． (1)求双曲线C的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆的左顶点为，焦距为.动圆的圆心坐标是，过点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，. （1）求证：. （2）若为坐标原点，作，垂足为.问：是否存在定点，使得为定值？ 参考答案 1．【答案】B 【详解】把点 的坐标代入抛物线方程，解得 ，所以抛物线的方程为 ，即 ，抛物线的准线的方程为 ，所以点 到抛物线准线的距离为 .故选 . 2．【答案】C 【详解】根据双曲线方程可知,点 即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点,另外过该点且与 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点 且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条. 3．【答案】A 【解析】先根据圆外一点到圆上一点距离的最小值得，再利用抛物线的定义，即可得答案； 【详解】如图所示，过作准线的垂线交于， ， 当三点共线时，取得最小值， 的最小值为. 故选：A. 4．【答案】D 【分析】首先根据椭圆的定义转化为，即求的最小值，即为圆心与的距离减半径即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为 所以的最小值为 所以的最小值为 故选：D. 5．【答案】A 【分析】设出抛物线的方程，根据点坐标求得正确答案. 【详解】设抛物线方程为， 依题意，代入得， 所以抛物线方程为. 故选：A 6．【答案】D 【分析】 根据对称性的性质，若在曲线上判断是否也在曲线上即可知①的正误，若任意一点在曲线上，有，而椭圆有，判断是否成立，可知②的正误. 【详解】 ①由曲线方程知：若在曲线上，则一定都在该曲线上，故曲线关于坐标轴和原点对称，正确； ②若在上，有且，而时椭圆中，则，所以，即，则曲线C上的所有点均在椭圆内部，正确. 故选：D. 7．【答案】C 【分析】 先设，根据对称性计算矩形面积，结合三角函数性质得到取最大值时的条件，即得结果. 【详解】 椭圆上A点在第一象限内，可设为， 则第一象限内小矩形面积， 所以矩形的面积，则， 当，即时，面积最大为40，此时，点. 故选：C. 8．【答案】C 【详解】设 , 的中点为 ，作 轴于点 ，过 ， 分别作准线 的垂线，垂足为 , ，如图所示. 由抛物线的定义知 ，故 ，所以 ， 即 ，解得 或 （舍去），故 的横坐标为 . 设直线 , , ， 将 与 联立得 ，则 ，解得 ， 故直线 的方程为 .故选C. 9．【答案】ACD 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，. 直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若， 因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选 10．【答案】BC 【详解】当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图，   曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选BC 11．【答案】BC 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选BC. 12．【答案】2 【详解】由题可知.设， 则. 由题可知，直线的斜率， 同理直线的斜率，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. 13．【答案】 【详解】 由题意可设的方程为，，， 将代入，得， 所以，且， 由抛物线定义及，得，即， 所以，即， 又， 所以，解得， 又，即，所以的方程为. 故答案为：. 14．【答案】10 【详解】因为 与 有唯一的公共点,且 与轴、轴均相切， 故圆心在第一象限，则可设圆心为，故 的方程为，所以，解得或, 又因为点在椭圆 内，所以，故圆 的方程为. 因为 与 有唯一的公共点，且圆心在椭圆内， 故 与 在点处有公切线， 设其斜率为,则，得，故切线的方程为,即. 由可得， 整理得， 由， 整理得，又，解得，，从而 的焦距为. 15．【答案】（1）或；（2）证明见解析；（3）0. 【详解】（1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r=2为半径的圆， 直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，∴直线l被圆所截得弦长为2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为, 由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为：； （2）当时 ，设,则过A点的切线方程为：, 即,由直线l1的方程得,代入切线方程得到, 设,,则,同理, 因为A在曲线C上，,,所以A为线段MN的中点，所以; （3）设,则), 则直线EQ: 代入曲线C的方程并整理得： , Q，R的横坐标是这个方程的两实数根， ∴, ∴, , , 由于, ∴ 16．【答案】见详解 【解析】解　(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，所以＝2，又焦点(0，c)到直线y＝2x的距离d＝＝1，所以c＝， 又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的方程为－x2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，由题知x1＋x2＝2，y1＋y2＝8， 联立 两式相减得－－x＋x＝0， 即＝(x1＋x2)(x1－x2)， 即＝4，所以4k＝4，解得k＝1， 所以直线l的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0， 经检验直线l：x－y＋3＝0与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以直线l的方程为x－y＋3＝0. 17．【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以. 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 18．【答案】(1). (2)存在，直线为或. 【分析】 （1）根据焦距、双曲线上的点求双曲线参数，进而写出双曲线C的方程； （2）由题设有，设直线为，，并联立双曲线方程，应用韦达定理、中点坐标公式求M，N的中点坐标，由等腰三角形中垂线性质求参数k，进而可得直线l的方程. (1) 由题设，，又在双曲线上， ∴，可得， ∴双曲线C的方程为. (2) 由（1）知：， 直线的斜率一定存在，当直线斜率为0时，直线：，符合题意； 设直线为，， 联立双曲线方程可得：， 由题设， ∴，，则. 要使△构成以为顶角的等腰三角形，则， ∴的中点坐标为， ∴，可得或， 当时，，不合题意，所以，直线l：， ∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形. 19．【答案】 （1）【证明】由题意知，椭圆的左顶点为，焦距为， 可得解得 所以椭圆的方程为. 若过点作圆的一条切线的斜率不存在，则其方程为,其与椭圆只有点一个交点,此时圆半径为2,与题干矛盾，所以设过点且与圆相切的直线方程为，动圆的半径为， 则, 化简得， , 即, 所以和是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系知，. （2）存在点， 使得为定值，理由如下： 设点，， 联立方程得 整理得，, 则， 得，， 所以. 因为，所以将换成，可得.易知直线的斜率存在，则直线的斜率为, 所以直线的方程为. 直线的方程可化为,即, 即, 所以直线过定点. 因为，所以点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧， 故存在点，使得为定值. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $